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2010年江苏高考数学试题含答案Word版


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2010 年江苏高考数学试题及参考答案
一、填空题 1、设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2++},A∩B={3},则实数 a=______▲________ 答案:1; 2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6++i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为______▲________ 答案: 13 3、盒子中有大小相同的 3 只小球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的 概率是_▲__ 答案:

1 2

+、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的 长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,+0]中,其频率分布直方图如图所示,则其 抽样的 100 根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于 20mm。 答案:30 5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数 a=_______▲_________ R
频频 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 长长m O 5 10 15 20 25 30 35 40 组组

答案:-1 6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 曲线右焦点的距离是___▲_______ 答案:+ 7、右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是______▲_______ n←n+1 开 S ← n←1 S←S+2n 否 S≥33 是 输出 S 结束

x2 y2 ? = 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双 4 12

答案:63;

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8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16, 则 a1+a3+a5=____▲_____ 答案:21; 9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x + y = 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距
2 2

离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____ 答案: (-39,+39) 10、定义在区间 ? 0 ,

? ?

π?

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1 2?

⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____ 答案:

2 3

? x 2 + 1, x ≥ 0 11、已知函数 f ( x ) = ? ,则满足不等式 f ( 1 ? x 2 ) > f ( 2 x ) 的 x 的范围是____▲ ? 1, x < 0
____ 答案: ? 1, 2 ? 1

(

)
x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是_____▲____ y y

12、设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,+≤ 答案:27

13、在锐角三角形 ABC, B、 的对边分别为 a、 、 A、 C b c, + ▲ 答案:+

b a

a tan C tan C = 6 cos C , 则 + = __ b tan A tan B

1+、将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S=
2 ( 梯形的周长) ,则 S 的最小值是_______▲_______ 梯形的面积

答案:

32 3 3

二、解答题 15、(1+ 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值

uuu r uuur 解: (1) AB = (3,5), AC = (?1,1)

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uuu uuur r uuu uuur r 求两条对角线长即为求 | AB + AC | 与 | AB ? AC | , uuu uuur r uuu uuur r 由 AB + AC = (2,6) ,得 | AB + AC |= 2 10 , uuu uuur r uuu uuur r 由 AB ? AC = (4, 4) ,得 | AB ? AC |= 4 2 。 uuur (2) OC = (?2, ?1) , uuu uuur uuur 2 r ∵( AB ? t OC )· OC = AB OC ? tOC ,
uuu uuur r uuur 2 易求 AB OC = ?11 , OC = 5 ,
所以由( AB ? t OC )· OC =0 得 t = ?

11 。 5

16、(1+ 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC, ∠BCD=900 (1)求证:PC⊥BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离
[来源:高考资源网]

P

E

D

C

D
A B

β B

α A d

解: (1)∵PD⊥平面 ABCD,∴ PD ⊥ BC ,又 BC ⊥ CD ,∴ BC ⊥ 面 PCD ,∴ BC ⊥ PC 。 (2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h ,

1 ∵ VA? PBC = VP ? ABC ,∴ S 3
容易求出 h = 2

PBC

1 ?h = S 3

ABC

PD

17、(1+ 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=+m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β (1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.2+,tanβ=1.20,,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α-β 最大 现在上传的图片版与 WORD 试卷都有错误,该题似乎缺少 BD 长度的条件,暂无法解答 (1)∵ tan α =

AE AE tan α AD 31 , tan β = ,∴ = = AB AD tan β AB 30

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(2) 18.(16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 的左右顶点为 A,B,右顶 9 5

点为 F,设过点 T( t, m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 > 0, y 2 < 0 ①设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 = 4 ,求点 P 的轨迹 ②设 x1 = 2, x 2 =

③设 t = 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点 (其坐标与 m 无关)

1 ,求点 T 的坐标 3

A

O

F

B

解: (1)由题意知 F ( 2,0) , A(3,0) ,设 P ( x, y ) ,则

( x ? 2) 2 + y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 = 4
化简整理得 x =

9 2 1 5 1 20 代人椭圆方程分别求出 M ( 2, ) , N ( , ) 3 3 3 9
① ②

(2)把 x1 = 2 , x 2 = 直线 AM : y =

1 ( x + 3) 3 5 直线 BN : y = ? ( x ? 3) 6 9 10 ①、②联立得 T ( , ) 7 7
(3) T (9, m) , 直线 TA : y =

m 3(m 2 ? 80) 40 ( x + 3) ,与椭圆联立得 M (? , 2 ) 2 12 m + 80 m + 80 m 3(m 2 ? 20) 20 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 N ( 2 ,? 2 ) 6 m + 20 m + 20
40 20 + 2 3(m 2 ? 20) m + 80 m + 20 (x ? ), 3(m 2 ? 80) 3(m 2 ? 20) m 2 + 20 ? ? m 2 + 80 m 2 + 20
2

直线 TB : y =

20 直线 MN : y + 2 = m + 20
化简得 y +

20 10 3(m 2 ? 20) =? 2 (x ? ) m 2 + 20 m ? 40 m 2 + 20 令 y = 0 ,解得 x = 1 ,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1, 0) 。

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19. (16 分)设各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 = a1 + a 3 ,数列 是公差为 d 的等差数列. ①求数列 {a n } 的通项公式(用 n, d 表示)

{S}
n

②设 c 为实数,对满足 m + n = 3k且m ≠ n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 S m + S n > cS k 都成立。求证: c 的最大值为 解: (1)Q

{ S }是等差数列, 2
n

9 2

S 2 = S1 + S 3 ,

又 2a 2 = a1 + a 3 ,∴ 2 a1 + a 2 =

a1 + 3a 2 ,平方得

3a1 + a 2 = 2 3a1 a 2 ,即 ( a 2 ? 3a1 ) 2 = 0 ,∴ a 2 = 3a1 ,
∴ d = S 2 ? S1 = 2 a1 ? a1 = a1 ,即 S1 = d , ∴ S n = S1 + (n ? 1)d = nd , S n = n 2 d 2

n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = n 2 d 2 ? (n ? 1) 2 d 2 = (2n ? 1)d 2
且对

n = 1 成立,

∴ a n = (2n ? 1)d 2
(2)由 S m + S n > cS k 得 m + n > ck 即 c <
2 2 2

m2 + n2 k2



m 2 + n 2 9( m 2 + n 2 ) 9( m 2 + n 2 ) = = 2 ,Q 2mn < m 2 + n 2 ( m ≠ n) 2 2 2 k ( m + n) m + n + 2mn m 2 + n 2 9( m 2 + n 2 ) 9( m 2 + n 2 ) 9 = = 2 > 2 2 2 k ( m + n) m + n + 2mn 2 9 9 , c 的最大值为 。 2 2



∴c ≤

20.(16 分)设 f ( x ) 使定义在区间 (1,+∞) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) .如果存在实数 a 和函 数 h( x ) ,其中 h( x ) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h( x ) >0,使得 f ' ( x) = h( x )( x 2 ? ax + 1) , 则称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) . (1)设函数 f ( x ) = h( x ) +

b+2 ( x > 1) ,其中 b 为实数 x +1

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①求证:函数 f (x ) 具有性质 P (b) 求函数 f (x ) 的单调区间 (2) 已 知 函 数

g (x)









P ( 2)







x1 , x 2 ∈ (1,+∞), x1 < x 2 , 设m为实数, = mx1 + (1 ? m) x 2 , β = (1 ? m) x1 + mx 2 ,且 α

α > 1, β > 1 ,若| g (α ) ? g ( β ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围
(1)估计该问题目有错,似乎为 f (x ) = ln x + ① f '( x) =

b+2 ( x > 1) ,则有如下解答: x +1

1 b+2 1 ? = ( x 2 ? bx + 1) 2 2 x ( x + 1) x( x + 1)
1 > 0 恒成立, x( x + 1)2

∵ x > 1 时, h( x) =

∴函数 f (x ) 具有性质 P (b) ; ②设 ? ( x) = x 2 ? bx + 1 ,则 f ′( x)与? ( x) 同号, 当 b ∈ [? 2,2] 时, ? ( x) = x 2 ? bx + 1 >0 恒成立,∴ f (x) 在 (1,+∞) 上单调递增; 当 b ∈ ( ?∞,?2) 时, ? ( x) = x 2 ? bx + 1 >0 恒成立,∴ f (x) 在 (1,+∞) 上单调递增; 当

(2)

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【理科附加题】 21(从以下四个题中任选两个作答,每题 10 分) (1)几何证明选讲 AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C,若 DA=DC,求证 AB=2BC
[来源:Ks5u.com]

D

A O

B

C

(证明略) (2)矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设 k≠0,k∈R,M= ?

? k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、 ? 0 1? ? ?

C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求实数 k 的 值

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(B 点坐标不清,略) (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ++ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值 (过程略 a = ±1 ) (+)不等式证明选讲 已知实数 a,b≥0,求证: a + b ≥
3 3

ab ( a 2 + b 2 )

(略) 22、(10 分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品 80%,二等品 20%;生产乙产品, 一等品 90%,二等品 10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利 + 万元,若是二等品则要亏 损 1 万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利 6 万元,若是二等品则要亏损 2 万元。设 生产各种产品相互独立 (1)记 x(单位:万元)为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求 x 的分布列 (2)求生产 + 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解: (1) X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02

(2)依题意,至少需要生产 3 件一等品
3 P = C4 × 0.83 × 0.2 + 0.84 = 0.8192

答:………… 23、(10 分)已知△ABC 的三边长为有理数 (1)求证 cosA 是有理数 (2)对任意正整数 n,求证 cosnA 也是有理数 (1)设三边长分别为 a, b, c , cos A =

b2 + c 2 ? a 2 q ,∵ a, b, c 是有理数, a, b, c 均可表示为 2bc p

( p, q 为互质的整数)形式∴ 是有理数

b2 + c 2 ? a 2 q 必能表示为 ( p, q 为互质的整数)形式,∴cosA 2bc p

(2)∵ cos 2 A = 2cos 2 A ? 1 ,∴ cos 2 A 也是有理数, 当 n ≥ 3 时,∵ cos nA = cos(n ? 1) A cos A ? sin(n ? 1) A sin A

1 = cos(n ? 1) A cos A + {cos[(n ? 1) A + A] ? cos[(n ? 1) A ? A]} 2 ∴ cos nA = 2cos(n ? 1) A cos A ? cos(n ? 2) A ,
∵cosA, cos 2A 是有理数,∴ cos3A 是有理数,∴ cos 4A 是有理数,……,依次类推, 当 cos(n ? 1) A,cos(n ? 2) A 为有理数时, cos nA 必为有理数。
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