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平面向量知识点归纳


平面向量基础知识复习

平面向量知识点小结
一、向量的基本概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以平移. ??? ? ? 举例 1 已知 A(1,2) , B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a ? (?1,3) 平移后得到的向量是_____. 结果: (3,0) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,规定:零向量的方向是任意的;

?

??? ? ??? ? AB ? ; AB 共线的单位向量是 ? ??? ) 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 | AB |
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b , 规定:零向量和任何向量平行. 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平 行不包含两条直线重合; ? ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ??? ???? ? ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 共线. AC ? ? 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作 ? a . ? ? ? ? 举例 2 如下列命题: (1)若 | a |?| b | ,则 a ? b . (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同. ??? ???? ? ? (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形. ??? ???? ? ? (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC . ? ? ? ? ? ? (5)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c . ? ? ? ? ? ? (6)若 a / /b , b / /c 则 a / /c .其中正确的是 . 结果: (5) (4) 二、向量的表示方法 1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等;

?

?

?

?

??? ?

?

?

?

3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平

? ?

a 面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? yj ? ( x, y) , ( x )y 为向量 a 的坐标, ? ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示. 称 ,
结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 ? ? ? 定理 设 e1 , e2 同一平面内的一组基底向量, a 是该平面内任一向量,则存在唯一实数对 (?1 , ?2 ) ,使

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 .

? ? ? ? ? (1)定理核心: a ? λ1e1 ? λ2e2 ; (2)从左向右看,是对向量 a 的分解,且表达式唯一;反之,是对向量 a 的

合成.
? ? ? ? ? ? (3)向量的正交分解:当 e1, e2 时,就说 a ? λ1e1 ? λ2e2 为对向量 a 的正交分解.

? ? 举例 3 (1)若 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1,2) ,则 c ?
?

?

. B

? 结果: 1 a ? 3 b . 2 2

?

(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
? A. e1 ? (0,0) ? ,e2 ? (1, ?2) ? ? B. e1 ? (?1,2) ,e2 ? (5,7)
???? ???? A D, B E 分 别是 △ABC

? ? C. e1 ? (3,5) ,e2 ? (6,10) ????

? D. e1 ? (2, ?3) ,e2 ? ? ?
?

(3)已知 为 .

的边

BC

? , AC 上 的 中 线 , 且 AD ? a , BE ? b ,则

??? ?

?

??? ? BC

可 用 向量

1 3? ,? ? ?2 4? ? ? a, b 表 示

结果:

2? 4? a? b. 3 3

(4)已知 △ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB , CD ? rAB ? sAC ,则 r ? s ? 的值是 0. 四、实数与向量的积 ? ? 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下: ? ? (1)模: | ? a |?| ? | ? | a | ; 1

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

.

结果:

? ? ? ? (2)方向:当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反,当 ? ? 0 ? ? 时, ? a ? 0 ,
? 注意: ?a ? 0 . 五、平面向量的数量积

平面向量基础知识复习

? b 的夹角.

1.两个向量的夹角: 对于非零向量 a ,b , O ?a ,OB ? b , 作 A 则把 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) 称为向量 a ,

?

?

?? ? ?

?

??? ?

?

?

当 ? ? 0 时, a , b 同向;当 ? ? ? 时, a , b 反向;当 ? ?

?

?

?

?

?
2

时, a , b 垂直.

?

?

2.平面向量的数量积: 如果两个非零向量 a ,b , 它们的夹角为 ? , 我们把数量 | a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b ?| a | ? | b | cos ? . 规定:零向量与任一向量的数量积是 0. 注:数量积是一个实数,不再是一个向量. ??? ? ???? ???? ??? ??? ? ? 举例 4 (1) △ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________.
? 1 (2)已知 a ? ?1, ? ? ? ? 2?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

结果: ?9 . 结果:1. .

? ? ? 3.向量 b 在向量 a 上的投影: | b | cos? ,它是一个实数,但不一定大于 0.
?

? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? , b ? ? 0, ? ? , c ? a ? kb , d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ? ,则 k ? ____. ? ? 2? ? 4 ? ? ? ? ? ? | b |? 5 , a ? b ? ?3 ,则 | a ? b |? ____. (3)已知 | a |? 2 , 结果: 23 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为____. 结果: 30?

? ? ? 举例 5 已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______.

?

?

结果: 12 .
5

4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: (1) a ? b ? a ? b ? 0 ;

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | 是 a 、 b 同向的充要分条件; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 a 、 b 反向时, a ? b ? ? | a | ? | b | , a ? b ? ? | a | ? | b | 是 a 、 b 反向的充要分条件; ? ? ? ? ? ? 当 ? 为锐角时, a ? b ? 0 ,且 a 、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要不充分条件; ? ? ? ? ? ? 当 ? 为钝角时, a ? b ? 0 ,且 a 、 b 不反向; a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要不充分条件. ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? (3)非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ a ? b ?| a || b | . | a || b |
(2)当 a 、 b 同向时, a ? b ?| a | ? | b | ,特别地, a 2 ? a ? a ?| a |2 ?| a |? a 2 ;

?

?

? ?

?

?

b 举例 6 (1) 已知 a ? (?,2?) , ? (3? , 2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, ? 的取值范围是______. 则

?

?

?

?

结果: ? ? 4 ?
3

或 ? ?0且 ? ? 1 ; 3 (2) 已知 △OFQ 的面积为 S , O 且 F 果: ? ?
? ?? , ? ?4 3?
???? ???? 1 3 F ? Q ?1 , 若 ?S? 2 2

, OF ,FQ 夹角 ? 的取值范围是_________. 则

????

????




?
? ? ? ? 3 | a ? kb |

? (3)已知 a ? (cos x,sin x) , b ? (cos y,sin y ) ,且满足 | ka ? b |?

(其中 k ? 0 ). 的大小.
? 结果:① a ? b ? k ?
2

? ? ①用 k 表示 a ? b

? ? ;②求 a ? b

? 的最小值,并求此时 a

? 与 b 的夹角 ?

?1 (k ? 0) 4k



②最小值为 1 , ? ? 60? .
2

六、向量的运算 1.几何运算 (1)向量加法 运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则. 2

??? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? 运算形式:若 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ;
作图:略. 注:平行四边形法则只适用于不共线的向量. (2)向量的减法 运算法则:三角形法则.

平面向量基础知识复习

运算形式:若 AB ? a , AC ? b ,则 a ? b ? AB ? AC ? CA ,即由减向量的终点指向被减向量的终点. 作图:略. 注:减向量与被减向量的起点相同. ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? ? ( 举例 7 (1) 化简: AB ? BC ? CD ? ① ; AB ? AD ? DC ? ② ; ( A C ) ?C B ? ) ? ③ B ?D A D . 结 ???? ??? ? ? 果:① AD ;② CB ;③ 0 ; ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c |? . 结果: 2 2 ; (3)若 O 是 △ABC 所在平面内一点,且满足 三角形;
??? ??? ??? ? ? ? ?
??? ???? ??? ???? ? ? ??? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA

??? ?

?

????

?

?

?

??? ???? ?

??? ?

,则 △ABC 的形状为.
??? ? | PD |

结果:直角

AP (4)若 D 为 △ABC 的边 BC 的中点,△ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 | ???? | ? ? ,则 ? 的

值为

? ? 2.坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 ? ? ? ? (1)向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
??? ? ??? ? ????

. 结果:2; ??? ??? ??? ? ? ? ? (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为

.

结果: 120? .

举例 8 (1)已知点 A(2,3) , B(5,4) , C(7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则当 ? ? ____时,点 P 在第一、三 象限的角平分线上. 结果: 1 ;
2 ??? ? 2 2 2

(2)已知 A(2,3) , B(1,4) ,且 1 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? ? , ? ) ,则 x ? y ? (3) 已知作用在点 A(1,1) 的三个力 结果: (9,1) .
?? ? F1 ? (3, 4) ?? ? ?? ? ,F2 ? (2, ?5) ,F3 ? (3,1)

.结果: ? 或 ? ? ;
6 2

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? , 则合力 F ? F1 ? F2 ? F3

的终点坐标是

.

(2)实数与向量的积: ? a ? ? ( x1 , y1 ) ? (? x1 , ? y1 ) . (3)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? (x 2 ?x 1 ,y 2 ?y 1 ) ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标. 举例 9 设 A(2,3) ,B(?1,5) , A 且 C
? ? ?1 ? ?A B 3
?

?

??? ?

,AD ? 3AB , C, D 的坐标分别是__________. 则

????

??? ?

结果:(1,11),(?7,9) .
3

(4)平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . (1)若 x ? ? ,求向量 a 、 c 的夹角;
? ?
3

? ?

? ? 举例 10 已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1,0) .

(2)若 x ?[? 3? , ? ] ,函数
8 4
? ?

? ? f ( x) ? ? a ? b

的最大值为 1 ,求 ? 的值.结果: (1) 150? ; (2) 1 或 ? 2 ? 1 .
2 2
?

? ? ? (5)向量的模: a 2 ?| a |2 ? x2 ? y 2 ?| a |? x2 ? y 2 .
?

举例 11 已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b |? =
2

.

结果: 13 .
2

(6)两点间的距离:若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) . 举例 12 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系 y ??? ? ? ? ? ? 的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1, e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单 位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y) . (1)若点 P 的斜坐标为 (2, ?2) ,求 P 到 O 的距离 | PO | ; 60? (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. O 结果: (1)2; (2) x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 . 七、向量的运算律 1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ( ? a ) ? (?? )a , a ? b ? b ? a ; 3

x

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.结合律: a ? b ? c ? (a ? b ) ? c , a ? b ? c ? a ? (b ? c ) , (? a)b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a , ? (a ? b ) ? ? a ? ?b , (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c .
举例 13 给出下列命题:①
? ? ? ? ? ? ⑨ ( a ? b ) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2

平面向量基础知识复习

? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

;②

? ? ? ? ? ? a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④ 若 a ?b ?0 , 则 a ? 0 或 b ? 0 ; ⑤ 若 a ?b ?c ?b 则 a ? c ; ⑥

? ? ? ? ? ? ( a ? b ) 2 ?| a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b b | a |2 ? a 2 ; ⑦ ? 2 ? ? ; ⑧ ( a ? b ) 2 ? a 2 ? b 2 a a

;③



. 其中正确的是 . 结果:①⑥⑨. 说明: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边 同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向 量,切记两向量不能相除(相约); ? ? ? ? ? ? (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c ,为什么? 八、向量平行(共线)的充要条件
? ? 举例 14 (1)若向量 a ? (x,1) , b ? (4, x ) ,当 x ? _____时, a 与 b 共线且方向相同. 结果:2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1,1) , b ? (4, x ) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u / /v ,则 x ? . 结果:4. ??? ? ??? ? ???? (3)设 PA ? (k ,12) , PB ? (4,5) , PC ? (10, k ) ,则 k ? _____时, A, B,C 共线. 结果: ?2 或 11. 九、向量垂直的充要条件

? ? ? ? ? ? ? ? a / /b ? a?b ? (a ? b )2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 ? 0 .
?

?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ??? ? ???? ??? ? ???? ? AB AC ? ? AB AC ? ? ? 特别地 ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ???? ? . ? | AB | | AC | ? ? | AB | | AC | ? ? ? ? ?
举例 15 (1)已知 OA ? ( ?1, 2) , OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

.结果: m ? 3 ;
2

(2) 以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,?B ? 90? , 则点 B 的坐标是 或(3,-1); ) ? ? ? ? ? ? (3)已知 n ? (a, b) 向量 n ? m ,且 | n |?| m | ,则 m ? 的坐标是 .结果: (b, ?a) 或 (?b, a) . 十、线段的定比分点

.结果: (1,3)

1.定义:设点 P 是直线 P P2 上异于 P1 、 P2 的任意一点,若存在一个实数 ? ,使 PP ? ? PP ,则实数 ? 1 1 2 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比 ? , P 点叫做有向线段 P P2 的以定比为 ? 的定比分点. 1 1 2. ? 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P P2 ,即点 P 在线段 P P2 上 ? ? ? 0 ; 1 1 上 ??1 ? ? ? 0 . (2) P 外分线段 P P2 时,①点 P 在线段 P P2 的延长线上 ? ? ? ?1 ,②点 P 在线段 P P2 的反向延长线 1 1 1 注:若点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P2 P1 所成的比为 举例 16 若点 P 分 AB 所成的比为 3 ,则 A 分 BP 所成的比为
4
???? ? ???? ?

??? ?

????

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

1 . ?
3

??? ?

??? ?

.

结果: ? 7 .

3.线段的定比分点坐标公式: 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , 点 P( x, y ) 分 有 向 线 段 P P2 所 成 的 比 为 1 1

???? ?

? ,则定比分点坐标公式为

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 , 1? ? (? ? ?1) . y1 ? ? y2 . 1? ?

4

平面向量基础知识复习

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 特别地,当 ? ? 1 时,就得到线段 P P2 的中点坐标公式 ? 1 ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
说明: (1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确 ( x, y) , (x1, y1) 、 (x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点, 终点的坐标. (2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 ? . 举例 17 (1)若 M (?3, ?2) , N (6, ?1) ,且 MP ? ? 1 MN ,则点 P 的坐标为
3 ???? ? ???? ?

.
???? ?

结果: (?6, ? 7 ) ;
3

? (2)已知 A(a,0) , B(3,2 ? a) ,直线 y ? 1 ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2MB ,则 a ?
2

???? ?

.

结果:2

或 ?4 . 十一、平移公式

? ? x ? ? x ? h, 如果点 P( x, y ) 按向量 a ? (h, k ) 平移至 P ( x ?, y ?) ,则 ? ;曲线 f ( x, y) ? 0 按向量 a ? (h, k ) 平移 ?
? y? ? y ? k.

得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . 说明: (1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! ? ? 举例 18 (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平移到点______. 结果: (?8,3) ; ? ? (2)函数 y ? sin2x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2x ? 1 ,则 a ? ________. 结果:
(? ,1) 4

?

.

十二、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; 2.模的性质: | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | .

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b (2)左边等号成立条件: a、 反向或 a、 中有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b | ; ? ? ? ? ? ? ? ? b (3)当 a、 不共线 ? | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . b b (1)右边等号成立条件: a、 同向或 a、 中有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b | ;
3.三角形重心公式 在 △ABC 中,若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则其重心的坐标为 G( 举例 19
? 2 4? ?? , ? ? 3 3?

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
.结果:

若 △ABC 的三边的中点分别为 A(2,1) 、 B(?3,4) 、 C(?1, ?1) ,则 △ABC 的重心的坐标为

.

5.三角形“三心”的向量表示

??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? 特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? G 为△ ABC 的重心. ( PA ? PB ? PC ) ? G 为△ ABC 的重心, 3 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (2) PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为△ ABC 的垂心. ??? ? ???? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB AC ? ? (3) | AB | PC ? | BC | PA ? | CA | PB ? 0 ? P 为△ ABC 的内心;向量 ? ? ???? ? ????? ? (? ? 0) 所在直 ? | AB | | AC | ? ? ? 线过△ ABC 的内心. ???? ? 6.点 P 分有向线段 P P2 所成的比 ? 向量形式 1 ???? ? ???? ? ???? MP ? ? MP ???? ? 1 2 设点 P 分有向线段 P P2 所成的比为 ? ,若 M 为平面内的任一点,则 MP ? ,特别地 P 为有 1 1? ? ???? ???? ? ? ???? ? ???? MP ? MP 1 2 向线段 P P2 的中点 ? MP ? . 1 2
(1) PG ? 5

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7. 向量 PA, PB, PC 中三终点 A, B, C 共线 ? 存在实数 ? , ? ,使得 PA ? ? PB ? ? PC 且 ? ? ? ? 1 .
举例 20 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA ? ?2 OB ,其中 . 结果:直线 AB . ?1, ?2 ?R 且 ?1 ? ?2 ?1 ,则点 C 的轨迹是
???? ??? ? ??? ?

平面向量基础知识复习

6



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