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高中数学一轮复习(六) 数列


高中数学一轮复习(六)
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数), an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

数列

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2) 数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ? 仍为等差数列, 公差为 n 2 d ; Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列, (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S 2 m ?1 ? bm T2 m ?1

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)
Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,

?a ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?a ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? n 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1
1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ), an ? a1qn?1 . an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意!) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? ap · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n?1 n n 2 ?2 (n ? 2)

5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn ,代入得

Sn ?1 ? 4 又 S1 ? 4 ,∴ ?Sn ? 是等比数列, Sn ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1
2



a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 3 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… a1 n a1 a2 an?1 2 3 n n.

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法
? a3 ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ? a2 ? a1 ? f (2)

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ,求 an ( (4)等比型递推公式
an ? 1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数列 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

∴ an ?

d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?

(5)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an ?1 2an 2 an an ?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , a1 an 2 2 2 ? an ?
∴ an ? ( 附:
2 n ?1

3

公式法、利用

an ?

?

S1 ( n? 1 )

Sn ? Sn?1 ( n? 2 ) 、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比

an?1 ? pan ? q 或

an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?

1 k ?1 ak ak ?1

n

解:由 ∴?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法 若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ?(差比数列)前 n 项和,可由 Sn ? qSn ,求 Sn , 其中 q 为 ?bn ? 的公比. 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

4

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
x2 [练习]已知 f ( x) ? ,则 1 ? x2

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 x x2 1 x? ?1? ? 由 f ( x) ? f ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

练习题(一)
一、选择题 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
1 2
2

B. 为等差数列,

2 2

C.

2
,则 等于

D.2

2.已知 A. -1

B. 1

C. 3

D.7

3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D. 63

5.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-
1 2

(C)

1 2

(D)2

6.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是
5

A. 90

B. 100

C. 145
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], 2 2 2

D. 190

7.设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

8.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示

成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这 样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378

2 9.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9 .

10.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = A.
n 2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n2 ? n

11.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 二、填空题 1 设等比数列 {an } 的公比 q ? B. 100 C. 145 D. 190 .

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列.类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,
T16 成等比数列. T12

3.在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 4.等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 = 三.解答题
1 1.已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象上一点, 等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 3

.

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).(1)求数列 {an } 和

6

{bn } 的通项公式;(2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? . } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

2 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N * ,其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N * , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.

3.设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m,bm 是使得不
1 1 等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.(Ⅰ)若 p ? , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

( Ⅱ ) 若 p ? 2,q ? ? 1, 求 数 列 {bm } 的 前 2m 项 和 公 式 ; ( Ⅲ ) 是 否 存 在 p 和 q , 使 得
? ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如果不存在,请说明理由. bm ? 3 m ? 2(m ? N )

练习题(二)
一、选择题. 1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45 ) )

2.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
C.

5 6

1 6

D.

1 30

3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (

)
)

A.8 B.7 C.6 D. 5 4.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是( A.5 B.4 C.3 D. 2 5.一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.63

6.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (
7



A.12

B.10

C.8

D.2+ log3 5 )

7.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( A.3 B.2 C.1 D. ?2 )

2 2 2 8.已知等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a1 等于( ? a2 ? ? ? an

A. (2n ?1)2

B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

9.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
D.

A.1

B.-1

C.2

5 9

10.在等比数列 {an } 中,公比q是整数, a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 则此数列的前8项和为() A.514 二、填空题. B.513 C.512 D.510

1 1 1 )= . 2 4 2n 12.设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) =
11. (1 ? ) ? (2 ? ) ? ? ? ( n ?

. ;数列 ?nan ? 中数值最

13.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式为 小的项是第 项.

14.在等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前_______项的和最小. 三、解答题. 15.设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列. (Ⅰ)证明: a1 ? d ; (Ⅱ)求公差 d 的值和数列 {an } 的通项公式.

16.已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? 1, an ?1 ?

1 Sn , n ? N * . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求 a2 ? a4 ? a6 ? ... ? a2n 的和.

17.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3
8

n?1

? an?1 (n ? 2)

(Ⅰ)求 a2 , a3 ;

(Ⅱ)证明 a n ?

3n ? 1 . 2

18.求下列数列的通项公式 (1) a1 ? 1,

an ? 3n (n ? 2) ; an?1

(2) a1 ? 1, an ? ?

an ?1 ? 1(n ? 2) ; 3

(3) Sn 是 {an } 的前 n 项和, Sn ? 2n?1 ?1 。

2 19.已知二次函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m. 20 a n a n ?1

20.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)(附加题)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

9

练习题(三)——数列求和
1. 公式法求和 (1)等差数列前 n 项和公式 (2)等比数列前 n 项和公式
Sn ? n(a1 ? a n ) n(a k ?1 ? a n ?k ) n(n ? 1) ? ? na1 ? d 2 2 2

q ? 1时 q ? 1时

S n ? na1
a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q Sn ? ? 1? q 1? q
n(n ? 1) 2

(3)前 n 个正整数的和

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 ] 前 n 个正整数的立方和 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ 2 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数 n 的值;

前 n 个正整数的平方和

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

(2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。
4, 7, ?, 3n ? 1 的所有项的和 例 1.求数列 1,

例 2.求和 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n?2 ( n ? 2, x ? 0 )

2.分组法求和 例 3.求数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 3 ,…, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的所有项的和。

? ?5n ? 1 (n为奇数) 例 4.已知数列 ?an ? 中, a n ? ? ,求 S 2 m 。 n ? ?( 2 ) (n为偶数)

3.并项法求和 例 5.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n?1 n 2 ,求 S100 。
10

例 6.数列 ?an ? 中,, an ? (?1) n 4n ,求 S 20 及 S 35 。

4.错位相减法求和

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。
例 7.求和 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0 )。

5.裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例 8.求和
1 1 1 1 ? ? ??? 。 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

例 9.求和

1 2 ?1

?

1 3? 2

?

1 2? 3

???

1 n ?1 ? n



6 . 倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
? S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ?相加 ? S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……
x2 ? 1? ? 1? ? 1? 例 10. 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
专题训练 数列求和练习
11

1 ,则数列 {an } 的前 n 项和为 1? 2 ? 3 ??? n 2n 2n n?2 n A. B. C. D. n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 1 1 1 1 2、数列 1 ,2 ,3 ,4 ,? 的前 n 项和可能为 2 4 8 16 1 2 1 1 1 A. (n ? n ? 2) ? n B. (n 2 ? n) ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 C . ( n 2 ? n ? 2) ? n D. ( n 2 ? n) ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2

1、数列 {an } 的通项 an ?

(

)

(

)

2 2 3、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n ? 1 ,则 a12 ? a2 等于 ? ?an

(

)

A. (2n ? 1) 2

1 B. (2 n ? 1) 3

C. 4 n ? 1

1 D. (4 n ? 1) 3

4、数列 {an } 的通项公式 an ? A.11 B.99

1 n ? n ?1

(n ? N * ) ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为

(

)

C.120

D.121 . .

5、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S100 ? 6、已知 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,则 S15 ? S 22 ? 7 、 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 = .

2 ? 0, S 2m?1 ? 38 , 则 m n 项 和 为 Sn , 若 m ? 1, m ? N , am?1 ? am?1 ? am

1 2 8、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 2

(1)求 S n 的表达式;

(2)设 bn ?

Sn ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

9、等比数列 {an } 同时满足下列条件:① a1 ? a6 ? 33,② a3 a4 ? 32 ,③三个数 4a2 ,2a3 , a4 依次成等差数 列.(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?
n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. an

10、等差数列 {an } 各项均为正整数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,在等比数列 {bn } 中, b1 ? 1 且 b2 S 2 ? 64 , 公比为 8。
12

(1)求 an 和 bn ;(2)证明:

1 1 1 3 ? ??? ? 。 S1 S 2 Sn 4

13


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