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1.1.1 正弦定理


第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正
弦定理的内容及其证明方法; 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的

两类基本问题.

思考: 角C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角 C 的增大而增大. 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?

A C B

探究一

正弦定理

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探 讨直角三角形中,角与边的等式关系.

A C B

思考:对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (1)锐角三角形

C a B

b

D

A

C (2)钝角三角形 如右图,类比锐角三角形, 请同学们自己推导.

a
b

B

A

D

探究二

还有其他方法推导吗?

因为涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究此问题.

B
外接圆法

a c A C′ O C b

A O
B b

A

A
C B O

C

O B` B

b

b

C

B`

一.正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦 的比相等,即 注意: (1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦 之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知, 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数 量关系.

探究三

正弦定理的基本作用是什么?
,

.

二.解三角形

1.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,
c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角 形.

例1

在△ABC中,已知A=32.0o,B=81.8o,a=42.9cm,

解三角形.
解:根据三角形内角和定理,
. ; .

例2

在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40o,解三

角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm).

,

C b 60° B

A

三.已知边a,b和角A,求其他边和角的各种类型.

1.A为锐角

C b A
a<bsinA 无解


a

C a A B1
a≥b

b
B2

b

a

B A
a=bsinA 一解



bsinA<a<b 两解

一解

2.A为钝角

C b A

a B
a>b 一解

C b A

a

a≤b
无解

A为直角时,与A为钝角相同, a>b时,一解; a≤b时,

无解.

1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(边长精确到 1cm): (1) A=45o,C=30o,c=10cm;

(2) A=60o,B=45o,c=20cm.

2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a=20cm,b=11cm,B=30o; (2) c=54cm,b=39cm,C=115o.

3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o
两解 一解 两解 无解

(2)c=54, b=39, C=120o
(3)b=26, c=15, C=30o

(4)a=2,b=6,A=30o

1.正弦定理

它是解三角形的工具之一.
2.正弦定理可以解决以下两种类型的三角形: (1)已知两角及任意一边;

(2)已知两边及其中一边的对角.

自己把自己说服了,是一种理智的胜利;
自己被自己感动了,是一种心灵的升华;

自己把自己征服了,是一种人生的成功。


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