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高考解析几何考点解析与试题集粹(上)


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? 4 O?   重庆 

《 数学教学通讯 ) ) 2 0 0 5 年 6月( 下半月) ( 总第 2 3 5 期)  

高考解析几何考点解析与试题集粹( 上)  
( 四川省渠县 中学   6 3 5 2 0 0 )   郑兴明  

教学科《 考试大纲》 要求考生:  
① 理解直线斜率 的概念 , 掌握过两点的直线 的斜  率公式 ; 掌握直线方程的点斜式、 两点式、 一般式, 并能  根据条件熟练地求出直线方程.   ② 掌握两条直线平行与垂直的条件 , 两条直线所  成的角和点到直线 的距离公式; 能够根据直线 的方程  判断两条直线的位置关系.  
③ 了解二元一次不等式表示平面区域和线性规划 

的对称点 E ( 3 , O )   P   P : 上, E关于 C D的对称点 F ( 3 ,   2 ) 在P 2 P   3 上, F关于 D A的对称点 G( 一3 , 2 ) 在P 3 P  
上.  
?


.   r 。 ,   一 二   j :   :   ≥   一 一 t a n   .  
n  )   q 

由l <z   <2 得寺<南

<寺, 故 选 ( c ) ?  

考点 2   考查两直线夹角求法 
例2 ( 2 0 0 4 年重庆高考题) 曲线Y 一2 一÷z   与  

的意义, 并会简单的应用.   ④ 掌握 圆的标 准方程、 一般方 程、 参数方程 的概  念、 性质及其应用.   下面介绍高考直线和圆的考点及其解析.  

Y 一÷z 。 一2 在 交点 处切 线的 夹角 是— — ( 用 弧度 数  
作答) .  

解析 : 此题考查条直线夹 角与导数性质 等基础知  识. 将z   依逆时针方 向旋转到与z : 重合时所转的角叫做  z   到z : 的角; 而两条直线所成的不大于直角的角称其夹 

考点 1   考查斜率取值范围求法 
例1 ( 2 0 0 3 年全国高考题)已知长方形的四个顶  点 A( O , O ) 、 B( 2 , O ) 、 c ( 2 , 1 ) 和 D( 0 , 1 ) . 一质点从A B的  
中点P 。 沿与A B夹角为 0 的方向射到B C上的点P   后,  

角 , 用 t a n   一 I ≠ 车  I 计 算 .  
解: 两曲线的交点为 ( 2 , O ) . 设在交点处两切线的 
斜率分别为  、  , 则 

依次反射到 C D、 D A和 A B上的点为P z 、 P s 和P   ( 入射 
角等于反射角) . 设P   的坐标为( z   , O ) . 若1 <z   <2 ,   则t a n @ 的取值范围是(  
1  

)  
1  
0  

1 一( 2 一÷z   )     l : 2 一一2 ;  
9  
0 

( A ) ( ÷, 1 ) .  
0 

( B ) ( ÷, ÷) .  
9  9  

.  2 一( ÷z 。 一2 )     l : 2 —3 .  
?
. .

0 

1  

( c ) ( ÷, ÷) .  

( D ) ( 专, 专) .  

t an   一

1   l = l 旱 I  

解析: 此题设计新颖 , 考查直线倾斜角、 斜率 , 位置  关系和对称问题等基础知识. 如果固守求交点的通法,   将陷入繁杂运算的泥潭.  

故 交 点 处 切 线 的 夹 角0 一÷.  
考点 3   考查两直线位置关系 
例3 ( 2 0 0 4 年湖北高考题) 与直线 2 x—Y+ 4=   0 平行的抛物线 Y—z   的切线方程是 (   )  

G< 一3 . 2 )  

( A)2 x — Y+ 3— 0 .   ( B )2 x — Y 一 3— 0 .   ( C)2 x — Y+ 1— 0 .   ( D)2 x — Y 一 1— 0 .  

I  

P 3  
A 

j  
B E 
( 3 . 0 )  

解析 : 此题考查两 条直线平行充要条件与导数几 
何意义的应用等基础知识.  

I  

图 l  

判断直线 z l : A l  +B 1 Y+C   一。 与z 2 : A2 z+B z y  
+C   一0 的位置关系有如下结论:  

解: 如图 1 , 由入射角等于反射角得 P o P   ∥P z P s ,   P   P : ∥P 。 P   , 且P 。 P 。 、 P。 P  的倾斜角互为补角 , 其斜 
率互为相反数 ; 另一方面, A B的中点 P o ( 1 , O ) 关于 B C  

①z 1 与z 2 相交 甘A 1 B 2 ≠A 2 B l ;   ②z l ∥l z C =  ̄ A l B 2 一A 2 B l , Al C 2 ≠A z C 1 ;  

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《 魏学教学通讯 ̄ 2 0 0 5 年6 月( 下半月) ( 总第2 3 5 期)  
⑨z 1 上1 2 铮A 1 A 2 +B 1 B 2 —0 .  
解: ‘ . ‘直线 2 x—  +4 —0 的斜率为 2 ,  

重庆  ? 4 1 ?  
解析 : 此题考查圆的性质和圆方程的求法等基础  知识及计算方法. 确定一个圆需要三个独立条件, 应充 

所求切线与直线 2 z—   + 4— 0 平行,   故所求切线的斜率  一 2 x一 2 .  


分利用题设求 出圆心和半径; 或求 出圆方 程一般式 中  
的参数 D、 E、 F .   解: 由A B的中垂线  一一 3 必过圆心知联立 





z= 1 , 切点为( 1 , 1 ) .  

由点斜式得所求切线为 2 z~   一 1= 0 . 选( D ) .  

考点 4   考查直线方程的求法 
例4 ( 2 0 0 4 年甘肃高考题) 过点 ( 一1 , 3 ) 且垂直 
于直线 z一 2 y+ 3 — 0的直线方程为(   )  

{   一 。     , 解 得 圆 心 P ( 2 . 一 3 ) .   1   2 x —  ~ 7 — 0
而该圆的半径 l P A   l =  ̄ / 4 + 1=  ̄ /5,   故圆 C的方程为( z一2 )  + ( j , +3 )  一 5 .  

( A)2 x + y 一 1— 0 .   ( B )2 x + y 一 5— 0 .   ( C)z + 2 y一 5一 o .   ( D)z 一 2 y + 7= 0 .  

考点 7   考查圆切线方程的求法 
例7 ( 2 0 0 4 年陕西高考题) 圆z   +y   一4 z=0 在  点 P( 1 ,  ̄ /3) 处的切线方程为(  
( A)z + 、 /3   y 一 2= o .  

解析 : 运用待定 系数法和直线方 程的五种形式可  

)  

求符合题设 条件的直线方程; 凡与直线 A z+ B y+ C  
=0 平行或垂直的直线均可表示为 Ar +B y+m =0   或B x— A  + n= 0 的形式.   解: 设与直线 z一 2 y+ 3 =0 垂直的直线为 2 z+  
+ c: 0 .  

( B)z+  ̄ /3   y一 4一 o .   ( C)z 一  ̄ /3   + 4— 0 .   ( D)z一  ̄ /3   + 2= 0 .  

将( 一1 , 3 ) 代入此方程得 c 一一 1 . 选( A) .  

解析 : 此题考查 圆切线的性质及其方 程的求法等 

考点 5   考查不等式分布区域与最值问题 
例5 ( 2 0 0 4 年四川高考题 ) 设z ,  满足约束条件:  
r z≥ 0 ,   z≥  ,  
/ 2 x—  ≤ 1 .  

基础知识 . 求切线方程 时, 可运 角有关切线的性质、 定  
理去求解; 亦可联立切线方程和曲线方程 , 由它们只有 


组解去获解. 显然前者简捷.  
解: 圆方程为( z一 2 )   +   =4 .   由圆心( 2 , 0 ) 到切线 一  ( z一 1 ) +  ̄ /3之距等 

则   一3 x+ 2 y的最大值是 一  
— —  

于半径 2 , 得 
 ̄ / 1+ 

一2   — 
 ̄ /3  

解 析: 此题考查不等式所 表 

示平面 区域的作图、 识图与线性  目 标 函数最值求法等知识.  

故所求切线方程为z一  ̄ /3   + 2=0 . 选( D ) .  
图2  

考点 8   考查圆弦长的求法 
例8 ( 2 0 0 4 年福建高考题) 直线 z+ 2 y— o 被曲  
线 z   +   一缸 一2  一 1 5一 。 所 截得的弦长等于 

B> 0时, 不等式 A x+ B y+ C> 0 表示直线 Ar  

+B y+ C= 0 的上方区域 , 不等式 A x+ B y+ C< 0  
表示直线 Ar+ B y+ C= 0 的下方区域.   二元一次不等式组所表示 的平面 区域 , 是各个不 

解析 : 此题考查直线与 圆相交的位置关系和弦长 

等式所表示平面区域的公共部分.   解: 如图 2 , 作 出不等式表示的可行域 ( 阴影部分)   和直线 z : 3 z+ 2 y一 0 , 将z 向右上方平移至 z   的位置  时, 直线经过可行域内的点 A( 1 , 1 ) 时在  轴上的截距  最大. 此时取得最大值. 故当  :   一1 时,   … 一5 .  

求法等基础知识及计算技能. 常运用垂径 定理和勾股 
定理去设计解题路径 较为简捷 ; 若联立直线与圆方程  求 出交点坐标获解 , 略显笨拙.  
解: 圆方程为 (  一 3 )  + (  ~ 1 )  一 2 5 , 圆心为  

P( 3 , 1 ) , 半径为 5 . 设截得的弦为 A B, 作P H_ L   A B于  H, 则 由垂径定理知 H 为弦 A B的中点, 且 l P Hl 一  

考点 6   考查圆方程的求法 
例6 ( 2 0 0 4 年上海高考题) 圆心在直线 2 x—  一   7 =0 上的圆C与 轴交于两点A( 0 , 一4 ) , B ( 0 , 一2 ) ,   则圆 C的方程为  

上  
f  

:、 / , i 在直角 AP A H 中,  


 ̄ / 1 +4  

f — v / f 尸  f  一 f 尸  f  

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? 4 2-   重庆 

《 数学教学通讯) ) 2 0 0 5 年6 , E l ( 下半, E 1 ) ( 总第 2 3 5 期)  

=   2 5 —5 =2、 / ,  .  
故 l A Bl =2 l A Hl = 4 ̄ /5.  

上述不等式组表示的平面区域如图 2 所示, 阴影部  分( 含边界) 即为可行域.   作直线 z : z+ 0 . 5 y= 0 , 并将 z 向右上方平移至 z 。  

考点 9   考查直线与圆位置关系 
例9 ( 2 O O 4年北京高考题)曲线 c:  
f z= c o s 0  

的位置即经过可行域内的点  时 , 直线z 。 在y 轴上的截 

距最大 , 故 2= 3 x+ 2 y取得最大值.  

{  

I y : 一 1+ s i n0  

(  为 参 数)的 普 通 方 程 是  

由{  

f z + v= 】 O  

1   0 . 3 x十 0 . 1 y一 1 _ 8,  

解得M( 4 , 6 ) .  

; 如果曲线c与直线z+y+n =0 有公共点, 那  么实数 n的取值范围是  .  

故当 z= 4 , Y: 6 时, 2 —  =7 ( 万元) .  

答: 投资人用 4 万元投资甲项 目 6 万元投资乙项 
目, 才能在确保亏损不超过 1 . 8 万元的前提下 , 使可能  的盈利最大.  

解析: 此题考查 圆参数方程与普 通方程 的等价关  系和直线与 圆位置关系的判断等基础知识. 常运用 圆   心到直线的距离与半径的大小关 系去列式求解较为简 
捷.  

综上可知, 高考直线和 圆的基础试题注重测试直 
线、 线性规划和圆的有关概念、 性质及其应用 , 只要我 

解: 曲线 c的普通方程为  + (  + 1 )  = 1 ;   圆 c与直线 z+y+n= 0 恒有公共点 , 等价于圆  
心( O , 一1 ) 到直线 z+y+n =0 的距离不大于半径 1 ,   即 L_ _   ̄ /2   ≤ 1
.  

们遵循考纲 , 夯实双基 , 把握住有关概念、 性质 , 深刻理  解用方程研究曲线性质的思想方法 , 就会顺利求解.  

高考直线和圆试题集粹 
1 .( 2 O O 4 年四川高考题) 在坐标平面内, 与点 A( 1 ,  

2 )距 离 为 1 , 且 与点 B( 3 , 1 )距离 为 2的 直线 共有 
(   )  

解得 1 一  ̄ /2 ≤ n ≤ 1 +  ̄ /2.  

考点 1 O   线性规划与数学建模问题 
例1 0 ( 2 O O 4年江苏高考题) 制定投资计划时 , 不  仅要考虑可能获得的盈利 , 而且要考虑可能 出现 的亏  损. 某投资人 打算投资 甲、 乙两个项 目. 根据预测 , 甲、   乙项 目可能的最大盈利率分别为 1 0 0 %和 5 O %, 可能的  最大亏损率分别为 3 O %和1 O % 投资人计划投资金额  不超过 1 O 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1 . 8   万 元. 问投资人对 甲、 乙两个项 目各投资多少万元 , 才 
能使可能的盈利最大?   解析: 如图 3 , 此题考查 简单线性规划的基本知识,   以及运 用数学知识解决实际问题 的能力. 构建 目标函  

( A) 1 条.   ( B )2 条.   ( C ) 3 条.   ( D) 4条.  

2 .( 1 9 9 7 年全国高考题) 如果 直线z 将 圆z   +y   一   2 z一 4 y=0 平分 , 且不通过第 四象限 , 那么 z 的斜率的  取值范围是 (   )  

( A) E o , 2 ] .  
1  

( B )E o , 1 ] .  
1  

( c ) [ o , ÷] .  

( D ) E o , 寺) .  

3 .( 1 9 9 8 年上海高考题) 设n , b , f 分别是 z  ̄ A B C中  

A、  B 、   c所对边的边长 , 则直线 s i n A? z+a y+f  
=0 与b x—s i n B?  +s i n C=0的位置关系是(   ( A) 平行.   ( B ) 重合.   )  

( c ) 垂直.  

( D ) 相芟但不垂直.  

数 z=f ( x ,  ) , 在可行域 内平移直线 f ( x,  ) =z , 由此 

4 .( 2 O O 3 年全国高考题) 已知圆 c: ( z—n )   +(  


直线族在 Y轴上截距的最值去确定 z的最值. 这就是运  用线性规划知识求解应用最值问题的思路和方法.  
解: 设投资人分别用 z万元、   Y万元投资 甲、 乙两个项 目. 由题 
意知  
f z+ y≤ 1 0 ,  

2 )   =4( n >O ) 及直线 z : z—  +3 =0 . 当直线 z 被  )  

圆c截得的弦长为 2 ̄ /3 时, 则 a= (  
( A)   .   ( B )2一  .  

( c )v 厂   一l   I
r z+ y≤ 1 ,   <Y≤ z,   L  ≥ 0 ,   图3  

( D )v 厂   +l   I

5 .( 2 O O 4年甘肃高考题 ) 设z , Y满足约束 条件:  

  1 0 . 3 x+ 0 . 1 y≤ l I   8 ,  

I z≥ 0 ,   【 Y≥ 0 .  
目标函数 2=z+ 0 . 5 y  

则 z= 2 x+ Y的最大值是—

. 


6 .( 2 O O O年全国高考题) 过原点的直线与圆   +  

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《 数 学教 学 通讯 ) ) 2 0 0 5 年6 月( 下半 月 ) ( 总第 2 3 5 期)  

重庆  ? 4 3 ?  

. ) ,   +4 z+ 3=0 相切 , 若切点在第三象限, 则该直线的 
方程是  .  

由   l MQl  = l O Ml  一 l O N} z 得 

[ ( z一 2 )  +. ) ,   ] =z   +y   一1 .  
化 简得 点 M 的轨迹 方程 为  
(   。 一 1 ) ( z 。 + y   )一 4   。 z+ 4   + 1= 0 .  

7 .( 2 0 0 3 年上海高考题 ) 在 以 0为原点的直角坐 
标 系中 , 点A ( 4 ,一 3 )为 △O A B 的直角顶点. 已知  l A B   l =2   I O Al , 且点 B的纵坐标大于零. ① 求向量 
的坐标 ;   ② 求圆 z   一6 z+y   +2 y= 0 关于直线O B对称  的圆的方程.  

当  =1 时, 方程为 4 x= 5 表示一条直线;  
当   ≠ 1 时 ,方 程 为 ( z —  )  + . ) ,  = 

表示一个圆.  
j , \  

8 .( 1 9 9 4 年全 国高考题 ) 已知直角坐标平 面上点  Q( 2 , O ) 和圆C: z 。 +y   =1 , 动点  到圆c的切线长与  l   l 的比等于常数 (  > O ) , 求动点  的轨迹方程 ,  
\  
4 : e —  

\\   2  

并说明轨迹名称.  

9 . 设圆满足 : ① 截y 轴所得弦长为 2 ; ② 被z 轴分  成两段圆弧 , 其弧长的比为 3: 1 . 在满足条件 ① 、 ② 的 
所 有圆中 , 求圆心到直线  : z一2 y一0 的距离最小的圆  
的方程.   1 O .4 枝郁金香与 5 枝丁香的价格之和小于 2 2 元,   而6 枝郁金香与 3 枝丁香的价格之和大于 2 4 元, 则2 枝  郁金香和 3 枝丁香的价格 比较的结果是什么?  
答案 或提 示 : 1 ~4 .B AC C.   5 .2 .  


/  /   Q( 2 , O )  

/   O   \ \  
( 第1 0题)  

( 第8 题)  

9 .设 圆心为 P( d , 6 ) , 半径为r , 则由r   =d   + 1与 
r  = 2 b  得 2 6  一 d  = 1 .   。  

故 P 点到 直线 z 的距 离为 d= 
 ̄ /5  
。 .

.  

5 d   一 J n一 2 6   J  = n   +4 b   一4 a b ≥n   +4 b  

6 . ̄ /3   z一 3 y=- 0 .  



2 ( d  + b   )= 1 ,  

提示 : 1 . 分别以A、 B为圆心 , 以1 、 2 为半径作 圆, 这 

当且仅 当 d= b时, d取 得 最小值 .  

两个相交圆有两条公切线满足条件.   7 . ① 设B ( d , 6 ) , 则  


=( d 一4 , b +3 ) ,   =( 4 ,  

? 。 。 f I   2 6 z。   f 一   或 f 一_ 。   I 6 : 1 或 I 6 : 一 1 .  
. . .
一  

z: 1  

.   ?  

3 ) , 由 l A B   l = 2 l O A   l 及 l O A   l = 5得 l O B   l =  

故所求圆方程为 ( z一 1 )   +(  一 1 ) 。 =2 或( z+  
1 )  + ( . ) , + 1 )  一 2 .  

5   i; 又耐 .   :0 , 故  
f d   +6   =1 2 5   f d: 1 0 ,  
I 4 ( d一 4 )一 3 ( 6+ 3 )= 0   I b一 5 .  
? . . 

1 O .设 郁金 香 的 价格 为 z元 , 丁香 的价 格 为 y元 ,  
r z > 0, y > 0,  

: ( 6, 8 ) .  

则z   . ) , 满足 约束条 件 4 x+ 5 y< 2 2 ,  
L 6 z+ 3 . ) , > 2 4 .  

② 直线O B方程为. ) , =÷z ,  
圆方程 为 ( z一 3 )  + ( . ) , +1 )  = 1 0 .  

目标 函 数 为 2— 2 x一 3 y .  

如 图, 作 出可行 域 , 直线4 z+ 5 2 , =2 2 与 直线 6 z+  
3 y= 2 4的 交点 为 A( 3 , 2 ) , 而直 线 2 z一 3 y= 0 也 过 点 

设 其 圆心 ( 3 ,一 1 )关于 直 线 OB 的对 称 点 为 ( m,  
, 1 ) , 则 

A. 作平行直线族 2 z一3 . ) , 一f , 即y:   2   z一   1   f使 其  


J 

J  

I   一 z ?   = o   { f   一 
f  
I, , f — J 

通过 可行域 内的所有点, 则直线. ) , :   2   z一  1   f 在. ) , 轴 
J  J 

: 一 2  

一 。 ‘  

上 的截距 恒 小于零 ,  
即一÷f <0 , 从而 t >0 .   故 目标 函数 z= 2 x一 3 y的值 恒大 于 0 , 所以2 枝 郁 

故所求圆方程为( z一 1 )  + ( . ) , 一3 )  = 1 0 .  
8 .如 图, 设 M( x, . ) , ) , 令 MN 切 圆 C 于点 N ,  

则 I MN l —  I MQ1 .  

金香比 3 枝丁香的价格贵些.  


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