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高中数学高考高三理科一轮复习资料 选修4-4-1 坐标系


高中数学 选修4-4-1 坐标系 考纲点击 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐 标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标 和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在 极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角 坐标系中的方程. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系: 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做①______,从 O 点引一条射线 Ox,叫做②______,选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向),这样应确定了一个平面极坐标 系,简称为③__________. (2)极坐标: 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ 叫做点 M 的④______,θ 叫做点 M 的⑤______,有序实数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ,θ). 当点 M 在极点时,它的极径⑥____ ,极角 θ 可以取⑦ ______. (3)点与极坐标的关系: 平面内一点的极坐标可以有无数对,当 k∈Z 时,(ρ,θ), (ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示⑧________,而用平面 直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点 外,平面内的点和极坐标就一一对应了. 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的 正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的 单位长度,如图所示. (2)互化公式: 设 M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是(x, y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互 化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) ρ2=? ______________ tanθ=? ______________ 互化公式 ? ?x=⑨ ? ? ?y=⑩ 在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在的象限取最 小正角. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点, 半 径为 r 的圆 圆心为(r,0),半 径为 r 的圆 ? π? 圆心为?r,2?, ? ? 半径为 r 的圆 极坐标方程 ?__________________ ?__________________ ?__________________ 续表 答案:①极点 ②极轴 ③极坐标系 ④极径 ⑤极角 ⑥ρ=0 ⑦任意值 ⑧同一个点 ⑨ρcosθ ⑩ρsinθ ? x2+y2 ? π π? y ? x (x≠0) ? ρ = r(0≤θ < 2π) ? ρ = 2rcosθ ?-2≤θ<2? ? ? ?ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ?ρcosθ=a ?ρsinθ=a(0<θ<π) ?ρsin(α-θ)=asinα 考点自测 1.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ =-1 的交点的坐标为__________. ? ?x=ρcosθ, 解析: 由极坐标方程与普通方程的互化式 ? ? ?y=ρsinθ 知,这两条曲线的普通方程分别为 x2+y2=2y,x=-1.解得 ? ? ? ?x=-1, ?x=ρcosθ, 3π? ? 由? 得点(-1,1)的极坐标为? 2

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