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高中数学必修5第一章解三角形测试题


必修五第一章解三角形单元测试
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.不解三角形,下列判断正确的是( A.a=4,b=5,A=30° ,有一解 B.a=5,b=4,A=60° ,有两解 C.a= 3,b= 2,A=120° ,有两解 D.a= 3,b= 6,A=60° ,无解 解析:A 中∵bsin30° <a<b,∴三角形有两解,A 不正确;B 中∵a>b,∴A>B,B 为锐 角, ∴三角形有一解, 不正确; 中 ∵a>b, B C ∴三角形有一解, 不正确; 中∵a<bsin60° C D , ∴三角形无解,D 正确. 答案:D 2.在△ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则其面积等于( A.12 C.28 21 B. 2 D.6 3 ) )

b2+c2-a2 1 =1 解析:由余弦定理可得 cosA= = ,A=60° ,∴S△ABC bcsinA=6 3. 2bc 2 2 答案:D 3.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120° ,则 sinA 的值( A. 57 19 B. 21 7 C. 3 38 2 D. 3 19 )

a· sinC 解析:2=a2+b2-2abcosC=42+62-2×4×6×cos120° c =76.∴c=2 19.由 sinA= c 4×sin120° 57 = = .故选 A. 19 2 19 答案:A 4.在△ABC 中,已知 A=30° ,a=8,b=8 3,则△ABC 的面积等于( A.32 3 B.16 C.32 6或 16 D.32 3或 16 3 )

解析:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 64=192+c2-2×8 3c×cos30° , ∴c2-24c+128=0,解得 c=8 或 16. 当 c=8 时,S△ABC 答案:D 13 5.在△ABC 中,若 a=7,b=8,cosC= ,则最大角的余弦值是( 14 )


1 =1 bcsinA=16 3;当 c=16 时,S△ABC bcsinA=32 3. 2 2

1 A.- 5

1 B.- 6

1 C.- 7

1 D.- 8

解析:由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=9,∴c=3. a2+c2-b2 1 ∴B 为最大角,cosB= =- . 2ac 7 答案:C 6.在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,下列等式中,正确的是( )

A. a=bcosC+ccosB B. a=bcosC-ccosB C. a=bsinC+csinB D. a=bsinC-csinB a2+b2-c2 a2+c2-b2 2a2 解析:b· cosC+c· cosB=b· +c· = =a. 2ab 2ac 2a 答案:A 3 7.三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 ,面积为 14,那么,这个三角形的此两边长 5 分别是( ) B.4 和 6 C.6 和 8 D.5 和 7

A.3 和 5

3 4 解析:不妨设 a-b=2,cosC= ,则 sinC= . 5 5 1 1 4 由 ab· sinC=14,∴ ab·=14,∴ab=35, 2 2 5
? ?a-b=2 由? ?a=7,b=5,故选 D. ?ab=35 ?

答案:D 8.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,如果 2b=a+c,B=30° ,△ABC 3 的面积为 ,那么 b 等于( 2 1+ 3 A. 2 2+ 2 C. 2 解析: ) B.1+ 3 D.2 3

答案:B sinA cosB cosC 9.若 = = ,则△ABC 为( a b c A.等边三角形 C.有一个内角为 30° 的直角三角形 ) B.等腰三角形 D.有一个内角为 30° 的等腰三角形

解析:结合正弦定理,可知 sinB=cosB,sinC=cosC,所以 B=C=45° ,即△ABC 为等

腰三角形. 答案:B 10.在△ABC 中,已知 sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.直角三角形 解析:由已知得 sin(A+B)=2sinA· cosB, 即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B. 答案:B 11.在△ABC 中,a,b,c 分别为三内角 A,B,C 所对的边,若 B=2A,则 b∶2a 的 取值范围是( A.(-2,2) ) B.(0,2) C.(-1,1) 1 D.( ,1) 2 B.等腰三角形 D.等边三角形 )

b sinB sin2A π 1 解析: = = =cosA,又 A+B+C=π,故 0<A< ,∴cosA∈( ,1). 2a 2sinA 2sinA 3 2 答案:D 3-1 → → 12.在△ABC 中,B=60° ,C=45° ,BC=8,D 为 BC 上一点,且 BD = BC , 2 则 AD 的长为( A.4( 3-1) C.4(3- 3) ) B.4( 3+1) D.4(3+ 3)

解析:在△ABD 和△ACD 中分别运用余弦定理写出 cos∠ADB 和 cos∠ADC,然后根据 两角互补列等式求解. 答案:C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛与 B 岛成 60° 角,从 C 岛望 B 岛与 A 岛成 45° 角,则 B、C 间距离为________. 答案:5 6 n mile 14.在△ABC 中,B=135° ,C=15° ,a=5,则此三角形的最大边长为________. b a 解析:依题意,知三角形的最大边为 b.由于 A=30° ,根据正弦定理,得 = ,所 sinB sinA asinB 5sin135° 以 b= = =5 2. sinA sin30°

答案:5 2 15.在锐角三角形 ABC 中,∠BAC=45° ,AD 为 BC 边上的高,且 BD=2,DC=3,则 三角形 ABC 的面积是________. 2 解析:设 AD=h,则 tan∠BAD= , h 3 π tan∠CAD= ,又∠BAD+∠CAD= , h 4 2 3 + h h 故 =1?h2-5h-6=0.∴h=6 或 h=-1(舍去) 6 1- 2 h 故 S△ABC 答案:15 16.已知在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 a=4,b+c=5,tanA +tanB+ 3= 3tanA· tanB,则△ABC 的面积为________. tanA+tanB 3?tanA· tanB-1? 解析:∵ = =- 3. 1-tanAtanB 1-tanAtanB 2 π 故 A+B= π,C= ,又 c2=a2+b2-2abcosC. 3 3 π 3 1 3 将 C= ,c=5-b,a=4 代入整理得 b= ,故 S△ABC= absinC= 3. 3 2 2 2 3 答案: 3 2 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(本小题 10 分)在△ABC 中,A=120° ,c>b,a= 21, S△ABC= 3,求 b,c. 1 解:S△ABC= bcsinA= 3,∴bc=4. 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 1 ∴21=(b+c)2-2bc-2bccos120° =(b+c)2-2×4-2×4×(- )=(b+c)2-4, 2 ∴b+c=5,而 c>b,∴b=1,c=4.


1 ×6×(2+3)=15. 2

18.(本小题 12 分)如图 1,已知梯形 ABCD 中,CD=2,AC= 19,∠BAD=60° ,求梯形的高. 解:在△ACD 中,AC2=AD2+CD2-2AD· cos120° CD· , ∴AD +2AD-15=0 ∴AD=3 或 AD=-5(舍去), 3 ∴h=AD· sin60° = 3. 2
2

图1

19.(本小题 12 分)某海轮以 30 n mile/h 的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏 东 60° 方向,向北航行 40 min 后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30° 方向,海轮改为北偏东 60° 的航向再行驶 80 min 到达 C 点,求 P、C 间的距离.

解: 40 如图 2,在△ABP 中,AB=30× =20,∠APB=30° ,∠BAP=120° , 60 根据正弦定理, AB BP 20 BP = 得: = ,∴BP=20 3. 1 sin∠BPA sin∠BAP 3 2 2

80 在△BPC 中,BC=30× =40. 60 由已知∠PBC=90° ,∴PC= PB2+BC2= ?20 3?2+402=20 7(n mile) 答:P、C 间的距离为 20 7 n mile. 20.(本小题 12 分)在△ABC 中,sinA+cosA= 求 tanA 和△ABC 的面积. 解:∵sinA+cosA= 2cos(A-45° )= =60° , ∴A=105° ,tanA=tan(45° +60° )= sinA=sin105° = 6+ 2 . 4 1+ 3 =-2- 3. 1- 3 2 1 ,∴cos(A-45° ,又 0° )= <A<180° ,∴A-45° 2 2 2 ,AC=2,AB=3. 2 图2

21.(本小题 12 分)(2009· 江西高考)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC = sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 解:(1)∵tanC= +cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C).∴C-A=B-C 或 C-A=π-(B-C)(不成立). π 2π 即 2C=A+B,得 C= .∴B+A= . 3 3 sinA+sinB sinC sinA+sinB ,即 = ,∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA cosC cosA+cosB cosA+cosB

1 π 5π π 5π 又∵sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去),得 A= ,B= . 2 6 6 4 12 6+ 2 1 (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3, 2 8 又 a c a c = ,即 = ,得 a=2 2,c=2 3. sinA sinC 2 3 2 2

22. (本小题 12 分)(2009· 福建高考)如图 3, 某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图像, 且图像的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全, 限定∠MNP=120° . (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 图3

解: T 2π π 解法 1:(1)依题意,有 A=2 3, =3,又 T= ,∴ω= .∴y 4 ω 6 π =2 3sin x, 6 当 x=4 时,y=2 3sin 2π =3, 3 图4

∴M(4,3).又 P(8,0),∴MP= 42+32=5. (2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5,设∠PMN=θ,则 0° <θ<60° . MP NP MN 由正弦定理得 = = , sin120° sinθ sin?60° -θ? 10 3 10 3 ∴NP= sinθ.∴MN= sin(60° -θ). 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 10 3 故 NP+MN= sinθ+ sin(60° -θ)= ( sinθ+ cosθ)= sin(θ+60° ). 3 3 3 2 3 3 ∵0° <θ<60° ,∴当 θ=30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即,将∠PMN 设计为 30° 时,折线段赛道 MNP 最长. 解法 2:(1)同解法 1 (2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5, 由余弦定理得 MN`2+NP2-2MN· cos∠MNP=MP2, NP·

即 MN2+NP2+MN· NP=25. MN+NP 2 故(MN+NP)2-25=MN· NP≤( ), 2 3 10 3 从而 (MN+NP)2≤25,即 MN+NP≤ . 4 3 当且仅当 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长.


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