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【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四 2.3.3平面向量的坐标运算(讲)


人教版 必修四 2. 3.3 平面向量的坐标运算(讲)

【教学目标】 1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则,并能进行相关运算, 进一步培养学生的运算能力; 2.通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联 系,培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点: 平面向量的坐标运算. 教学难点: 对平面向量坐标运算的理解. 【教学过程】 一、 〖创设情境〗 以前,我们所讲的向量都是用有向线段表示,即几何的方法表示。向量是否可以用代数 的方法,比如用坐标来表示呢?如果可能的话,向量的运算就可以通过坐标运算来完成,那 么问题的解决肯定要方便的多。因此,我们有必要探究一下这个问题:平面向量的坐标运算。 二、 〖新知探究〗 思考 1: 设 i、j 是与 x 轴、 y 轴同向的两个单位向量, 若设 a =(x1, y1)

?

? ? b =(x2, y2)则 a ?
?

=x1i+y1j, b =x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量 a + b , a - b ,λ a (λ ∈R) 如何分别用基底 i、j 表示?

?

?

?

?

? ? a + b =(x1+x2)i+(y1+y2)j, ? ? a - b =(x1-x2)i+(y1-y2)j, ? λ a =λ x1i+λ y1j.
思考 2:根据向量的坐标表示,向量 a + b , a - b ,λ a 的坐标分别如何?

?

?

?

?

?

? ? a + b =(x1+x2,y1+y2); ? ? a - b =(x1-x2,y1-y2);
λ a =(λ x1,λ y1). 两个向量和与差的坐标运算法则: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考 3:已知点 A(x1, y1),B(x2, y2),那么向量 AB 的坐标如何?
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?

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考 4:一个向量平移后坐标不变,但起点坐标和终点坐标发生了变化,这是否矛盾呢? 结论: 1:任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系,只与其相 对位置有关。 2:当把坐标原点作为向量的起点,这时向量的坐标就是向量终点的坐标. 三、 〖典型例题〗 例1 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求

?

?

? ? ? ? ? ? a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

解: a + b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5),

?

?

? ? a - b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3),
3 a +4 b =3(2,1)+4(-3,4)= (6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评:利用平面向量的坐标运算法则直接求解。 变式训练 1:已知 a ? (3, 2) , b ? (0, ?1) ,求 ?2a ? 4b , 4a ? 3b 的坐标;

?

?

例 2 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1) 、 (-1,3) (3,4) , 求顶点 D 的坐标。 解:设点 D 的坐标为(x,y),

AB ? (?1,3) ? (?2,1) ? (1, 2) DC ? (3, 4) ? ( x, y ) ? (3 ? x, 4 ? y ) 且 AB ? DC ?(1, 2) ? (3 ? x, 4 ? y)
即 3- x=1,4-y=2 解得 x=2,y=2 所以顶点 D 的坐标为(2,2). 另解:由平行四边形法则可得

BD ? BA ? BC ? (?2 ? (?1),1 ? 3) ? (3 ? (?1), 4 ? 3) ? (3, ?1) OD ? OB ? BD ? (?1,3) ? (3, ?1) ? (2, 2)

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所以顶点 D 的坐标为(2,2) 点评:考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 变式训练 2:已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这 四点构成平行四边形四个顶点。

四、 〖课堂小结〗 本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则: (1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和; (2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差; (3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数; 五、 〖反馈测评〗 1.下列说法正确的有( )个 (1)向量的坐标即此向量终点的坐标 (2)位置不同的向量其坐标可能相同 (3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 (4)相等的向量坐标一定相同 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知 A(-1,5)和向量 a =(2,3),若 AB =3 a ,则点 B 的坐标为__________。 A.(7,4) B.(5,4) C.(7,14) D.(5,14)

?

?

3.已知点 A(1,1) , B(?1,5) 及 AC ? 的坐标。

1 1 AB , AD ? 2 AB , AE ? ? AB ,求点 C 、 D 、 E 2 2

〖板书设计〗

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