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2014届高考数学二轮专题复习常考问题4 导数的简单应用


常考问题 4

导数的简单应用

(建议用时:50 分钟) 1 2 1.函数 f(x)= x -ln x 的单调递减区间为 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ( ).

1 解析 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由 f′(x)=x- ≤0,解得 0<x≤1,所

x

以函数的单调递减区间为(0,1]. 答案 B 2.已知曲线 y=x +ax +1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,a= A.9
3 4 2

(

). D.-6

B.6
3

C.-9

解析 由于 y′=4x +2ax,所以 4×(-1) +2a×(-1)=8,解得 a=-6,故选 D. 答案 D 3.已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为 ( ).

1? ?1 ? ? A.?-∞, ?∪? ,2? 2? ?2 ? ?

?1 ? B.(-∞,0)∪? ,2? ?2 ?
1? ?1 ? ? C.?-∞, ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? 1? ? D.?-∞, ?∪(2,+∞) 2? ? 解析 xf′(x)<0? ?
?x>0, ? ?x<0, ? 或? ?f′(x)<0 ? ?f′(x)>0. ?

?1 ? 当 x∈? ,2?时,f(x)单调递减,此时 f′(x)<0. ?2 ?
当 x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,此时 f′(x)>0.故选 B.
[来源:学。科。网]

答案 B 4.已知函数 f(x)=x +ax +x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实 数 a 的取值范围是 A.(0,2] B.(0,2) C.[ 3,2) ( ). D.( 3,2)
2 3 2

解析 由题意可知 f′(x)=0 的两个不同解都在区间(-1, 1)内. 因为 f′(x)=3x +2ax

? ?-1<-62a<1, +1,所以根据导函数图象可得? f′(-1)=3-2a+1>0, ? ?f′(1)=3+2a+1>0,
Δ =(2a) -4×3×1>0, 又 a>0,解得 3<a<2,故选 D. 答案 D 5.(2013·潍坊模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,不等式 f(x) 1? 1 ? 0.3 0.3 +xf′(x)<0 成立,若 a=3 f(3 ),b=logπ 3f(logπ 3),c=log3 f?log3 ?,则 a,b, 9? 9 ?

2

c 间的大小关系是
A.a>b>c C.c>a>b 解析 设 g(x)=xf(x),则 g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0), ∴当 x< 0 时,g(x)=xf(x)为减函数. 又 g(x)为偶函数,∴当 x>0 时,g(x)为增函数. 1 0.3 ∵1<3 <2,0<logπ 3<1,log3 =-2, 9 ∴g(-2)>g(3 )>g(logπ 3),即 c>a>b. 答案 C
0.3
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

(

).

B.c>b>a D.a>c>b

6.设 P 为曲线 C:f(x)=x -x+1 上的点,曲线 C 在点 P 处的切线斜率的取值范围是[-1, 3],则点 P 的纵坐标的取值范围是________. 解析 设 P(x0,y0),则 f′(x)=2x-1. ∴-1≤2x0-1≤3,即 0≤x0≤2. 1?2 3 ? 2 ∵y0=f(x0)=x0-x0+1=?x0- ? + , 2? 4 ?

2

3 ∵x0∈[0,2],∴ ≤y0≤3, 4

?3 ? 故点 P 的纵坐标的取值范围是? ,3?. ?4 ? ?3 ? 答案 ? ,3? ?4 ?
7.已知函数 f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 解析 ∵f(x)=aln x+x.∴f′(x)= +1. 又∵f(x)在[2,3]上单调递增,∴ +1≥0 在 x∈[2,3]上恒成立, ∴a≥(-x)max=-2,∴a∈[-2,+∞). 答案 [-2,+∞) 8.(2013 ·盐城调研)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则
3 2

a x

a x

ab 的最大值为________.
解析 依题意知 f′(x)=12x -2ax-2b, ∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又 a>0,b>0,∴ab≤? ∴ab 的最大值为 9. 答案 9 9. 已知 f(x)=e -ax-1. (1 )求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)=e -ax-1(x∈R),∴f′(x)=e -a.令 f′(x)≥0,得 e ≥a.当 a≤0 时,f′(x)>0 在 R 上恒成立;当 a>0 时,有 x≥ln a.综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增 区间为(-∞,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(ln a,+∞). (2)由(1)知 f′(x)=e -a.∵f(x) 在 R 上单调递增, ∴f′(x)=e -a≥0 恒成立,即 a≤e 在 R 上恒成立. ∵x∈R 时,e >0,∴a≤0, 即 a 的取值范围是(-∞,0]. 1 2 10.(2013·西安五校二次联考)已知函数 f(x)= ax -(2a +1)x+2ln x,a∈R. 2 (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值;
[来源:Z§xx§k.Com]

2

?a+b? =9,当且仅当 a=b=3 时取等号, ? ? 2 ?

2

x

x

x

x

x

x

x

x

(2)求 f(x)的单调区间. 2 解 f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).

x

2 (1)由 题意得 f′(1)=f′(3),解得 a= . 3 (ax-1)(x-2) (2)f′(x)= (x>0).

x

①当 a≤0 时, x>0, ax-1<0.在区间(0, 2)上, f′(x)>0; 在区间(2, +∞)上, f′(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). 1 1 ?1 ? f′(x)>0; ? 1? ②当 0<a< 时, >2.在区间(0, 2)和? ,+∞?上, 在区间?2, ?上, f′(x)<0. 2 a ?a ? ? a?

?1 ? ? 1? 故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和? ,+∞?,单调递减区间是?2, ?. ?a ? ?
a?
1 (x-2) ③当 a= 时,f′(x)= ≥0, 2 2x 故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 1 1 ? 1? ?1 ? f′(x)<0. ④当 a> 时, 0< <2, 在区间?0, ?和(2, +∞)上, f′(x)>0; 在区间? ,2?上, 2 a ? a? ?a ?
2

? 1? ?1 ? 故 f(x)的单调递增区间是?0, ?和(2,+∞),单调递减区间是? ,2?. ?
a?

?a

?

11.(2013·重庆卷)设 f(x)=a(x-5) +6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)因 f(x)=a(x-5) +6ln x, 6 故 f′(x)=2a(x-5)+ .
2

2

x

令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8 a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y-16a=(6-8a)(x-1),

[来源:Z,xx,k.Com]

1 由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 2 (2)由(1)知,f(x)= (x-5) +6ln x(x>0), 2

f′(x)=x-5+ = x

6 (x-2)(x-3) .

x

令 f′(x)=0,解得 x=2 或 3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,

故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知,f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2 2 +6ln 3. 备课札记:

[来源:Zxxk.Com]



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