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2014-2015学年高中苏教版数学必修2同步课件 1.2.1平面的基本性质课件1


情境引入 问题1:平静的湖面,广阔的草原,这些 画面会给你留下怎样的印象呢?
问题2:如何形象直观的在纸上表示平面? 如何表示点与直线,直线与平面 的位置关系?

1. 平面的特点

意义建构

问题:请同学们观察下面的纸盒,它 是由几个面构成的?

问题:还有哪些面留给我们平面的形象 呢?
桌面、黑板、地面、海平面等.

问题:当我们想象海平面是一平如镜时, 它有什么特点?
很大、很平.

以上例子给我们“平面”的直观,平面 是一个不加定义的概念,具有“平”、 “无限延展”、“无厚薄”的特点.

l

一条直线可以把平面分成两部分, 我们所画的只是一条直线的一部分,因 此,刚才所说的物体如果是平的,也只 是它所在平面的一部分. 一个平面可以把空间分成几部分呢? 一个平面可以把空间分成两部分.

2. 平面的画法
通常我们画出直线的一部分来表示 直线;同样地,我们也可以画出平面的 一部分来表示平面.(“借代”)
当我们从适当的角度和距离来观察 桌面或黑板面时,感到它们都很象什么 图形呢? 平行四边形 通常画平行四边形来表示平面.

在画平行四边形表示平面时,所表示 的平面如果是水平平面,通常把锐角 画成45°,横边画成邻边的两倍.
45°

如果是非水平平面,只要画成平行四 边形. 画直立的平面,一组对边为铅垂线 .

如果几个平面画在一起,当一个平面 有一部分被另一个平面遮住时,应把 被遮部分的线段画成虚线或不画.

3. 平面的表示法
⑴在一个希腊字母? , ? , ? 的前面加 ? ,平面 ? , “平面” 二字,如平面 ? 平面 ? 等,且字母通常写在平行 四边形的一个锐角内. ⑵用表示平行四边形的两个相对顶 点的字母来表示,如平面AC.
A D C

B

⑶用三角形表示平面,用三角形三 个顶点的字母来表示,如平面ABC.

4. 点、直线、平面之间的基 本关系
空间图形的基本元素是点、直线、平 面,从运动的观点看,点动成线,线动成 面,从而可以把直线、平面看成是点的集 合.因此,它们之间的关系除了用文字和图 形表示外,还可以借用集合中的符号语言 来表示.

文字语言 点P在直线AB上 (或直线AB经过点P)

符号语言

图形语言

P ? AB

P A C A B M A1 A A C A C B

点C不在直线AB上 (或直线AB不经过点C)
点M在平面AC内 (或平面AC经过点M) 点A1不在平面AC内 (或平面AC不经过点A1) 直线AB与直线BC交于点B 直线AB在平面AC内 (或平面AC经过直线AB) 直线AA1不在平面AC内 (或平面AC不经过直线AA1 )

C ? AB

M ? 平面AC

A

A1 ? 平面AC
AB BC ? B

C

B
C B

AB ? 平面AC

AA1 ? 平面AC
A

A A A1

A C A A1

C

练习.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1,分别记作 ?、?、? ,试用适当的 符号填空. (1) A1 _______ ∈ ? , B1 _______ ∈ ?
(2) B1 _______ ∈ ? , C1 _______ ∈ ?

∈ ? , D1 _______ ∈ ? (3) A1 _______
(4)? _______ ∩ ? ? A1B1

? _______ ∩ ? ? BB1

∩ ∩

? (5) A1B1 ________ ? , BB1 ________

A1B1 ________ ?



数学理论

5.平面的基本性质
请大家拿出你的一把尺,如果把桌 面看作一个平面,把你的尺看作是一条 直线的话,你觉得在什么情况下,才能 使你的尺所代表的直线上的所有点都能 在桌面上?

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平 面内.
图形语言:
A ?? ? 符号语言:B ?? ? ? 直线 AB ? ? ?

公理1可以帮助我们解决哪些几何问题?
⑴判定直线或点是否在平面内; ⑵检验平面.

请大家拿起一本书,把这本书的一个 角放在桌面上,如果我们分别把这本书和 桌面都看作一个平面的话,试问这两个平 面是否就只有这一个公共点,如果还有其 他公共点的话,它们和这个公共点有什么 关系?

公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它 们还有其他公共点,这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.
(没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.)

图形语言:

P ?? ? 符号语言: ? ?? P?? ?

? ? l且P ? l

公理2可以帮助我们解决哪些几何问题?
⑴判断两个平面是否相交;
⑵判定点是否在直线上. 如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条 公共直线叫做这两个平面的交线.

数学运用
【例1】已知命题: ①10个平面重叠起来,要比5个平面 重叠起来厚; ②有一个平面的长是50m,宽是20m; ③黑板面不是平面; ④平面是绝对的平,没有大小、没有 厚度,可以无限延展的抽象的数学 概念. ③④ 其中正确的的命题是__________.

【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一 点,它和这个平面有几个公共点?为 什么?
解: 这条直线和这个平面只有一个公共点. 假设这条直线和这个平面有两个公共点,

根据公理1可得, 这条直线上所有的点都在这个平面内,
故这条过平面外一点的直线也在这个平面内, 与已知矛盾. 所以这条直线与这个平面只有一个公共点.

【例3】如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1,C1,M三点所确定的平面 与正方体表面的交线; (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线.
分析:因为点M既在平面 ?
内又在平面AB1内,所以点 M在平面?与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 ? 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面? 与平面AB1的交线.

【例4】已知:?ABC 在平面? 外, AB ? ? P, BC ? ? Q AC ? ? R, 求证:P,Q,R三点共线.
证明: AB ? ? P,

? P ? AB,P ? 平面? ,
?点P在平面ABC与平面?的交线上. (公理2)
同理可证:

Q ,R也在平面ABC与平面? 的交线上.
? P,Q,R三点共线.
要证明空间诸点共线,通常证明这些点同时落在两个相 交平面内,则落在它们的交线上.

? 外”,正确的 1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面 是( B ). A. A ? l , l ?? B. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? D. A ? l , l ??
2.下面叙述中,正确的是( D ). A.因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ?? B.因为P ?? , Q ? ? ,所以 ? ? ? PQ

C.因为 AB ? ? , C ? AB, D ? AB ,所以 CD ? ? D.因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? ?? ? ? 且B ? ??

??

3.请指出下列说法是否正确,并说明理由: ⑴平面 ? 与平面 ? 若有公共点,就不止一个; 正确 ⑵因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在 的平面与地面不相交. 不正确

因为平面是可以无限延展的.
4.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的 关系,并画出图形.

(1) A ?? , B ?? (2)l ? ? , m ? ? (4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? (3)? ? ? l

补充:用符号语言表示下列语句,并画出图形. ⑴直线l过平面? 内一点A,且过? 外两点B、C. ⑵平面? 与? 的交线为l,直线m在? 内,直线n 在 ? 内,且m、n与l分别交于点P、Q.

⑶平面? 与? 相交于直线l,直线m在 ? 内,直
线n在 ? 内,且m、n都与l平行.

1.平面的概念、表示和记法; 2.空间中点、线、面位置关系的图 形及符号表示;

3.平面的基本性质(公理1,2)及其
用途.

通常画平行四边形来表示平面.

四面体

三个平面相交 且交于一点


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