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新人教A版高中数学必修5


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3.4基本不等式:
a?b ab ? 2

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重要不等式: 如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab

(当且仅当a=b 时取“=”) 1.指出适用范围:a, b ? R

a 2.强调取“=”的条件: ? b
基本不等式: 如果a, b∈R+,那么
a?b ? ab 2

(当且仅当a=b 时,式中等号成立)

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a?b 为a,b 的算术平均数, 称 2 称 ab 为a,b 的几何平均数。

注意:1.适用的范围:a, b 为正数. 2.语言表述:两个正数的算术平均

数不小于它们的几何平均数。
a?b 3.我们把不等式 ? ab (a>0,b>0) 2

称为基本不等式

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a?b 把 2 看做两个正数a,b 的等差中项, ab 看做正数a,b的等比中项,

那么上面不等式可以叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。

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小结:利用 a ? b ? 2 ab(a ? 0, b ? 0) 求最值时要注意下面三条:

(1)一正:各项均为正数
(2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。 两个正数和为定值,积有最大值。 (3)三相等:求最值时一定要考虑不等式 是否能取“=”,否则会出现错误

例题:

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4 (1)已知x ? 0,求y ? x ? 的 x 最小值。 ( 2 )设0 ? x ? 1, 求y ? x (1 ? x )的 最大值。

例题:

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4 (1)已知x ? 0,求y ? x ? 的最小值。 x

4 变式:已知x ? 1, 求y ? x ? 的最小值。 x?1

( 2 )设0 ? x ? 1, 求y ? x(1 ? x )的最大值。
变式:

1 已知0 ? x ? , 求y ? x(1 ? 2 x )的最大值。 2

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练习:

4 求y ? 3x ? 的最小值 x ?1 (其中x ? 1 );

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?2 x 2 ? x ? 3 例3.求函数 f ( x) ? ( x ? 0) x

的最大

值,及此时x的值。
3 解: f ( x) ? 1 ? (2 x ? ) ,因为x>0, x
3 3 所以 2 x ? ≥ 2 2 x ? ? 2 6 x x 3 得 ?(2 x ? )≤ -2 6 x

因此f(x)≤ 1 ? 2 6

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当且仅当 号成立。

3 2x ? x

3 ,即 x ? 2
2

时,式中等

由于x>0,所以

6 x? 2

,式中等号成立,
6 ,此时 x ? 2

因此 f ( x)max ? 1 ? 2 6



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1 1 例4、已知正数x、y满足2x+y=1,求 ? 的最小值 x y

错解:?1 ? 2x ? y ? 2 2xy
1 ? xy ? 即 ?2 2 xy 2 2 1

错因:
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡,而这两次取 “=”号的条件是不同的, 故结果错。

1 1 1 ? ? ?2 ? 2? 2 2 ? 4 2 x y xy
1 1 即 ? 的最小值为 4 x y

2

正确解答是:
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已知正数x、y满足2x+y=1,求 解: 1 1

1 1 ? 的最小值 x y

? ? ? 2x ? y ? 2x ? y x y x y

y 2x ? 3? ? x y ? 3? 2 2
当且仅当

y 2 x 即: y ? 2 x 时取“=”号 ? x y
即此时

1 ? ? y ? 2x ?x ? 2 ? 2 而? ? ? ? ?2 x ? y ? 1 2 ?y ? ? 2? 2 ?

ymin ? 3 ? 2 2

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构造积为定值,利用基本不等式求最值 思考:求函数 y ?

x ?2
2

x 2 ?1

的最小值

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1 的最小值为 2 ,此时x= 1、当x>0时, ? x x
1 2、已知 2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0) 则x y 的最大值是
1 6





x, y ,且 x ? y ? 5,则 3 x ? 3 y的最小 3、若实数
值是( D ) A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3

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4、在下列函数中,最小值为2的是( C)
1 x 5 (1 ? x ? 10) A、 ? ? ( x ? R, x ? 0)B、y ? lg x ? y lg x 5 x

C、y ? 3 ? 3 ( x ? R)
x

?x

1 ? (0 ? x ? ) D、y ? sin x ? sin x 2

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巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗

小结评价

你会了 吗?

1。本节课主要学习了基本不等式的初步 应用。 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。

3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”, 它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。 4。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于 迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐 在成功之中,就能领略到公式平静的美。

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1、设 a, b ? R 且a+b=3,求2a+2b的最小值___。
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少?

4.互不相等的四个正数a, b, c, d 成等比数列, a?d 则 bc与 的大小关系是 ____________ . 2

x ? 7 x ? 10 3、若 x ? ?1,则函数 y ? 的最小值是____。 x ?1
2

5.求以下问题中的最值 : 9 (1)若a ? 0,则当a ? ____ 时,4a ? 有最小值____; a ( 2)正数x , y满足x ? y ? 20, lg x ? lg y的最大值____;

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下面几道题的解答可能有错,如果错了, 那么错在哪里? 1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

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3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? 0, ] ( sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

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构造和为定值,利用基本不等式求最值 0 ? x ? 1 ,求 x 1 ? x 2 的最大值 例5、已知
练习: 已知 x ? 0, y ? 0且 最大值是多少?

2 x ? 5 y ? 20,则 lg x ? lg y

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16 6. (1) y ? sin ? ? (? ? k? , k ? Z )最小值是8; 2 sin ?
2

(2)设x ? 1,则f ( x ) ? log a x ? log x a的值域是[2,??); 8 8 2 ( 3)设x ? R , 则y ? x ? 中,当x ? , x ? 2时, ymin ? 8; x x
? 2

(4) y ?

x2 ? 2 x2 ? 1

的最小值是2

(4) 其中正确命题的有 _______

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b 1.设 a >0, >0,若 3是
得最小值为(

3a 与 3b

1 1 的等比中项,则 a ? b

B)
B. 4

(2009年天津理6)

A. 8

C. 1

1 D. 4

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?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 2.(2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(
A.

a>0, b
B.

2 3 >0)的最大值为12,则 a ? b 的最小值为( A )

25 6

8 3

C.

11 3
y

D. 4

略解:
把点(4, 6)代入z ? ax ? by得4a ? 6b ? 12, 2 3 ? 2 3 ? 2a ? 3b 即2a ? 3b ? 6, 而 ? ? ? ? ? a b ?a b? 6 13 b a 13 25 ? ? ( ? ) ? ? 2 ? , 故选A 6 a b 6 6
-2

(4,6)

x? y?2?0
z ? ax ? by

2 0

2

3x ? y ? 6 ? 0

x


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