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三角函数与解三角形二轮复习


北方交通大学附属中学

The middle school attached to Northern Jiaotong University

交大附中

邹明武

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一、高考要求与最近考题
高考一般是 1 大 1 小,共 18 分,属于容易题: 解三角形小题+三角函数大题或者 三角函数小题+解三角形大题 另 13 年文科:三角函数与导数结合 13 分 14 年理科:三角函数与导数结合
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13 分

三角函数综合应用出现在 14 题
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二、二轮复习学生情况:

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? 学生不重视,老觉得没有问题,如果按一
轮复习,教师讲学生不怎么爱听。

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巩固、查漏、提速、得分
? 1、基本题复习:重在梳理知识,查出漏洞 ,落实基础,加快速度,提升满分率。 ? 基本问题要求:会、准、快 故可以安排前 测,速度强化训练,速度比赛等引起学生 的学习兴趣(一般的15题(三角函数与解 三角形题目----时间可追求至4---7分钟)
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2、注重解题策略指导,例题一定要少而精,避 免反复的重复训练(因为学生不爱做),做到适 当的变化,或者是给学生眼前一亮的感觉(尤其 是在他不爱做的“简单题”上)
? 1)注意基本问题的适当变式---------突破学生定式思 维(如14北京高考) ? 2)中档题目(选填)可追求多种方法解决,培养 应试策略,目的--多角度认识题干(培养审题) ? 3)对于创新题目,教会学生如何审题,如何去突破 陌生的题干,如何总结一些行之有效的方法。(尤 其是不会做的题目,如何让学生得分)
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1、同角三角函数的基本关系: 1) sin ? ? cos ? ? 1 ;
2 2

四、核心知识必记:sin ?
2) tan ? ?

cos ?

2、诱导公式: 诱导公式 1: sin ?? ? 2k? ? ? sin ? ; cos ?? ? 2k? ? ? cos? ; tan ?? ? k? ? ? tan ? 诱导公式 2: sin ? ?? ? ? ? sin ? ; cos ? ?? ? ? cos ? ; tan ? ?? ? ? ? tan ? 诱导公式 3: sin ?? ? ? ? ? ? sin ? ;易错点: cos ?? ? ? ? ? ? cos? ; 诱导公式 4: sin ?? ? ? ? ? sin ? ;易错点: cos ?? ? ? ? ? ? cos? ; 诱导公式 5: sin ?

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ; cos ? ? ? ? ? sin ? ; tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

诱导公式 6: sin ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ;易错点: cos ? ? ? ? ? ? sin ? ; ?2 ? ?2 ? 饮水思源 爱国荣校

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3、正弦函数的图象与性质: y ? sin x

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1)正弦函数的值域: ?1,1 (定义域: R ) : 当 x ? 2 k? ?

?

?

?
2

时,取最大值 1 ;当 x ? 2k? ?

?
2

时,取最大小 ?1 ;

2)正弦函数的周期: y ? sin x ,最小正周期为: 2? 3)奇函数: sin ? ? x ? ? ? sin x 4)单调性:增区间: ? ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? 2 ? ? 3? ?(k ?Z ) 减区间: ? ? 2k? , ? 2 k ? ? ? 2 ?2 ? 5)对称性:关于点 ? k? ,0 ? ( k ? Z )成中心对称;关于直线 x ? k? ?

?
2

对称

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4、函数 y ? Asin ??x ? ? ? 5、三角变换公式:

2? 周期: ?

常用方法:换元法: t ? ? x ? ?

1) cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
2) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
3) tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
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tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

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4) cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

2 tan ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ; tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

5)辅助角公式: a sin x ? b cos x ? ( cos ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?
b a 2 ? b2


a a 2 ? b2

, sin ? ?

6、余弦函数与正切函数图象

? k? ? (易错点 正切函数图象对称中心: ? , 0 ? ?k ? Z ? ) ? 2 ?

? ,有 7、一个结论: x ? ? sin x ? x ? tan x ? 0, ? 饮水思源 ? 2? 爱国荣校

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1 8、三角形面积: S ? ab sin C 2 a b c ? ? ? 2R 9、正弦定理: sin A sin B sin C
10、余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

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c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

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五、典型问题:
例 1(2014 海淀高一期末)已知函数 y ? A sin(?t ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |?

y (米) 2

? )的图象如右图所示,它 2

O -1

刻画了质点 P 做匀速圆周运动(如图 2)时,质点相对 水平直线 l 的位置值 y ( | y | 是质点与直线 l 的距离(米) , 质点在直线 l 上方时, y 为正,反之 y 为负)随时间 t (秒)

2 3

t(秒)

图1
第17题(图1)

的变化过程. 则 (1)质点 P 运动的圆形轨道的半径为________米; (2)质点 P 旋转一圈所需的时间 T ? _________秒; (3)函数 f (t ) 的解析式为:__________________; (4)图 2 中,质点 P 首次出现在直线 l 上的时刻 t ? _______秒.
π 1 答案: (1)2; (2)2; (3) f (t ) = 2sin(πt ? ) ; (4) . 6 6
图2
第17题(图2)

l P

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例 2、已知函数 f ? x ? ? sin 2x ? 2cos x
2

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1)求 f ( x) 的最小正周期,振幅,初相; 2)求 f ( x) 的单调递增区间; 3)当 x ? ? 0, ? ? 时,求 f ? x ? 的值域; 4)当 x ? ? 0, ? ? 时,求 f ? x ? 的单增区间; 5)求 f ( x) 的对称中心和对称轴 6)说明函数 f ( x) 图象可由函数 y ? sin 2 x 图象经过怎样的变换而得到 7)利用五点法画出函数 f ? x ? 的图象

? ? ? ?

2 ? 3 ? 2 ? 3 ?

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例 2、已知函数 f ? x ? ? sin 2x ? 2cos x
2

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变式 1、题干变为: f ? x ? ? sin 2x ? cos ?? ? 2x ? ?1,问法不变
?? ? 变式 2、题干变为: f ? x ? ? cos ?? ? 2 x ? ? cos ? ? 2 x ? ? 1 ,问法不变 ?2 ?
变式 3(12 北京)已知函数 f ? x ?

sin x ? cos x ? sin 2 x ? ? sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。
变式 4、题干变为:函数 f ? x ?

sin x ? cos x ? sin 2 x ? ? ? sin x

? 2sin x ? 1?

0

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? ? 例 3(2014 山东)已知向量 a ? (m,cos 2x) , b ? (sin 2x, n) ,

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? ? ? 2? , ?2) . 设函数 f ( x) ? a ? b ,且 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 3) 和点 ( 12 3
1)求 m, n 的值; 2)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到 函数 y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g ( x) 的单调增区间.

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例 4(14 海淀期末)函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? 1)写出 ? 及图中 x0 的值; 求函数 g ( x) 在区间 [ ?

π ) 的部分图象如图所示. 2 1 2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) , 3
y 3 2

1 1 , ] 上的最大值和最小值. 2 3

O

x0

x

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例 5(2013 年北京)在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A 1)求 cos A 的值;2)求 c 的值.
学生典型错误 解:1)因为 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A , 所以在 ?ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 ? . sin A sin 2 A

所以

2sin A cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
2 2 2

2)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A

9 ? 24 ? c 2 ? 4 6c ?
c 2 ? 8c ? 15 ? 0

6 3
c ? 3, c ? 5

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?B ? 2?A

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例 5(2013 年北京)在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A 1)求 cos A 的值;2)求 c 的值.
方法 1:估值:
方法 2:反推矛盾: 显然:当 c ? 3 时, a ? c, ?B ? 2?A

6 ? cos 45? 因为 cos A ? 3
故 A ? 45 ,
?

?ABC 为等腰直角三角形, ?A ?

?
4

A ? B ? 135? , C ? 45? ,
故c ? a即c ? 5

这与 cos A ? 即c ? 5

6 矛盾,故舍 c ? 3 3

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例 5(2013 年北京)在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A 1)求 cos A 的值;2)求 c 的值.

2) 由 1)知 cos A ? 又因为∠B=2∠A

6 3 2 ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? . 3 3

所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ?
2

1 2 2 2 .所以 sin B ? 1 ? cos B ? . 3 3

5 3 在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 9
a sin C ?5. 所以 c ? sin A
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变式 1、在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 2 6,sin B ? sin 2 A 1)求 cos A 的值;2)求 c 的值.
解:1)因为 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A , 所以在 ?ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 ? . sin A sin 2 A

所以

2sin A cos A 2 6 6 ? .故 cos A ? . sin A 3 3
2 2 2

2)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A

9 ? 24 ? c 2 ? 4 6c ?
c 2 ? 8c ? 15 ? 0

6 3
c ? 3, c ? 5

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例 6、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos B b ?? . cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

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例 7(2013 年房山一模)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 1) 求 f ( x) 的最小正周期; 2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c , 若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? ab ,试判断△ABC 的形状.
解答:1) f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x

C 2

? 1 3 ? 2( cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin( 2 x ? ) 6 2 2
周期为 T ? 2)因为 f (

C ? ? ) ? 2sin(C ? ) ? 2 所以 sin(C ? ) ? 1 2 6 6 ? ? 7? ? ? ? 因为 0 ? C ? ? 所以 ? C ? ? 所以 C ? ? 所以 C ?
6 6 6 6 2

2? ? ?. 2

3

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ? ab

整理得 a ? b

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所以 三角形 ABC 为等边三角形

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应试策略训练:

1(14朝阳区期末6)在 ?ABC 中, B ?

π ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4



A)

1? 2 4

B)

3 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

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1(14朝阳区期末6)在 ?ABC 中, B ?

π ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4

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A)

1? 2 4

B)

3 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

? 2 ? 2 ?3 ? 方法1: y ? sin A ? sin C ? sin A ? sin ? ? ? A ? ? sin A ? ? cos A ? sin A ? ? ? 2 ?4 ? ? 2 ?

?

2?1 1 ? cos 2 A ? 2 ? ? sin A cos A ? sin 2 A? ? sin 2 A ? ? ? 2 2 ?2 2 ?
2 2? ?? ? 2 A ? ? 1? ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1? ? ? 2 sin ? ? ? 4 4 ? 4? ? ?
3? 2? 2 时, ymax ? 8 4
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?

当且仅当 A ?

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π ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4



A)

1? 2 4

B)

3 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

方法2、 A ? C ?

3 3 3 ? 3 ? ? ,设 A ? ? ? x, C ? ? ? x, x ? ?0, ? ? 4 8 8 ? 8 ?

?3 ? ?3 ? y ? sin A ? sin C ? sin ? ? ? x ? ? sin ? ? ? x ? ?8 ? ?8 ?
3 3 ? sin 2 ? cos 2 x ? cos 2 ? sin 2 x 8 8

3 ? sin 2 ? ? sin 2 x 8

显然 x ? 0 , ymax

3 1 ? cos ? 3 4 ? 2? 2 ? sin 2 ? ? 8 2 4
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π ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4

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1? 2 A) 4

3 B) 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

方法3、利用正弦定理转化成边的问题:不妨设 b ? 1
a c ,sin C ? 由正弦定理得: sin A ? 2 2
y ? sin A ? sin C ? ac 2
2 2

由余弦定理得: 1 ? a ? c ? 2ac 故: a ? c ? 1 ? 2ac ? 2ac
2 2

ac ?

2? 2 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) 2

故 ymax ?

2? 2 4
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1(14朝阳区期末6)在 ?ABC 中, B ?

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π ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4



A)

1? 2 4

B)

3 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

3? ? ?? 方法4: A ? C ? ,因为 ,sin x 在 ? 0, ? 单增, 4 ? 2?
故 A, C 越接近越大 ,sin A ? sin C

3 3 3 A ? 60 , C ? 75 ,sin A ? sin C ? ? ? ,故排除ABC 2 2 4
? ?

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π 1(14朝阳区期末6)在 ?ABC 中, B ? ,则 sin A ? sin C 的最大值是( 4
A)



1? 2 4

B)

3 4

C)

2 2

D)

2? 2 4

方法5:由对称性知:如存在最大值: A ? C ,

3? 1 ? cos 2? 2 2 3 4 sin A ? sin C ? sin ? ? ? 8 2 4

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sin x ? cos x 2、已知函数 f ( x ) ? ,在下列结论中: sin x cos x
① 2 ? 是 f ( x ) 的一个周期;② f ( x ) 的图象关于直线 x ?

? 对称; 4


? ③ f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减.其中所有正确结论的序号是( 2

A )①②

B )①③

C )②③

D )①②③

sin ? x ? 2? ? ? cos ? x ? 2? ? sin x ? cos x 方法 1:用定义: f ( x ? 2? ) ? ? ? f ? x? sin ? x ? 2? ? cos ? x ? 2? ? sin x cos x
故①成立;

方法 2: 分子周期为 2 ? , 分母周期为 ? , 最小公倍数为 2 ? ; 故①成立;
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sin x ? cos x ,在下列结论中: sin x cos x ? ② f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称; 4 ? ? sin( ? x) ? cos( ? x) ? sin x ? cos x 2 2 方法 1:用定义: f ( ? x) ? ? ? f ? x? ? ? 2 sin x cos x
2、已知函数 f ( x ) ?

sin(

2

? x) cos(

2

? x)

所以 f ( x ) 的图象关于直线 x ?
方法 2:令 g( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ?

? 对称 4

? ?

? ?? ,显然 图象关于直线 对称; x ? g x ? ? ? 4 4?

1 ? h( x) ? sin x cos x ? sin 2 x ,显然 h ? x ? 图象关于直线 x ? 对称, 2 4 ? f ( x ) 所以 的图象关于直线 对称 x ? 饮水思源 4 www.bfjdfz.net 爱国荣校

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sin x ? cos x 2、已知函数 f ( x ) ? ,在下列结论中: sin x cos x ? ③ f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减. 2 1 1 ? ? ? ? 方法 1: f ( x) ? , 在 x ? ? ? , 0 ? 上均是减函数, sin x cos x ? 2 ?
两个减函数相加还是减函数;

? cos x sin x ? ? ? ? ? 0 在 x ? ? ? , 0 ? 均成立, 方法 2: f '( x) ? 2 2 sin x cos x ? 2 ?
? 故 f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减. 2
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sin x ? cos x 2、已知函数 f ( x ) ? ,在下列结论中: sin x cos x ? ③ f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减. 2
方法 3:

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f ?( x) ?

2 2 cos x ? sin x sin x cos x ? sin x ? cos x cos x ? sin x? ? ? ? ??

? sin x cos x ?
? cos3 x ? sin 3 x

2

?

? sin x cos x ?

2

?0

? 故 f ( x ) 在 (? ,0) 上单调递减. 2
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北方交通大学附属中学 平移问题

应试策略训练


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3(12 年期中理科)要得到函数 y ? sin x ? cos x 的图象, 只需将函数 y ? cos x ? sin x 的图象 ( A)向左平移

? 个单位长度 4

B)向右平移

C)向右平移 ? 个单位长度

? 个单位长度 2 3? D)向左平移 个单位长度 4

?? 3 ? ? ? 方法 1: y ? cos x ? sin x ? ? 2 sin ? x ? ? ? 2 sin ? x ? ? ? (难且易错) 4? 4 ? ? ?
?? ? ? y ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

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向右平移 ? 个单位(左加右减)

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3(12 年期中理科)要得到函数 y ? sin x ? cos x 的图象, 只需将函数 y ? cos x ? sin x 的图象 ( )

? 个单位长度 2 3? C)向右平移 ? 个单位长度 D)向左平移 个单位长度 4 ?? ? ? 3? ? y ? sin x ? cos x ? 2 sin x ? A , 2 2 方法 :特殊值: ? ? 取点: ? ? 4 ? ? ? 4 ?
A)向左平移 B)向右平移

? 个单位长度 4

?? ? ? ? ? y ? cos x ? sin x ? ? 2 sin ? x ? ? 取点: B ? ? , 2 ? 4? ? ? 4 ?
由B? A 向右平移 ? 个单位

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体现:图像平移等价于对应点的平移
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周期问题:

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4(11 海淀一模)如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 f ( x) ? cos2 (? x ? ? ) ( ? , ? 为常数)的图象如图所示(图象经过点(1,0) ) ,那么 ? 的值为(



A )1
方法 1:

B )2

C )3

D )4

y
1 2

?T ?1 1 O ? 4 ? 2 有关 ? ,一定与周期有关,由图可知: ? 即: ? T ? 2 , 3 ?3 T ?1 ? ?4
4 ? ? 3 ? ? 2 , ? ? ? ? ,正整数 ? 3 ? 2 4

x

??2

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周期问题:

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4(11 海淀一模)如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 f ( x) ? cos2 (? x ? ? ) ( ? , ? 为常数)的图象如图所示(图象经过点(1,0) ) ,那么 ? 的值为( y C )3 A )1 B )2 D )4
1 2



O

1

x

特殊方法 2: 估值:最高点横坐标: 0.2 (测量)

2? ? T ? 1.6 ? ?? ?2 2? 1.6
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最接近的是 B

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审题训练:

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5、函数 y ? sin x 在区间 ?0, t ? 上恰好取得一个最大值, 则实数 t 的取值范围是

? ? 5? ? 错误答案: ? , ? ?2 2 ?

? 5? ? 答案: ? 0, ? ? 2 ?
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变式 1、若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的解析式相同,定义域不同,值域相同,

则称函数 g ( x) 为函数 f ( x ) 的“同胚函数”.函数 f ( x) = 2sin(2 x +

p ), 6

? ? 2? ? ,且 g ( x) 为 f ( x ) 的“同胚函数”, g ( x) 的定义域 x ? ?? , ? ? 6 3 ? ?? ? 为 ? , t ? ,则实数 t 的取值范围为______________________ ?2 ?

? 7? ? 答案: ? , ?? ? ? 6 ?
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6、已知 f ? x ? ? sin ? ? x ?

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? ?

??
2?

? , ? ? 0 f ? ? ? ?

?? ? ? f ? ? ?, ?6? ?3?

??

?? ? ? 且 f ? x ? 在区间 ? , ? 上有最小值,无最大值,则 ? 的值为 ?6 3?
解答:因为 f ? x ? 在区间 ?

?? ? ? , ? 上有最小值,无最大值 6 3? ?
又因为 f ?

故T ?

2?

?

?

?
6

故 0 ? ? ? 12

?? ? ?? ? ? ? ? ? f ? ? ?且 3 ? 6 ? 6 ? T 6 ? ? ?3?

故x??

? ?? ? ? ? ? ? 2 ? 为 f ? x ? 的最小值点 4 ?3 6?
?? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? ? ?1 2? ?4? ?4
?
4

故: f ? 所以:

??

?
2

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2

? 2 k? ? k ? Z ?

? ? ?4 ? 8k

?k ? Z ?
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0 ? ? ? 12

所以 ? ? 4 或 ? ? 12

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变式 1、已知 f ? x ? ? sin ? ? x ? 且 f ? x ? 在区间 ?

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? ?

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2?

? , ? ? 0 f ? ? ? ?

?? ? ? f ? ? ?, ?6? ?3?

??

解答:因为 f ? x ? 在区间 ? 故T ?

?? ? ? , ? 上有最小值,无最大值,则 ? 的值为 ?6 3? ?? ? ?
, ? 上有最小值,无最大值 ?6 3?
故 0 ? ? ? 12

2?

?

?

?
6

又因为 f ?

?? ? ?? ? ? ? ? ? f ? ? ?且 3 ? 6 ? 6 ? T ?6? ?3?

故x?? 所以:

? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 2 ? 为 f ? x ? 的最小值点 故: f ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?1 4 2? ?3 6? ?4? ?4
?
4

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2

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又因为 0 ? ? ? 12

? ? ?4 ? 8k

?k ? Z ?
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所以 ? ? 4

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变式 2(2014 北京 14)设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 , 若 f ( x) 在区间 [

? ?

?? ? ? 2? ? ?? ? , ] 上具有单调性,且 f ? ? ? f ? ???f? ?, 6 2 ?2? ? 3 ? ?6?

则 f ( x) 的最小正周期为________.
解:由 f ( x) 在区间 [

? ?

?? ? ? 2 , ] 上具有单调性, T ? 2 ? ? ? ? ? , 6 2 ?2 6? 3 ?? ? ?? ? 知, 有对称中心 f ( x ) ? ? ? ,0?, 6 ?3 ? ? ?

又因为 f ? 由f? 故

?? ? ???f 2 ? ?

?? ? ? 2? ? 2 2 ? ? f ? ? ? ,T ? ? ? ? ? , ?2? ? 3 ? 3 3 2
3

? 2? 在一个周期里, ,
2

且知 f ? x ? 有对称轴: x ?

1?? 2 ? 7 ? ? ??? ?, 2 ? 2 3 ? 12


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7 ? T ? ? ? ,则 T ? ? 12 3 4
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sin x 7、已知函数 f ( x) ? 2 .下列命题: x ?1 ① 函数 f ( x ) 的图象关于原点对称; ②函数 f ( x ) 是周期函数;

? ③ 当 x ? 时,函数 f ( x ) 取最大值; 2
④ 函数 f ( x ) 的图象与函数 y ? 其中正确命题的序号是( (A) ①③ (B)②③ ) (C) ①④ (D)②④

1 的图象没有公共点, x

答案: (C) ①④
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sin x 8(2011 年海淀二模 14)已知函数 f ( x ) ? x
(1)判断下列三个命题的真假: ① f ( x ) 是偶函数;② f ( x) ? 1 ;

3 x ? ? 时, f ( x) 取得极小值. 其中真命题有___________; ③当 2
(2)满足 f (

n? n? ? ) ? f ( ? ) 的正整数 n 的最小值为___________. 6 6 6

答案:

①②

,

9

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9(2013 年海淀一模 14)已知函数 f ( x) ? sin

π x ,任取 t ? R ,定义集合: 2

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At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} .
设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的 最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt . 则(1)函数 h (t ) 的最大值是_____; (2)函数 h (t ) 的单调递增区间为________.

动手操作类: (克服畏惧心理,实际操作一下)

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1 1

圆心P : 由(0, 0) ? (1,1) ? (2, 0) ? (3,) -1 h( t ) : 由2 ? 1 ? 2 ? 1

所以h( t )的周期为2

h( t )减区间(2k , 2k ? 1), k ? Z 增区间为(2k ? 1, 2k ),k ? Z
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