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10.7离散型随机变量及其分布列


第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.7 离散型随机变 量及其分布列

1.离散型随机变量的概念 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个随着试验 结果变化而变化的变量来表示,那么这样的变量 叫做__________,随机变量常用字母 X,Y,ξ, η 等表示. (2)离散型随机变量 所有取值可以__________的随机变量,称为 离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列 (1)分布列 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每 一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表 X x1 x2 ? xi ? xn ? ? P p1 p2 pi pn 为随机变量 X 的______________, 简称为 X 的分布列. 有时为了简单起见, 也可用 P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n 表示 X 的分布列. (2)分布列的性质 ①________________________; ②________________________. 3.常用的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布(又称 0-1 分布、伯努利分布) 随机变量 X 的分布列为(0<p<1) X 1 0 P p 则称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1)为成功概率.

(2)二项分布 如果随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,?,n,且 X 取 值的概率 P(X= k)=__________(其中 k=0,1, 2,?,n,q =1-p),其概率分布为 X P 0
0 n C0 np q

1
1 n C1 np q
-1

? ?

k

? ?

n
n 0 Cn np q

则称 X 服从二项分布,记为________________. (3)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件 {X= k}发生的概率为 ___________(k = 0, 1, 2,?,m),其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M, N∈N*.此时称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,称随机变 量 X 服从______________.

自查自纠
1.(1)随机变量 (2)一一列出 2.(1)概率分布列 (2)①pi≥0,i=1,2,3,?,n ② ?pi=1
i=1 k n k k n 3.(1)1-p (2)Ck Ck np q np q n-k Ck C M N-M (3) 超几何分布 n CN
- -k

n

X~B(n,p)

袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1, 2,3,4,5 五个号码,在有放回抽取的条件下依 次取出两个球, 设两个球号码之和为随机变量 X, 则 X 所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25
解:号码之和可能为 2,3,4,5, 6,7,8,9,10,共 9 个.故选 B.

(2015·合肥模拟)设某项试验的成 功率是失败率的 2 倍,试验一次要么成功 要么失败,用随机变量 X 去描述 1 次试验 的成功次数,则 P(X=0)等于( ) 1 1 2 A.0 B. C. D. 2 3 3
解:X 可能取值为 0 或 1,而 P(X =1)=2P(X=0),且 P(X=1)+P(X=0) 1 =1.所以 P(X=0)= .故选 C. 3

(2015·山西模拟)从 1,2,3,4,5 中选 3 个数, 用 ξ 表示这 3 个数中最大的一个, 则 E(ξ) =( ) A.3 B.4.5 C.5 D. 6

解:由题意知,ξ 只能取 3,4,5.则 P(ξ=3) 2 2 2 C2 1 C3 3 C4 6 = 3= ,P(ξ=4)= 3= ,P(ξ=5)= 3= . C5 10 C5 10 C5 10 1 3 6 故 E(ξ)= ×3+ ×4+ ×5=4.5.故选 B. 10 10 10

(2014·浙江)随机变量 ξ 的取值为 0, 1, 1 2 , 若 P(ξ = 0) = , E(ξ) = 1 , 则 D(ξ) = 5 __________.
解:设 P(ξ=1)=p,则 ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 5 1 p 2 4 -p 5

3 1 2 由 E(ξ)=1,可得 p= ,∴D(ξ)=(0-1) × +(1 5 5 3 2 2 2 2 1 -1) × +(2-1) × = .故填 . 5 5 5 5

(2015·上海)赌博有陷阱. 某种赌博每局的 规则是:赌客先在标记有 1,2,3,4,5 的卡片中 随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位: 元 );随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两 张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金 (单位:元).若随机变量 ξ1 和 ξ2 分别表示赌客在一 局 赌 博 中 的 赌 金 和 奖 金 , 则 E(ξ1) - E(ξ2) = ____________(元).

解:赌金 ξ1 的分布列为: ξ1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 P 5 5 5 5 5 1 E(ξ1)= (1+2+3+4+5)=3, 5 奖金 ξ2 的分布列为: ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 4 3 2 1 P C2 C2 C2 C2 5 5 5 5 4 3 2 1 E(ξ2) = 1.4× 2 + 2.8× 2 + 4.2× 2 + 5.6× 2 = C5 C5 C5 C5 2.8, E(ξ1)-E(ξ2)=0.2.故填 0.2.

类型一

随机变量的概念与性质

(1) 写 出 下列 随机变 量可 能的 取 值,并说明随机变量所表示的意义. ①一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球, 从中任取 3 个,其中所含白球的个数 X; ②投掷两枚骰子,所得点数之和为 X, 所得点数的最大值为 Y.

解:①X 的可能取值为 0,1,2. X=0 表示所取的 3 个球是 3 个黑球; X=1 表示所取的 3 个球是 1 个白球,2 个黑球; X=2 表示所取的 3 个球是 2 个白球,1 个黑球. ②X 的可能取值为 2,3,?,12,Y 的可能取值为 1,2,3,?,6. 若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数,则 X=2 表示(1,1); X=3 表示(1,2),(2,1); X=4 表示(1,3),(2,2),(3,1); ? X=12 表示(6,6). Y=1 表示(1,1); Y=2 表示(1,2),(2,1),(2,2); Y=3 表示(1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2); ? Y=6 表示(1,6),(2,6),(3,6),?,(6,6),(6,5),?,(6,1).

(2)随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)= 5? C ?1 (1≤k≤10,k∈N),则 P?2<X<2?的值为 k(k+1) ? ? ________.
解:P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+?+P(X=10)=1, C C C C 即 1×2+2×3+3×4+?+10×11=1, 1? 11 ? ∴C?1-11?=1,C= . 10 ? ? 5? 11 ?1 1? 11 11 ?1 ∴P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)= ?2+6?= .故填 . 10? 15 ? ? ? 15

【点拨】①研究随机变量的取值,关键是准 确理解所定义的随机变量的含义.明确随机变量 所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量 取这个值时的概率的基础.②注意离散型随机变 量分布列的两个性质:pi≥0,i=1,2,?,n; 无 ?pi=1.③随机变量可能取某一区间内任意值,
i= 1 n

法一一列出,则称这样的随机变量为连续型随机 变量,如“长江水位”“灯管寿命”等;正态分 布即是一种重要的连续型随机变量的分布.

设随机变量 ξ 满足 P(ξ=i)

?2?i ? ?, =C· i = 1 , 2 , 3 , 则 C = ____________ . ?3?
?2 ?2?2 ?2 ?3? 27 解: C? +? ? +? ? ?=1, C= , 38 ?3 ? ? ?3 ?3?

27 故填 . 38

类型二

求离散型随机变量的分布列

袋子中有 1 个白球和 2 个红球. (1)每次取 1 个球,不放回,直到取到白球 为止,求取球次数 X 的分布列; (2)每次取 1 个球,有放回,直到取到白球 为止,但抽取次数不超过 5 次,求取球次数 X 的分布列; (3)每次取 1 个球,有放回,共取 5 次,求 取到白球次数 X 的分布列.

1 2 1 A2 1 A2 1 解:(1)X=1,2,3.P(X=1)= ;P(X=2)= 3= ;P(X=3)= 3= . 3 A3 3 A3 3

所以 X 的分布列是 X P 1 1 3 2 1 3
k-1

3 1 3 1 × ,k=1,2,3,4. 3

2 (2)X=1,2,3,4,5.P(X=k)=?3? ? ? 4 2 P(X=5)=?3? . ? ? 故 X 的分布列为 X P 1 1 3 2 2 9 3 4 27

4 8 81

5 16 81
k 5-k

1 ?1? ?2? (3)因为 X~B?5,3?, 所以 X 的分布列为 P(X=k)=Ck 5 3 ? ? ? ? ?3? k=0,1,2,3,4,5.

, 其中

【点拨】求随机变量的分布列,一要弄清 什么是随机变量,建立它与随机事件的关系; 二要把随机变量的所有值找出,不要遗漏;三 是准确求出随机变量取每个值的概率,确定概 率和为 1 后写出分布列.对于抽样问题,要特 别注意放回与不放回的区别.一般地,无放回 抽样由排列数公式求随机变量对应的概率,放 回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概 率.

(2015·安徽)已知 2 件次品和 3 件正品 混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检 测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或 者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的 是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需 要的检测费用(单位: 元), 求 X 的分布列和均值(数学 期望).

解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的 1 A1 3 2A3 是正品”为事件 A,则 P(A)= 2 = . A5 10 (2)X 的可能取值为 200,300,400. A2 1 2 P(X=200)= 2= , A5 10 1 1 2 A3 + C 3 3 2C3A2 P(X=300)= = , A3 10 5 1 3 6 P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1- - = . 10 10 10 故 X 的分布列为 X P 1 200 1 10 3 300 3 10 6 400 6 10

E(X)=200× +300× +400× =350.

类型三

超几何分布

(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒 乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协 会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人 参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且 这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

2 2 2 C2 C + C 6 2 3 3C3 解:(1)由已知,有 P(A)= = . C4 35 8 6 故事件 A 发生的概率为 . 35 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 4- k Ck C 5 3 P(X=k)= 4 (k= 1,2,3,4). C8 故随机变量 X 的分布列为

X P

1 1 14

2 3 7

3 3 7

4 1 14

1 3 3 故随机变量 X 的数学期望 E(X)=1× +2× +3× + 14 7 7 1 5 4× = . 14 2

【点拨】 ①超几何分布的概率计算公式从古典概 n- k Ck C M N- M 型的角度加以理解更易记忆:P(X=k)= ,即 n CN 恰 取 了 k 件 次 品 的 概 率 = 次品中取了k件×正品中取了n-k件 .②当 n 较小,N N件产品中任取n件 较大时, 超几何分布的概率计算可以近似地用二项分 布来代替.也就是说虽然超几何分布是不放回抽样, 二项分布是放回抽样,但是当 n 较小而产品总数 N 很大时,不放回抽样近似于放回抽样.③超几何分布

(2015·重庆) 端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘 中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种 粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

解: (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”, 则由古典概 1 1 C1 2C3C5 1 型的概率计算公式有 P(A)= = . C3 4 10 (2)X 的所有可能值为 0,1,2,且 2 C3 7 C1 7 8 2C8 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 15 C10 15 2 1 C2C8 1 P(X=2)= 3 = . C10 15 综上可知,X 的分布列为 0 1 7 7 P 15 15 7 7 1 3 故 E(X)=0× +1× +2× = . 15 15 15 5 X 2 1 15

1.求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值,以及每个值所表示 的意义,判断一个变量是否为离散型随机变量,主要看变 量的值能否按一定的顺序一一列出. (2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概 率.对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时 发生的概率、n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率等, 都要能熟练计算. (3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质 ?p i= 1 验
i= 1 n

2.分布列的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可 能的取值, 第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概 率.在每一列中,上为“事件”,下为事件发生的概率,只 不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一 列,就相当于求一个随机事件发生的概率. 3.可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、 生产实践中的问题,且往往由明显的两部分组成,如产品中 的正品和次品,盒中的白球和黑球,同学中的男生和女生 等.注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.


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