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2014~2015学年度第二学期期末考试海南省四校联考高一数学试卷


2014~ 2015 学年度第二学期期末

海南四校联考高一年级数学学科试题卷
(考试时量:120 分钟 命题人:李阳东 总分: 150 分) 审题人:王晓虎

(考试范围:必修 5、必修 2)
第Ⅰ 卷 (选择题
共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? A.26 B. 27 C.28 2. 点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是 A.x-2y+7=0 B.2 x+y-1=0 D.29

C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 3. 正方体 ABCD—A 1B 1 C1 D1 中,异面直线 AA 1 与 BC1 所成的角为 A.60° B.45° C.30° D.90° 2?x 4. 等式 ? 0 的解集为 x?4 A.

? x ?2 ? x ? 4?

B.

? x x ? 2?

C. x x ? ?4

?

?

D.

?x x ? 2或x ? 4?

5. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是

A

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2

B

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1?

2

C

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1?

2 2

D

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1? 2 2

6. △ ABC 中,a,b、c 分别为∠ A、∠B、∠ C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠ B=30° , △ ABC 的面积为 ,那么 b 等于 A. B. C. D.

7. 已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是 a b
C.4 D.5
A 2 O 2
45?

8. 右图是某平面图形的直观图,则原平面图形的面积是 A. 4 B. 2 2 C. 4 2 D. 8

B

9. 如图是一个几何体的三视图, 其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4, 腰长为 4

的等腰梯形, 则该几何体的侧面积是 A.6π B.12π C.18π D.24π

? x ? ?1 ? 10. 若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
为__________ A.3 B.4 C.5 D.6

11. 已知数列{ an },{ bn }满足 a1 ? b1 ? 1 , a n ?1 ?a n ? 前 10 项的和为 A.

bn?1 ? 2 ,n∈ N ? ,则数列{ ban }的 bn
1 10 ( 4 ? 1) 3

4 9 (4 ? 1) 3

B.

4 10 ( 4 ? 1) 3

C.

1 9 (4 ? 1) 3

D.

12. 记关于 x 的不等式 正数 a 的取值范围. A. (2, ? ?)

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q ,若 Q ? P ,求 x ?1

B. (- ?, -2)

? ?? C . 2,

?

-2 D. (- ?,

?

第Ⅱ 卷 (非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题,第 13 题 ~第 21 题每个试题考生都必须作答。第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 )
13. 直线 3 x+y+1=0 的倾斜角为_______. 14. 若三角形的三个内角之比为 1∶ 2∶ 3,则它们所对的边长之比为_______. 15. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 , 则当 Sn 取最小值时,n 等于 _______ 16. 已知 m, n, l 是直线, ?、? 是平面,下列命题中: ① 若 l 垂直于 ? 内两条直线,则 l ? ? ; ② 若 l 平行于 ? ,则 ? 内可有无数条直线与 l 平行; ③ 若 m ? ?, l ?

? , 且l ? m ,则 ? ? ? ; ④ 若 m⊥ n,n⊥ l 则 m∥ l;

⑤ 若 m ? ? , l ? ? , 且? // ? ,则 m // l ;正确的命题序号 为__________ . ..

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn ; (2)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和

Tn .
18. (本小题满分 12分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相互垂直, G 是 AF 的中点. (I)求证: ED ? AC ; (Ⅱ )若直线 BE 与平面 ABCD 成 45 角,求异面直线 GE 与 AC 所成角的 余弦值.
o

20. (本小题满分 12 分) 2 2 已知点 P (2,0)及圆 C:x +y -6x+4y+ 4=0. (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程. (2)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M,N 两点,当|MN|=4 时,求以线段 MN 为直径的 圆 Q 的方程. (3)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直 线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) (1)已知 a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,

求证:

a 2 b2 (a ? b)2 ,指出等号成立的条件; ? ? x y x? y
2 9 1 ? ( x ? (0, ) )的最小值,指出取最小值时 x 1? 2x 2

(2)利用(1)的结论求函数 f ( x ) ?

x 的值.

四、选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多 做,则按首做题计入总分,满分 10 分 . 请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位 ... .. 置)
22. (本小题满分 10 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = 2 , A1 A ? AD =1, 求: (1) A1C 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)平面 A1 D1 DA 与平面 A1 D1CB 所成二面角的正弦值 23. (本小题满分 10 分) 已知关于 x,y 的方程 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆。 (2)若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 MN= 24. (本小题满分 10 分) 设 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

4 , 求 m 的值. 5

1 . 3

2014~ 2015 学年度第二学期期末

海南四校联考高一年级数学学科试题卷
(考试范围:必修 5、必修 2)参考答案
一.选择题

CBBD
二.填空题

BBCA

BADA
15、 6 16、②

13、120°
三.解答题

14、 1∶ 3 ∶ 2

17、解: (1)因为 ?an ? 是首项为 a1 ? 19 ,公差 d ? ?2 的等差数列 所以 an ? 19 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 21,

n(n ? 1) ? (?2) ? ?n 2 ? 20 n 2 (2)由题意 bn ? an ? 3n?1 ,所以 bn ? 3n?1 ? 2n ? 21 S n ? 19 n ?

Tn ? S n ? (1 ? 3 ? ? ? 3n?1 ) = ? n 2 ? 20n ?
18、解: (1)∵cos B ?

3n ? 1 2

3 ? 0 , 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 , sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴sin A ? ? b 4 5 1 (2)∵S ?ABC ? ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

∴ b?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

1 919 ZXXK]

19. (I)证明:在矩形 ADEF 中, ED ? AD ∵ 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ∴ED ? 平面ABCD ∴ED ? AC --------------6 分

(Ⅱ )由(I)知: ED ? 平面ABCD ∴ ? EBD 是直线 BE 与平面 ABCD 所成的角,即 ?EDB ? 45 ? -----------8 分 设 AB ? a, 则DE ? BD ? 取 DE中点M ,连接 AM ∵G 是 AF 的中点 ∴AM // GE ∴ ?MAC 是异面直线 GE 与 AC 所成角或其补角--------10 分 连接 BD交 AC 于点 O ∵ AM ? CM ? ∴ MO ? AC

2a

a2 ? (

2 2 6 a) ? a , O是AC 的中点 2 2

2 a AO 3 ? 2 ? ∴cos?MAC ? AM 3 6 a 2
∴ 异面直线 GE 与 AC 所成角的余弦值为

3 .-------12 分 3

20.解: (1)直线 l 斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k ,则方程为 y-0=k (x-2), 即 kx-y-2k =0. 又圆 C 的圆心为(3,-2),半径 r=3,由 所以直线方程为 y ? ?

| 3k ? 2 ? 2k | k ?1
2

3 =1 ,解得 k ? ? . 4

3 (x ? 2) , 4

即 3x+4y-6=0. 当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件.即直线 l 的方程为 3x +4y-6=0 或 x=2. ………4 分

? | MN | ? 2 (2)由于|CP |= 5 ,而弦心距 d ? r ? ? ? ? 5. ? 2 ?
所以 d=|CP |= 5 . 所以 P 恰为 MN 的中点.故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x-2)2 +y2 =4. ………8 分 2 2 (3)把直线 y=ax+1 代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a +1)x +6(a-1)x+9=0. 2 由于直线 ax-y+ 1=0 交圆 C 于 A ,B 两点,故 Δ=36(a-1) -36(a2 +1)>0,即-2a >0,解得 a<0. 则实数 a 的取值范围是(-∞,0). 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C(3,-2)必在 l2 上.所以 l2 的斜率 k PC=-2,而 kAB =

2

a= ?

1 , k PC
1 1 . 由于 ? (-∞,0),故不存在实数 a,使得过点 P (2,0)的直线 l2 垂直平分弦 2 2

所以 a ?

AB . ………12 分 21.解: (1)应用二元均值不等式,得

(

a 2 b2 y x y x ? )( x ? y) ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 2 a2 b2 ? (a ? b)2 , x y x y x y

故 当且仅当 a 2

a 2 b 2 (a ? b) 2 . ? ? x y x? y
a b y x ? b 2 ,即 ? 时上式取等号. x y x y

(2)由(1) f ( x) ?

22 32 (2 ? 3)2 ? ? ? 25 . 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

当且仅当

1 2 3 ? ,即 x ? 时上式取最小值,即 [ f ( x)]min ? 25 . 5 2x 1? 2x

22.解: (1)∵AA1 ⊥ 平面 ABCD ,∴A1C 在平面 ABCD 的射影是 AC ∴?A1CA 是 A1C 与平面 ABCD 所成角………………………2 分 由 AA1 ⊥ 平面 ABCD 得, AA1 ⊥ AC ,∴?A1CA 是直角三角形

AA1 =1, AC ? 3 ,∴ A1C = AA1 ? AC 2 ? 2 , ………………………4 分

2

?A1CA 的对边比斜边为 1/2,∴?A1CA =30o ………………………6 分
(2)∵ AA1 ⊥ A1 D1 , A1 B ⊥ A1 D1 ∴ ?AA1 B 是 平 面 A1 D1 DA 与 平 面 A1 D1CB 所 成 二 面 角 的 平 面 角………………………10 分

sin ?AA1 B ?

AB ? A1 B

2 3

?

6 ………………………12 分 3

23. 解: (1)方程 C 可化为 显然

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m ………………2 分

5 ? m ? 0时,即m ? 5 时方程 C 表示圆。………………4 分
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m

(2)圆的方程化为

圆心 C(1,2) ,半径

r ? 5 ? m ………………………………6 分

则圆心 C(1,2)到直线 l:x+2y-4=0 的距离为

d?

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2
4

?

1 5

………………………………………………8 分

? MN ?

1 1 2 ,有 r 2 ? d 2 ? ( MN ) 2 , 则 MN ? 2 2 5 5

?5 ? M ? (

1 5
2

)2 ? (
2

2 5
2

)2 ,得
1 . 3

m ? 4 …………………………10 分

24.设 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?

? a 2 ? b 2 ? 2ab, b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ? 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ?3 a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? (a ? b ? c) 2 ? 1
即a ? b ? c ?
2 2 2

?

?

?

?

1 3

12 分


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