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专题五第二讲椭圆、双曲线及抛物线


第二讲 椭圆、双曲线及抛物线 x2 y2 1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( ) 2-k 2k-1 1 A.( ,2) B.(1,+∞) 2 1 C.(1,2) D.( ,1) 2 x2 y2 5 2.(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C a b 2 的渐近线方程为( ) 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2 2 2 x y 3.(2013· 武汉市武昌区联考)已知双曲线: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,过双曲 a b 线上一点 M 作直线 MA,MB 交双曲线于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2.若直线 AB 过原 点,则 k1k2 的值为( ) A.2 B.3 C. 3 D. 6 x2 y2 4.(2013· 高考辽宁卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线 a b 4 相交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF= , 则 C 的离心率为( ) 5 3 5 A. B. 5 7 4 6 C. D. 5 7 5.(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF| =5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x x2 y2 6.(2013· 昆明市调研测试)已知 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,若 a b 1 双曲线 C 的渐近线与圆 E:(x-c)2+y2= c2 相切,则双曲线 C 的离心率为________. 2 1 7.(2013· 大连市双基测试)已知双曲线的两条渐近线均和圆 C:(x-1)2+y2= 相切,且 5 双曲线的右焦点为抛物线 y2=4 5x 的焦点,则该双曲线的标准方程为________. 8.已知圆 C:x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线 y2=8x 的准线为 l,设抛物线上任意一 点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PC|的最小值为________. 9.(2012· 高考安徽卷)

x2 y2 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B a b

是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

10.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λ OB,求 λ 的值.

1 3 11.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ),离心率是 . 2 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 E(-1,0)且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若|EA|=2|EB|,求直线 l 的方程.

答案: 1. 【解析】选 C.由题意可得,2k-1>2-k>0, ? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2,故选 C. ?2-k>0, ? 5 c 5 2. 【解析】选 C.由 e= ,得 = , 2 a 2 5 1 ∴c= a,b= c2-a2= a. 2 2 x2 y2 b 而 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x, a b a 1 ∴所求渐近线方程为 y=± x. 2 c 3. 【解析】选 B.由题意知 e= =2,则 b2=3a2,双曲线方程可化为 3x2-y2=3a2,设 A(m, a y-n y+n y2-n2 3x2-3a2-3m2+3a2 n),M(x,y),则 B(-m,-n),k1k2= · = = =3. x-m x+m x2-m2 x2-m2 2 2 2 4. 【解析】 选 B. 在△ABF 中, |AF| = |AB| + |BF| - 2|AB| · |BF| · cos ∠ ABF = 102 + 82 - 4 2×10×8× =36,则|AF|=6.由|AB|2=|AF|2+|BF|2 可知,△ABF 是直角三角形,OF 为斜边 5 |AB| AB 的中线,c=|OF|= =5.设椭圆的另一焦点为 F1,因为点 O 平分 AB,且平分 FF1,所 2 以四边形 AFBF1 为平行四边形,所以|BF|=|AF1|=8.由椭圆的性质可知|AF|+|AF1|=14=2a c 5 ?a=7,则 e= = . a 7 5. 【解析】选 C.设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N. p ? 由 y2=2px,F? ?2,0?, p x0+ 2 y0 ∴N 点的坐标为 , . 2 2 p 由抛物线的定义知,x0+ =5, 2 p ∴x0=5- , 2 p 5- ?. ∴y0= 2p? ? 2? |MF| 5 25 ∵|AN|= = ,∴|AN|2= . 2 2 4 p x0+ 22 y0 25 ∴ + -22= . 2 2 4 2 ?5-p+p? ? 2 ? 2 2? ? 2p?5-p? ? 25 ? 2? ? = . 即 + 4 4 ? -2? 2 ? ? p 5- ? 2p? ? 2? ∴ -2=0. 2 整理得 p2-10p+16=0. 解得 p=2 或 p=8. ∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x. 2 2 6. 【解析】依题意得,圆心 F(c,0)到渐近线的距离等于 c,即有 b= c(注:双曲线的一 2 2

c 个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长 ),c2=2b2=2(c2-a2),c2=2a2, = 2,即双 a 曲线 C 的离心率为 2. 【答案】 2 x2 y2 7. 【解析】由题意可知双曲线的 c= 5.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 a b 1 1 b2 1 kx-y=0,根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径 ,得 k2= ,即 2= .又 a2+b2=( 5)2, 4 a 4 5 2 x 则 a2=4,b2=1,所以所求的标准方程为 -y2=1. 4 x2 2 【答案】 -y =1 4 8. 【解析】由题意得圆 C 的方程为(x+3)2+(y+4)2=4,圆心 C 的坐标为(-3,-4).由抛 物 线 定 义 知 , 当 m + |PC| 最 小 时 , 为 圆 心 与 抛 物 线 焦 点 间 的 距 离 , 即 m + |PC| = (-3-2)2+(-4)2= 41. 【答案】 41 9. 【解】(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形, 1 a=2c,所以 e= . 2 2 2 (2)法一:a =4c ,b2=3c2, 直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c), 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2, 8 3 3 ? 得 B? c,- c , 5 ? ?5 8 ? 16 所以|AB|= 1+3·? ?5c-0?= 5 c. 1 由 S△AF1B= |AF1|·|AB|·sin∠F1AB 2 1 16 3 2 3 2 = a· c· = a =40 3, 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3. 法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a, 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得, 8 t= a, 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知, 2 5 2 5 a=10,b=5 3. p 10. 【解】(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 2 2 与 y =2px 联立, 5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可化简为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2 =4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)

=(4λ+1,4 2λ -2 2). 2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1), 2 即(2λ-1) =4λ+1, 解得 λ=0,或 λ=2. x2 y2 11. 【解】(1)设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 3 = a 2

? 1 由已知可得? 3 , + =1 a 4b ?a =b +c
2 2 2 2 2

解得 a2=4,b2=1.

x2 故椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 4 (2)由已知, 若直线 l 的斜率不存在, 则过点 E(-1, 0)的直线 l 的方程为 x=-1, 此时令 A(- 3 3 1, ),B(-1,- ),显然|EA|=2|EB|不成立. 2 2 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=k(x+1). x2 ? ? 4 +y2=1 则? , 整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0. 由Δ =(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 4k2-4 8k2 故 x1+x2=- 2 ,① x1x2= 2 .② 4k +1 4k +1 因为|EA|=2|EB|,即 x1+2x2=-3.③ 15 ①②③联立解得 k=± . 6 所以直线 l 的方程为 15x+6y+ 15=0 或 15x-6y+ 15=0.

? ?y=k(x+1)


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