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上海高二数学下学期期末考试


上海高二第二学期数学期卷
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x2 ? y 的准线方程是
2x x 2. 方程 C24 的解为 ? C24
2

. .

3. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

a = b

. .

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是

5. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种.

6. 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 . (结果用最简分数表示)

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. 已知 F1 ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F1 、 F2 、 F3 共同作用于一个
物体上,使物体从点 M 1 (1,-2,1)移到点 M 2 (3,1,-2) ,则合力所做的功为
2

.

8. 抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且
| FM |? 2 | FK | ,则△MFK 的面积为



9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 10. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . .
第0行 第1行 第2 行 第3行 第4行 第5行 ?? 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

5 10 10 5 1 ?? ??

11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则

b 的取值范围是 a



12. 已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为

?r
2

,又球

心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为
2


3 4

13. 若对于任意实数 x , 都有 x4 ? a0 ? a1 ? x ? 2? ? a2 ? x ? 2? ? a3 ? x ? 2? ? a4 ? x ? 2? , 则 a3 的 值为 .

14. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当

n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不
相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方 案共有 方案共有 种, 至少有两个黑色正方形相邻的着色 种. (直接用数字作答)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? A. 0 B. 1

3 只有一个公共点的直线有多少条? ( 4
C. 2 D. 3

)

16. 正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四面体

EFGH 的表面积为 T ,则
A.

T 等于 S
1 9
C.

(

)

4 9

B.

1 4

D.

1 3

17. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A. ( D. )

1 36

B.

1 9

C.

5 36

1 6

18. 给出下列四个命题: (1) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (4) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 (
P



三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答

A
O

D

B

C

题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB ? 6 , AD ? 8 , 异面直线 PB 与 CD 所成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小 题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分.

m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列的
所有种数为 (m ? 1)! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果. (1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务, 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位.

P
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,AP ? AB ? 2 ,AD ? 4 ,E、F 依次是 PB、PC 的 B 中点. (1)求直线 EC 与平面 PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示); (2)求三棱锥 P ? AFD 的体积.

E A

F D C

A

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4
P

B M N C1

C

A1 B1

分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M ,

PN ? BB1 交 CC1 于点 N .
(1)求证: CC1 ? MN ; (2)在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不 少.下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去. 勾股定理的 类比 条件 结论 三角形 ABC 四面体 O-ABC

AB⊥AC AB2+AC2=BC2

OA、OB、OC 两两垂直


请在答题纸上完成上表中的类比结论,并给出证明.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

??? ? ??? ? (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 不同的两点,求 OA ? OB 的值;
(3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0 ,求 ON 的取值范围.

???? ? ???? ?

????

参考答案
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x2 ? y 的准线方程是 【答案】 y ? ? .

1 4
2

2x x 2. 方程 C24 的解为 ? C24

.

【答案】0,2,4 3. 在 (3x ? 1)5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

a = b

.

【答案】1 4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、 圆心角为 90?的扇形, 则这个圆锥的全面积是 . 5 【答案】 ? 4 5. (理) (11 全国大纲理 7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本 赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种. 【答案】10 5.(文)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,赠送给 5 位朋友,每位朋友 1 本, 则不同的赠送方法共有 种. 【答案】10 6.(理)将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 .(结果用最简分数表示) 【答案】
C42 P33 4 ? 34 9

6.(文)一只口袋里有 5 个红球,3 个绿球,从中任意取出 2 个球,则其中有绿球的概率 为 .(结果用最简分数表示)
C52 9 ? C82 14 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 7. (理)已知 F1 ? i ? 2 j ? 3k , F2 ? ?2i ? 3 j ? k , F3 ? 3i ? 4 j ? 5k ,若 F1 、 F2 、 F3 共同作用

【答案】 1 ?

于一个物体上, 使物体从点 M 1(1, -2, 1) 移到点 M 2(3, 1, -2) , 则合力所做的功为 【答案】4

.

7.(文)已知正四棱柱的一条对角线长为 2 2 ,底面边长为 1 ,则此正四棱柱的表面积为 _________. 【答案】 2 ? 4 6 8. 抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且
2

| FM |? 2 | FK | ,则△MFK 的面积为

.

【答案】 2 3 9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 . 1 【答案】 3 第0行 1
第1行 第2 行 第3行 第4行 第5行 ?? 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

5 10 10 5 1 ?? ??

10. (04 春考)如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . 【答案】34 11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则

b 的取值范围是 a

.

1 【答案】 ( , ??) 2
12.(理)已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为 又球心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为 【答案】
2? r 3

?r
2



.

12.(文) 9192 除以 100 的余数是 【答案】81

.
2 3 4

13. 若对于任意实数 x , 都有 x4 ? a0 ? a1 ? x ? 2? ? a2 ? x ? 2? ? a3 ? x ? 2? ? a4 ? x ? 2? , 则 a3 的 值为 【答案】-8 .

14.(理) (11 湖北理 15)给 n 个自上而下相连的正方形着 黑色或白色. 当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色 正方形互不相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共 有 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共 有 种. (直接用数字作答) 【答案】21;43 14. ( 文 ) 如 果 一 个 正 四 位 数 的 千 位 数 a 、 百 位 数 b 、 十 位 数 c 和 个 位 数 d 满 足 关 系 (a - b)(c - d ) < 0 ,则称其为“彩虹四位数”,例如 2012 就是一个“彩虹四位数”. 那么, 正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .(直接用数字作答) 【答案】3645 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 3 15. 经过原点且与抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? 只有一个公共点的直线有多少条? ( ) 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 16.(理)正四面体 ABCD 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四 面体 EFGH 的表面积为 T ,则

T 等于 S
C.

(

)

4 9 【答案】B
A.

B.

1 9

1 4

D.

1 3

16.(文)教室内有一把直尺,无论这把直尺怎样放置,在教室的地面上总能画出一条直线, 使这条直线与直尺 ( ) A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交 【答案】B 17.(理) (11 陕西理 10)甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任 选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) 1 1 5 1 A. B. C. D. 6 36 9 36 【答案】D 17.(文) (11 全国新课标理 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 3 【答案】D 18.(理)给出下列四个命题: (5) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (6) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (7) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (8) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 18.(文)给出下列四个命题: (1) 异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线; (2) 若直线 l 上有两点到平面 ? 的距离相等,则 l // ? ; (3) 若直线 m 与平面 ? 内无穷多条直线都垂直,则 m ? ? ; (4) 两条异面直线中的一条垂直于平面?,则另一条必定不垂直于平面?. 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) P 已知矩形 ABCD 内接于圆柱下底面的圆 O , PA 是圆柱的母线,若 AB ? 6 , AD ? 8 ,异面直线 PB 与 CD 所成的角为 arctan 2 ,求此圆 柱的体积. 解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 AC , 由矩形 ABCD 内接于圆 O ,可知 AC 是圆 O 的直径,??2 分
A





于是 2r ? AC ? 62 ? 82 ? 10 ,得 r ? 5 ,?????4 分 由 AB ∥ CD ,可知 ?PBA 就是异面直线 PB 与 CD 所成的角, 即 ?PBA ? arctan 2 ,故 tan ?PBA ? 2 .??????7 分 在直角三角形 PAB 中, PA ? AB tan ?PBA ? 12 ,????9 分
B

D
O C

故圆柱的体积 V ? ?r 2 ? PA ? ?? 52 ? 12 ? 300? .?????12 分 20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小

题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分. (理)m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列 的所有种数为 (m ? 1)! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果. (1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务, 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位.
8 解: (1) C10 ? 7! ? 226800 ----------------------3 分

(2-i) 5!? P22 ? 240 (2-iii)
7! ? 5040

----------------------6 分 ----------------------14 分

(2-ii) 间接法: 7!? 6!? P22 ? 3600 ;插空法: 5!? P62 ? 3600 ----------------------10 分

20.(文)有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲、乙、丙三人两两不得相邻; (4)甲不在排头,乙不在排尾.
1 解: (1) C6 ? 7! ? 30240

----------------------3 分 ----------------------6 分 ----------------------10 分

(2) 7!? P ? 10080
2 2

(3) 5!? P ? 14400
3 6

(4)

1 1 7!? C6 ? C6 ? 6! ? 30960 ----------------------14 分

P
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分 . (理) (12 闵行三模理) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AP ? AB ? 2 , AD ? 4 , E、F 依 次是 PB、PC 的中点. ( 1 )求直线 EC 与平面 PAD 所成的角 ( 结果用反三角函数值表 示); (2)求三棱锥 P ? AFD 的体积. (1)解法一:分别以 AB、AD、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标分别 是

E A B

F D C

A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C(2, 4, 0) , D(0, 4, 0) , P(0, 0, 2) ,∴ E(1 ,, 0 1) , F(1 , 2, 1) , ??? ? (2 分) EC ? (1 ,, 4 ? 1) ,
又∵ AB ? 平面 PAD ,

P E A

z

F D y C

? ??? ? ∴平面 PAD 的法向量为 n ? AB ? (2,0,0) , 设直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则

(4 分) B

x

??? ? ? EC ? ? n? ? 2 ? 2 , sin ? ? ??? 18 ? 2 6 | EC | ? | n |
∴直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 arcsin

(6 分)

2. (7 分) 6 解法二:∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA ,又 CD ? AD ,∴ CD ? 平面 PAD ,取 PA 中 、 GH 、 GD 点 G , CD 中 点 H , 联 结 E G , 则 E G/ / A B/ / C D 且 P 1 EG ? AB =1 ,? EGHC 是平行四边形, 2 G F E PAD ? HGD EC ∴ 即为直线 与平面 所成的角. (3 分) 在 Rt ?GAD 中, GD ? 12+42 = 17 , A D HD 1 17 H 在 Rt ?GHD 中, tan ?HGD ? , (6 分) ? ? B C GD 17 17 17 . ∴直线 EC 与平面 PAD 所成的角为 arctan (7 分) 17 ??? ? ???? (2)解法一:由(1)解法一的建系得, AF ? (1 4 0) ,设平面 AFD 的法向 ,, 2 1) , AD ? (0,, ? ??? ? ? ???? ? Fn ? ? 0 ,AD ? n ? 0 得 x ? 2 y ? z ? 0 量为 n ? ( x, y, z) , 点 P 到平面 AFD 的距离为 d , 由A ? 且 4 y ? 0 ,取 x ? 1 得 n ? (1,0, ?1) , (9 分) ??? ? ? AP ?? n ? 2 ? 2 , ∴d ? (11 分) 2 n ??? ? ??? ? 又 AF ? FD ? 6 ,∴ S△ AFD ? 2 ? 6 ? 4 ? 2 2 , (13 分)
4. (14 分) 3 解法二:易证 PE 即为三棱锥 P ? AFD 底面上的高,且 PE ? 2 , (11 分)
∴ VP ? AFD ? ? 2 2 ? 2 ? 底面 △AFD 边 AD 上的高等于 AE ,且 AE ?

1 3

2 ,∴ S△ AFD ? 2 2 (13 分)

(14 分) VP? AFD ? 1 ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 . 3 2 3 解法三:依题意, EF // 平面 PAD ,∴ VP? AFD ? VF ? PAD ? VE ? PAD ? VD? PAE (11 分)

VD? PAE ? 1 ? 1 ? 1 ? PA ? AB ? AD ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 . 3 2 2 12 3
21.(文) (本题满分 14 分) 如图,在北纬 60°线上,有 A、B 两地,它们分别在东经 20° 和 140°线上,设地球半径为 R,求 A、B 两地的球面距离. 0 0 0 解:设纬线圈半径为 r,据题意,∠AO1B=140 -50 =90 .(2 分) 1 ? r ? R cos ?OAO1 ? R cos600 ? R(? ?OAO1 ? ?AOC ? 600 ) , 2 (5 分) 在 Rt△AO1B 中, AB 2 ? r 2 ? r 2 ? 2r 2 ? cos120 0 ? 3r 3 ? AB ? 3r ?
1 3 3 ? ?AOB ? 2 arcsin 又在 Δ AOB 中, sin ?AOB ? 2 4 4 3 R 2

(14 分)

(8 分) (11 分)

∴A、B 两地的球面距离 AB ? 2 R arcsin

?

3 4

(14 分)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. (理)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分。 (本题取前 2 小题作为文 22 题,满分 16 分, A 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分) 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,

PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N .
(1)求证: CC1 ? MN ; (2)在任意 ?DEF 中有余弦定理:

B P M N

C

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间, 类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其 B1 C1 中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明。 (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不 少。下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去。 勾股定理的 三角形 ABC 四面体 O-ABC 类比 条件 AB⊥AC OA、OB、OC 两两垂直 2 2 2 结论 AB +AC =BC ? 请在答题纸上完成上表中的类比结论,并给出证明. (1)证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ; (4 分)
2 2 2 (2)解: 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 有 S ABB 其中 ? 为 ? SBCC ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? , 1A 1 1B1 1A 1
1 1 1 1

A1

平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角.
? CC1 ? 平面PMN , ? 上述的二面角为 ?MNP ,

(7 分)

在 ?PMN 中, PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN cos ?MNP
2 2 2 ? PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP ,
1 1

由于 SBCC1B1 ? PN ? CC , S ACC1A1 ? MN ? CC , S ABB1A1 ? PM ? BB1 ,
1 1

2 ? 有 S ABB 1A 1

?

2 SBCC 1B1

2 ? S ACC 1A 1

? 2SBCC B ? S ACC A cos? .
1 1 1 1

(10 分)

(3)空间勾股定理的猜想:
2 2 2 2 已知四面体 O-ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,则有 S? OAB ? S?OAC ? S?OBC ? S?ABC .

(13 分) 证法一:作 OD⊥AB,垂足为 D,连结 CD 1 1 1 1 2 S? ? AB2 ? CD2 ? ? AB2 ? (OC 2 ? OD2 ) ? ? AB2 ? OC 2 ? ? AB2 ? OD2 ABC ? 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 ? ? (OA2 ? OB2 ) ? OC 2 ? S? ? OA2 ? OC 2 ? ? OB2 ? OC 2 ? S? AOB ? AOB ? S?AOC ? S?COB ? S?AOB (16 4 4 4 分) 证法二:作 OH⊥平面 ABC,垂足为 H,易得 H 为△ABC 的垂心。连结 CH 并延长交 AB 于 E,连 结 OE,则有 OE⊥AB。

在△OAB 中, S?OAB ?

1 1 2 2 AB ? OE ? S? AB ? OE2 OAB ? 2 4

在 Rt△EOC 中, OE 2 ? EH ? EC 1 1 1 2 ? S? AB2 ? ( EH ? EC) ? ( AB ? EH ) ? ( AB ? EC) ? S?HAB ? S?CAB OAB ? 4 2 2
2 2 同理,? S? OAC ? S?HAC ? S?BAC ,? S?OBC ? S?HBC ? S?ABC 2 2 2 2 于是 S? OAB ? S?OAC ? S?OBC ? (S?HAB ? S?HAC ? S?HBC ) ? S?ABC ? S?ABC

(16 分)

证法三:建立空间直角坐标系,设 A(a,0,0) , B(0, b,0) , C (0,0, c) ???? ??? ? ? ?OD ? AB ? 0 ? ax ? by ? 0 作 OD⊥AB,垂足为 D,则 D ( x, y, 0) 满足 ???? ? ???? ? ? AB // AD ? bx ? y( x ? a) ? bx ? ay ? xy 平方相加: x2 y 2 ? a2 x2 ? b2 y 2 ? a2 y 2 ? b2 x2 ? (a2 ? b2 )( x2 ? y 2 )
2 S? ABC ?

1 1 1 1 AB2 ? CD2 ? ( x2 ? y 2 ) ? (a2 ? b2 ? z 2 ) ? ( x2 ? y 2 ) ? (a2 ? b2 ) ? ( x2 ? y 2 ) ? z 2 4 4 4 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 (16 分) ? x y ? x z ? y z ? S? OAB ? S?OAC ? S?OBC 4 4 4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;

??? ? ??? ? (2)若过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的 A, B 两点,求 OA ? OB 的值;
(3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 OM ? MN ? 0, 求 ON 的取值范围. 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离等于 P 到直线 x ? ?1 的距离,曲线 C 是 以原点为顶点, F (1, 0) 为焦点的抛物线 ∵

???? ? ???? ?

????

p ? 1∴ p ? 2 2

∴ 曲线 C 方程是 y ? 4 x
2

(4 分)

(2)当 l 平行于 y 轴时,其方程为 x ? 1 ,由 ?

??? ? ??? ? 此时 OA ? OB=1 ? 4= ? 3
当 l 不平行于 y 轴时,设其斜率为 k , 则由 ?

? x ?1 解得 A(1, 2) 、 B(1, ?2) 2 ? y ? 4x
(6 分)

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 k2
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? 1 , x1 +x2 ?

(8 分)
2

∴ OA ? OB=x1 x2 ? y1 y2 =x1 x2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? (1 ? k ) x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k

??? ? ??? ?

=1+k 2 ? k 2 ?

2k 2 ? 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ? ?3 k2

(10 分)

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y2 ) 4 4 2 2 ???? ? ???? ? y1 y2 ? y12 , y2 ? y1 ) ∴ OM ? ( , y1 ), MN ? ( 4 4 ???? ? ???? ? ∵ OM ? MN ? 0
(3)设 M ( ∴
2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 16

∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 y 2 ? ?( y1 ? ∴ y 2 ? y1 ?
2 2

16 ) y1

(12 分) (14 分)

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12

当且仅当 y1 ?
2

256 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y12
(16 分) (18 分)

2 y2 1 2 2 2 )2 ? y2 ? ( y2 ? 8)2 ? 64,又 ? y2 ? 64 4 4 ???? ???? 2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8, | ON |min ? 8 5,故 | ON | 的取值范围是 [8 5,??)

∵ | ON |? (

????



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