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衡水金考卷新课标文数(3)答案


1.D 2.C 3.A【解析】向量 b 在向量 a 方向上的投影为 b cos a, b ?

a b cos a, b a

?

ab 1 ? . a 2

4.D【解析】当 x ? 1 时, ? x ?

1 ? 1 1 ? ? 2 ,故命题 p 是假命题;若 x ? 0 ,显然 x 2 ? ? 0 ,故命题 x x

q 是真命题.故命题 ? ?p ? ? ? ?q ? 是假命题; p ? q , ? ?p ? ? q , ? ?p ? ? q 都是真命题.
2 5.C【解析】因为圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 化为标准方程是 x ? ? y ? 1? ? 1 ,其圆心为 ? 0, 1? ,半径为 1, 2

则所求直线必经过圆心;与直线 x ? 2 y ? 0 垂直的直线的斜率为 2,故所求直线方程是 y ? 1 ? 2 x ,即

2 x ? y ?1 ? 0 .
6 . D 【 解 析 】 将 点 ? a, b ? 代 入 直 线 ? a ? b? x? b y ?2c ? 0 中 , 得 a ? a ? b? ? b2 ? c2 ? 0 , 则

cos C ? a2 ? b2 ? c2 ? ?a .故由余弦定理,得 b

2? a 2 ? b2 ? c 2 ?ab 1 ? ? ? ,解得 C ? . 3 2ab 2ab 2

7.B【解析】第一次循环: s ? 0 ? log2 5, i ? 4 ; 第二次循环: s ? log2 5 ? log 2 4, i ? 3 ; 第三次循环: s ? log2 5 ? log2 4 ? log2 3, i ? 2 ; 第四次循环: s ? log2 5 ? log2 4 ? log2 3 ? log2 2, i ? 1 , 第五次循环: s ? log2 5 ? log2 4 ? log2 3 ? log2 2 ? log2 1, i ? 0 ,此时刚好不满足 i ? n ,故结束循环, 输出 s ? log2 5 ? log2 4 ? log2 3 ? log2 2 ? log2 1 ? 3 ? log215 .

8.B【解析】由三视图可知,该几何体是某个圆柱的

1 ,且圆柱的高为 4,设圆柱的底面圆半径为 r , 3

则 r ? r cos 60? ? 3 ,解得 r ? 2 .故该几何体的体积是 V ? 9.A【解析】画出约束条件

1 16 π ? π ? 22 ? 4 ? . 3 3

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? ? x ? 2, ?x ? y ?1 ? 0 ?

表示的可行域如图阴影区域,

由 z ? 4 x ? 4 y ? 3 ,得 y ? x ?

3? z ?1 2? .平移直线 y ? x ,当经过点 A ? 2, ?1? , B ? , ? 时,代入 z ,得 4 ?3 3?

5 ?5 ? z 的取值分别为 15, ,所以 z ? ? ,15 ? . 3 ?3 ?
10 . C 【 解 析 】 由 题 意 , x2 ? f ? x ,5 4 ? 2 , 6x ? ? f? 2 ? 1,8x ? ?6? ?4 , x ? ?f 1 ? 0? ? f 4 ? ?f ?

x10 ? f ?5? ? 6, x12 ? f ? 6? ? 4 , … , 故 数 列 ?xn ? 的 偶 数 项 是 以 10 为 周 期 的 周 期 数 列 . 故
故数列 ?xn ? 的奇数项也是以 10 为周期的周期数列. 故 x2016 ? x6 ? 1.x11 ? f ? 4? ? 2, x13 ? f ? 2? ? 1 ,

x2015 ? x5 ? 5 .故 x2015 ? x2016 ? 5 ? 1 ? 6 .
x2 y 2 m2 y 2 11 . A 【 解 析 】 把 x ? ? m 代 入 双 曲 线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 中 , 可 得 2 ? 2 ? 1 , 解 得 a b a b b b a 2b 2 y?? m 2 ? a 2 .因为四边形 ABCD 为正方形,所以 m ? m 2 ? a 2 ,化为 m2 ? 2 .因为 a a b ? a2 a 2b 2 ? a 2 ,化简得 b 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? a 2 ? a 2 .所以 e2 ? 2 ,解得 e ? 2 . m2 ? a 2 ,所以 2 2 b ?a
a b b a 12.D【解析】对于①, a ? b ? lg 10 ? 10 ? lg 10 ? 10 ? b ? a ,故①正确;

?

?

?

?

对于②, ? a ? b ? ? c ? lg 10

?

a ?b

lg ?10a ?10b ? a b c ? 10c ? ? lg ? ? 10c ? ?10 ? ? lg ?10 ? 10 ? 10 ? , ? ?

lg ?10b ?10c ? ? a a b c a ? ? b ? c ? ? lg ?10a ? 10b ? c ? ? lg ? ?10 ? 10 ? ? lg ?10 ? 10 ? 10 ? ,故②正确; ? ?
a b a?c b?c 对于③, a ? b ? c ? lg 10 ? 10 ? c , ? a ? c ? ? ? b ? c ? ? lg 10 ? 10

?

?

?

?

a b c a b c a b ? ? lg ? ??10 ? 10 ?10 ? ? lg ?10 ? 10 ? ? lg10 ? lg ?10 ? 10 ? ? c ,故③正确.

故正确的结论个数是 3. 13.1.05【解析】因为 x ? 2, y ? 4.5 ,因为点 x, y 在回归直线方程 y ? bx ? a 上,且点 ? 0, 2.2? 正 好在回归直线方程错误!未找到引用源。上,代入得 ?

? ?

?4.5 ? 2b ? a, ?a ? 2.2, 解得 ? 故 a ? b ? 1.05 . ?2.2 ? a, ?b ? 1.15.

1 1 1 1 1 ? ex f ? x? ? f ??x? ? x ? tan x ? ? x ? tan ? ? x ? ? x ? ? 14. ?2 【解析】因为 e ?1 e ?1 e ? 1 1 ? 1 e x ? 1 ? ?1 , ex
所以 f ? ?2? ? f ? ?1? ? f ?1? ? f ? 2? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?2 .
2 15. 【解析】 f ? x ? ? log a x ? 2 x ? log a ?? x ? 1? ? 1? ,因为 u ? x ? ? ? x ? 1? ? 1 在 ?1, ?? ? 上单调递 2
2

?

?

?

?

增,故由几何概型得. 16.

5 5? , DC ? 【解析】根 据 题 意 可 知 三 棱 锥 B ? ACD 的 三 条 侧 棱 B D ? A D 6

D, A 底面是

直 角 三 角 形 ,它 的 外 接 球 就 是 它 扩 展 为 直 三 棱 柱 的 外 接 球 .在 直 三 棱 柱 中 ,底 面 直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 1,1, 2 , 高 为

3 ,由题意可得,直三棱柱上下底面直角三角形斜边中

点 的 连 线 的 中 点 O ,到 三 棱 柱 各 顶 点 的 距 离 相 等 ,说 明 中 点 O 就 是 外 接 球 的 球 心 .设 直 三 棱柱的外接球的半径为 r ,易知球心到底面的距离为

3 ,底面直角三角形斜边中点到该 2

底 面 直 角 三 角 形 的 顶 点 的 距 离 为
2 2

1 2 , 故 外 接 球 的 半 径 ? 12 ? 12 ? 2 2

? 3? ? 2? 5 (或利用构造以 DA,DB,DC 为三条相邻棱的长方体,三棱锥的外接球和此 r? ? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
长方体的外接球相同,故外接球的直径为长方体的体对角线长等于 .故外 接 球 的 体 积 为 5)

? 5 ? 5 5? 4 4 V ? ? r3 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 6 . 3 3 ? ?
17.解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,则 由 a1 , a2 , a3 ?

3

1 1 成等差数列,得 2a2 ? a1 ? a3 ? , 8 8

……………………………2 分
n ?1

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? 或 an ?

?1? ?2?

n

1 ?3? ?? ? 2 ?2?


n

……………………………6 分

?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)得,若数列 ?an ? 是递减数列,则 an ? ? ? . ……………………………8 分 ?2? n ? 1 ? 2n 因为 bn ? 2nan ? 2n ? ? ? n ? n?1 , ……………………………9 分 2 2 ?2?
所以 Sn ? 1 ?
n

2 3 ? ? 2 22

?

n , 2n ?1



1 1 2 3 Sn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 2

?

n ?1 n ? . 2n ?1 2n

以上两式相减,得

1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2

?1? 1? ? ? 1 n n n?2 2 ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n . 1 2 2 2 2 1? 2

n

所以 S n ? 4 ?

n?2 . 2n ?1

……………………………12 分

18.解:(Ⅰ)分数在 [50,60) 的频率为 0.008 ?10 ? 0.08 ,

2 ? 25 .…………2 分 0.08 4 ? 0.16 .……3 分 所以分数在 [80,90) 之间的人数为 25 ? 21 ? 4 人. 则对应的频率为 25 4 ? 10 ? 0.016 . 所以 [80,90) 间的矩形的高为 ………………………4 分 25
由茎叶图知:分数在 [50,60) 之间的频数为 2 ,所以全班人数为

(2, 6) , (3, 4) , (3,5) , (3, 6) , (4,5) , (4, 6) , (5, 6) ,共 15 个.

………6 分

其中,至少有一份在 [90,100] 之间的基本事件有 9 个,故至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率是

9 ? 0.6 . 15

………………………8 分

(Ⅲ)全班人数共 25 人,根据各分数段人数计算得各分数段的频率为: 分数段 频率

[50,60)
0.08

[60,70)
0.28

[70,80)
0.4

[80,90)
0.16

[90,100]
0.08

………………………10 分 所以估计这次测试的平均分为:

55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 . ………………………12 分
19.解: (Ⅰ)证明:因为 AB ? 平面 ACD, AB∥DE ,所以 DE ? 平面 ACD . 又 AB ? 平面 ABED ,所以平面 ABED ? 平面 ACD . 因为 AD ? DE ? 2CD ? 2 ,所以 CD ? 1 . ……………………………2 分 在 ?ACD 中,由余弦定理,得 cos ?CAD ? 所以 AC ? CD ?
2 2

22 ? AC 2 ? 12 3 ? ,解得 AC ? 3 . 2 ? 2 AC 2

? 3?

2

? 12 ? 22 ? AD2 .

所以 ?ACD 是直角三角形,且 AC ? CD . ……………………………4 分 又由 DE ? 平面 ACD ,得 DE ? AC , 又 CD DE ? D ,所以直线 AC ? 平面 CDE . ……………………………6 分 (Ⅱ)在平面 ACD 内作 CP ? AD 于点 P .

因为 ABED

平面 ACD ? AD ,所以 CP ? 平面 ABED . ……………………………8 分

所以 CP 为三棱锥 C ? BGE 的高.

1 3 VG ? BCE ? VC ? BGE ? S ?BGE CP ,且 S?BGE ? S梯形ABED ? S?ABG ? S?EDG ? , 3 2
由三角形的等面积法,得 CP ?

3 , 2

…………………………… 10 分

故 VG ? BCE ? VC ? BGE ?

1 3 . S?BGE CP= 3 4

…………………………… 12 分

20.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , 因为 f ? x ? ? ln x ? x2 ? ax ,所以 f ? ? x ? ? 因为 函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 所以 f ? ? x ? ? 0 .即 所以 ? a ?

……………………………1 分 ……………………………2 分

1 ? 2x ? a . x

1 ? 2 x ? a ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立. ……………………………3 分 x
……………………………4 分

1 ? 2 x 对 x ? ? 0, ??? 都成立. x

当 x ? 0 时,

1 1 1 2 时,取等号. ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 ? 2 x ,即 x ? x 2 x x
……………………………5 分

所以 ?a ? 2 2 .即 a ? ?2 2 . 所以 a 的取值范围为 ? ?2 2, ?? .

?

?

……………………………6 分

(Ⅱ)当 a ? 1 时, g ? x ? ?

f ? x? ln x ? x 2 ? x ln x ?x? ?x? , x ?1 x ?1 x ?1

1 ? ln x x . g? ? x? ? 2 ? x ? 1? 1?

……………………………7 分

? 因为函数 g ? x ? 在 ?t , ?? ? t ? N 上存在极值,

?

?

? 所以方程 g? ? x ? ? 0 在 ?t , ?? ? t ? N 上有解.

?

?

1 ? ln x ? 0 在 ?t , ?? ? ? t ? N? ? 上有解. ……………………………8 分 x 1 1 1 令 ? ? x ? ? 1 ? ? ln x ? x ? 0 ? ,由于 x ? 0 ,则 ? ? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 . x x x
即方程 1 ? 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减. 因为 ? ? 3? ? ……………………………9 分

4 1 e4 1 2.54 ? ln 3 ? ln ? ln ? 0, 3 3 27 3 27

……………………………10 分

5 1 e5 1 35 ? ? 4 ? ? ? ln 4 ? ln ? ln ? 0, 4 4 256 4 256
所以函数 ? ? x ? 的零点 x0 ? ? 3, 4? . ……………………………11 分

? 因为方程 ? ? x ? ? 0 在 ?t , ?? ? t ? N 上有解,所以 t ? 3 .

?

?

因为 t ? N ,所以 t 的最大值为 3.
2

?

……………………………12 分

x x2 21.解: (Ⅰ)由 x ? 2ay ? a ? 0? ,得 y ? ,则 y ' ? . a 2a
切线的斜率为 y ' |x ?1 ?
2

1 . a

……………………………1 分

故抛物线 x ? 2ay ? a ? 0? 在点 ? 1, 即y?

1 1 ? 1 ? ? 处的切线方程为 y ? 2a ? a ? x ? 1? . ? 2a ?

1 1 x? . a 2a

……………………………2 分

?1 1 ? , ?a ? 2, ? 1 ?a 2 ? 又切线方程为 y ? x ? b ,所以 ? 解得 ? 1 2 b?? . ? ? 1 ? b, ? ? 4 ? ? 2a
故抛物线的方程为 x ? 4 y , b ? ?
2

1 . 4

……………………………4 分

(Ⅱ)设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? . 依题意,得 x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 .
2 2

联立 ?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

2 2 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 2k ? 2 k ? 1, x2 ? 2k ? 2 k ? 1 .

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 4 .

……………………………5 分

直线 AB 的斜率 k AB

x12 ?1 y1 ? 1 x ?2 4 ? ? ? 1 , x1 ? 2 x1 ? 2 4
x1 ? 2 ? x ? 2? . 4
……………………………6 分

故直线 AB 的方程为 y ? 1 ? 令 y ? ?1 ,得 x ? 2 ?

? ? 8 8 ,所以点 S 的坐标为 ? 2 ? , ?1? . x1 ? 2 x1 ? 2 ? ? ? ? ? 8 , ?1? . x2 ? 2 ?
2

同理,可得点 T 的坐标为 ? 2 ?

……………………………7 分
2

所以 ST ?

2

x1 ? x2 k

2

?

? x1 ? x2 ?
k2

?

? x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2

k2

?

16 ? k 2 ? 1? k2



设线段 ST 的中点坐标为 ? x0 , ?1? , 则 x0 ?

4 ? x1 ? x2 ? 4 ? 1? 8 8 ? ?2? ?2? ? ? 2? 2? x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
……………………………9 分

? 2?

4 ? 4k ? 4 ? 4 ? 4k ? 4 ? 2 ? 2? ?? . x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k
? ?

所以以线段 ST 为直径的圆的方程为 ? x ?

2 4 ? k 2 ? 1? 2? 1 2 2 ? y ? 1 ? ST ? .……………10 分 ? ? ? k? 4 k2

展开得 x 2 ?

4 ? k 2 ? 1? 4 4 2 x ? ? y ? 1? ? ? 2 ? 4. k k2 k
2

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 . 所以以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? . 22.解: (Ⅰ)证明:连接 OP , OM . ……………………………12 分

因为 AP 与圆 O 相切于点 P ,所以 OP ? AP .

……………………………2 分 ……4 分

又 M 是 BC 的中点,所以 OM ? BC .于是 ?OPA ? ?OMA ? 180? . 所以 A, P, O, M 四点共圆. ……………………………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) A, P, O, M 四点共圆,得 ?OAM ? ?OPM ,……8 分 同时 OP ? AP ,所以 ?OPM ? ?APM ? 90? .于是 ?OAM ? ?APM ? 90? . 23.解: (Ⅰ)由 ? ? 1 ,得 ? 2 ? 1 ,即 cos ? ? sin ? ? 1 .
2 2

………10 分

……………2 分

故圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1,化为参数方程是 ? (Ⅱ)设点 P ? x, y ? , A? x0 , y0 ? . 因为点 B ? 3,0? ,且 AB 中点为 P ,所以 ?

? x ? cos ? , ? y ? sin ? .

………5 分

? x0 ? 2 x ? 3, ? y0 ? 2 y.
2 2

………………7 分
2

2 2 又点 A 在圆 C 上,所以 x0 ? y0 ? 1.则 ? 2 x ? 3? ? ? 2 y ? ? 1 ,化简得 ? x ?

? ?

3? 1 2 ? ?y ? . 2? 4

3? 1 ? 所以动点 P 的轨迹方程为 ? x ? ? ? y 2 ? . 2? 4 ?

2

………………10 分

24.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? 2 . 原不等式等价于 ?

?1 ? x ? 2 ? x ? 2, ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2, ? x ? 1 ? x ? 2 ? 2, 或? 或? ? x ? 1, ?1 ? x ? 2, ? x ? 2,
? ? 1? ?5 ? +? ? . ? , 2? ?2 ?
……………………………5 分

……2 分

解得原不等式解集为 ? ??, ?

? a ? 2 ? 2 x, x ? a , ? (Ⅱ)因为 a ? 2 ,所以 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? ? 2 ? a, a ? x ? 2, ? 2 x ? a ? 2, x ? 2. ?
作出函数 f ? x ? 的图象如图所示,

……………………………7 分

其中,点 M ? 2, 2 ? a ? ,则 kOM ?

2?a . 2
2?a ? 1 ,解得 a ? 0 . 2

由图可知,若不等式 f ? x ? ? x 恒成立,则 kOM ? 1,即 即实数 a 的取值范围是 ? ??,0? .

……………………………10 分


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