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2014-2015高二数学周测试题(必修5+选修2-1)


高二数学周测试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的.
1.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C 的小大为 ( A.60° B.90° C.120° D.150° B ) C )

11.若椭圆 + =1 的两个焦点 F1,F2,M 是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2 是( 4 3 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

y2 x2

A

)

12.若点 A (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐 标为( C )

A. (0, 0)

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍,则椭圆的离心率等于( 1 A. 2 2 B. 2 C. 2

1 B. ( ,1) 2

C. (1, 2)

D. (2, 2)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知双曲线 mx 2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 14.已知数列 ?an ? 满足 a1

3 D. 2 C ) D .1

3 5 5 x ,则双曲线的离心率为 或 3 4 4

3. 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,则焦点到准线的距离是( A.4 B.3 C.2

? 33 , an ?1 ? an ? 2n ,则

an 21 的最小值为 (当n ? 6时取到) . 2 n

15.过双曲线 4.若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y 2 ? x 2 ? ?1 只有一个公共点,则 k 值的是( A. ?1, D ) 值范围是

b x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点作渐近线 y ? x 的垂线与双曲线的左、右支都相交,则双曲线的离心率取 2 a a b

?

2, ?? .

?

5 2

B. 1,

5 2

C. ?1, ?

5 2
A

D. ?1, ? )

5 2

16.已知过抛物线 y 2 ? 6 x 焦点的弦长为 12,则弦所在直线的方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

?x ? 4 y ? 3 ? 0 5.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则有( ? ?x ? 1 ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 已知抛物线 x 2 ? 4 y ,若直线 y ? x ? 2 与抛物线交于 A,B 两点.(1)求 OA OB 的值; (2)求 ?OAB 的

A. z max C. z min

? 12, z min ? 3 ? 3, z 无最大值
C
2

B. )

z max ? 12, z 无最小值

D. z 既无最大值,也无最小值

面积.

6.下列有关命题的说法正确的是( A.命题“若 x

? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”; 2 2 B.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”;
C.在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ”的充要条件; D.“ x ? 2 或

y ? 1 ”是“ x ? y ? 3 ”的非充分非必要条件.
2 1 ? ? m 恒成立,则 m 的最大值是( x y

7.已知 x,y 都为正实数,且 x ? 2 y ? 2 ,若不等式 A. 2 B. 3 C. 4

C



18. 设 ?ABC 的 内 角 A 、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , b ?

D. 2 2 A )

1 c ? a cos C (1) 求 A 的 值 ; (2)设 2

8.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?11 , a5 ? a6 ? ?4 , S n 取得最小值时 n 的值为( A. 6 A. y ? 8 x
2

S?ABC ? 2 3,2ab cos C ? bc ? a2 ? b2 ,求 a 的值.

B. 7 B. y ? ?8x [Z|X|
2
2 2

C. 8 XC. y ? 4 x
2

D. 9 B ) D. y ? ?4 x
2

9.若焦点在 x 轴上的抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,则抛物线的标准方程是(

x y → → 10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,P 为椭圆上的一点,则OP·FP 的最大值为( 4 3
A.2
第 1 页 共 3 页

C

)

B.3

C.6

D.8

19.已知数列 ?bn ? 的前 n 项和为 sn 且 2 ? 2 sn ? bn ,数列 ?an ? 为等差满足 a5 ? 14, a7 ? 20 .(1)求数列

再由

1 ?an ? , ?bn ? 的通项公式(2)数列 ? ? aa ?
n

? 11 ? ,?an bn ? 的前 n 项和分别为 Rn , Tn ,求 Rn , Tn (3)证明 RnTn ? . 3 n ?1 ?

12 y 2 b2 ? ? 1 ? ,整理得 y = . a2 b2 a

∵ 过 F2 垂直于长轴的弦长|AB|=3, ∴

2b 2 ? 3 .② a x2 y2 ? ? 1 .?????????????????????3 分 4 3

联立①、②可解得 a2=4,b2=3. ∴ 椭圆的方程为

(理科)若 l1、l2 中一条的斜率不存在,则另一条的斜率则为 0,
20.求过点 P(0,1)且与抛物线 y 2 ? 4 x 有且仅有一交点的直线方程. 解:y=1 或 x=0 或 y=x+1

此时,|P1P2|=4,|P3P4|=|AB|=3, 于是

1 1 1 1 7 ? = ? ? .?????????????????????5 分 P P3 P4 4 3 12 1P 2

若 l1、l2 的斜率均存在且不为 0,

21.如图,四面体 ABCD 中, AD ? 平面BCD ,E、F 分别为 AD、AC 的中点,AD ? CD ?
证: (1) EF // 平面BCD ; (2) BC ? 平面ACD .

3 BD, BC ? AC .求 3

1 设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,则 l2 的方程: y ? ? ( x ? 1) , k

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 3 联立方程 ? 4 消去 x 得: (3k 2 ? 4) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 , ? y ? ? 1 ( x ? 1), ? k ?
∴ y1 ? y2 ? ?

6k 9 ,y1 y2 ? ? 2 , 2 3k ? 4 3k ? 4
12(k 2 ? 1) 36k 2 36 ? . ? 3k 2 ? 4 (3k 2 ? 4)2 3k 2 ? 4

2 ∴ P y1 ? y2 = 1 ? k 2 3P 4 = 1? k

同理可得: P 1P 2 ? ∴ 22.已知椭圆的焦点坐标为 F1 ?? 1,0? , F ?1,0? ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 A、B 两点,且 AB ? 3 .
(1)求椭圆的标准方程; (2 文科学生做)若过点 F1 倾斜角为

12( k 2 ? 1) , 4k 2 ? 3

1 1 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4 7 ? ? ? ? . 2 2 PP P3 P4 12(k ? 1) 12(k ? 1) 12 1 2
1 1 7 .??????????????????8 分 ? ? (定值) P P3 P4 12 1P 2

? 的直线 l 交椭圆于 C、 D 两点, 试求 ?COD 4

∴ 综上知

的面积; ( 2 理 科 学 生 做 ) 过 F1 点 作 相 互 垂 直 的 直 线 l1 , l2 , 分 别 交 椭 圆 于 p1 , p2 , p3 , p4 试 探 究



1 1 7 1 , ? ? ?2 PP P3 P4 12 PP 1 2 1 2 P 3P 4
24 2 576 , ) ? 7 49 1 288 . ? PP 1 2 P 3P 4 ? 2 49
12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) ? 时,S 最小,此时解得 k ? ?1 , 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4

1 1 ? 是否为定值?并求当四边形 p1 , p2 , p3 , p4 的面积 S 最小时,直线 l1 , l2 的方程. p1 p2 p3 p4
解: (1)由题意,设椭圆的标准方程为

∴ PP 1 2 P 3P 4 ?( ∴ Smax

y x ? 2 ? 1 (a>b>0) , 2 a b

2

2

当且仅当 PP 1 2 ? P 3P 4 ,即

由焦点 F2 的坐标为(1,0)知 a2-b2=1,①
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∴ 四边形 P1P3P2P4 的面积 S 最小时,l1、l2 的直线方程: y ? ? ( x ? 1)

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