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36东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间几何体的结构、表面积与体积学生版


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 036A

空间几何的结构、表面积与体积(教案)A
一、知识梳理: (必修 2 教材第 2 页-第 7 页;第 23-第 28 页) 1、 空间几何体: (1) 、多面体: (2) 、旋转体: 2、柱、锥、台、球的结构特征 (1).棱柱:有两个面 ,其余各面都是 ,并且每相邻两个 的 公共边都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ①侧棱 叫做直棱柱。 ②底面是 的直棱柱叫做正棱柱。 ③棱柱的性质:侧棱都 ,侧面是 。 (2).棱锥:有一个面是 ,其余各面都是 的三角形,由这些面 所围成的多面体叫做棱锥。 底面是 ,顶点在 的棱锥叫做正棱锥。 (3).棱台:棱锥被 所截,截面和底面之间的部分叫做棱台。 由正棱锥截得的棱台叫 。 (4).圆柱:以 的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转 所围 成的旋转体叫做圆柱。 (5).圆锥:以 的 所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆锥。 (6). 圆台: 用 圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分叫做圆台。 (7). 球: 以 的 所在直线为旋转轴, 旋转一周形成的旋转体叫做球。 球的性质: 用一个平面去截一个球,截面是 。 (8).组合体:由柱、锥、台、球等基本几何体组成的几何体叫组合体; 3、多面体的表面积: 多面体的表面积是各个面的面积之和,也就是展开图的面积 4、旋转体的表面积公式: (1)圆柱的表面积公式: (r 为底面半径,l 为母线长) (2)圆锥的表面积公式: (r 为底面半径,l 为母线长) (3) 圆台的表面积公式 : (R、r为上、 下底面半径, l 为母线长) (4) 球的表面积公式: (R 为球的半径) 二、 题型探究: 空间几何体的结构 例 1:下列命题中正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

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D.棱台各侧棱的延长线交于一点 例 2:下列几个命题中, ①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴,将矩形旋转,所得到的两个圆柱是 两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.( ) A.1 B.2 C.3 D.4 探究二:柱、锥、台体的体积与表面积 例 3:(2009 闸北区) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,
O

OA ? 底面ABCD , 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,
OA ? 2 , M 为 OA 的中点.求四棱锥 O ? ABCD 的
体积;
B A

M

D C

解: ( Ⅰ ) 由 已 知 可 求 得 , 正 方 形 ABCD 的 面 积

S ? 4 ,……………………………2 分

1 8 V ? ? 4? 2 ? 3 3 …………………4 分 所以,求棱锥 O ? ABCD 的体积
例 4:求棱长为 1 的正四面体的内切球与外接球的表面积和体积。

例 5:一个棱长为 a 的正四体的六条棱都与一个球相切,求这个球的半径。 三、 方法提升: 要熟练掌握多面体与旋转体的概念与求积公式, 同时也要学会运用等 价转化思想, 会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题, 会等积转化问 题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”求解。

2

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四、 反思感悟;

五、课时作业; 一、选择题 1.(2008 江苏省启东中学高三综合测试二 ) 如图在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,且 BC=1,则 正三棱锥 A-BCD 的体积是( )

A.

2 12

B.

2 24

C.

3 12

D.

3 24

答案 B 2.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆 面面积为 ? ,则球的体积为 ( )

8 2? 3 A.
答案 A

8? B. 3

32? C. 3

D. 8 ?

3、有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个正三棱锥的一 个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上, 则所得到的这个组合体是: ( ) A.平行六面体 B.五棱锥 C.无平行面的六面体 D.斜三棱柱 4、用一个平面去截一个几何体,如果截面是三角形,则这个几何体可能 是 。 5.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,他们位于球的同一侧,且相距为 1,那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 6.( 湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试 ) 已知 ?ABC 中, AB=2 , BC=1 ,
?ABC ? 120? , 平面 ABC 外一点 P 满足 PA=PB=PC=2, 则三棱锥 P—ABC 的体积是 (



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5 2 A.

5 B. 3

5 4 C.

5 D. 6

答案

D

2 3 7.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 3 ,则它的外接球的表面积为 ( )

8 ? A. 3
答案 C

B.2π

C.4π

4 ? D. 3

8.(江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟) 三棱锥 P—ABC 的侧棱 PA、PB、PC 两两垂 直,侧面面积分别是 6,4,3,则三棱锥的体积是 A. 4 答案 A 二、填空题 9.(2009 年高考全国卷Ⅰ )已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平 面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于__________. 10.四边形 ABCD 中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),绕 y 轴旋转一周,则所得 旋转体的体积为________. 11.已知正方体 AC1 的棱长为 a,E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积. 3 12.正三棱台高为 12 cm,上、下底面面积之比为 1∶4,它的体积为 28 cm ,则下底 面面积为__________. 三、解答题: 13.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的 中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则 此三棱柱的体积为 .
[来源:学科网]

( D. 10

)

B. 6

C. 8

4

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14.已知圆台的母线长为 4 cm,母线与轴的夹角为 30°,上底面半径是下底面半径 1 的 ,求这个圆台的侧面积. 2

15.在底面直径和高均为 2R 的圆锥内作一内接圆柱,当圆柱的底面半径和高分别为 多少时,它的体积最大?

16.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m): (1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积.

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