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几道竞赛题的简解


几道竞赛题的简解

2009 年印度数学奥林匹克有这样一题: 设 a,b,c 为正实数且满足 a3 + b3 = c3 ,求证 a2 + b2-c2>6(c-a)(c-b). 文[1]将其加强为 a2 + b2-c2≥(2+ 3 4 ? 23 2 ) (c-a)(c-b), 等号成立当且仅当 a=b. 文[1]的证明涉及三个三项式的乘积的展开,从而较为复杂,本文通过换元,使证明过程大为简单,特介绍于下. 证明 令 x ?

a b , y ? ,则原命题等价于: c c

设 x , y 为正实数且满足 x3 + y3 =1 , 则 x2 + y2-1≥(2+ 3 4 ? 23 2 ) (1-x)(1-y), 等号成立当且仅当 x=y. 我们有 1-x=

x3 1? x3 y3 ,同理 1 - y , ? ? 1? x ? x2 1? x ? x2 1 ? y ? y2

x3 y 3 故(1-x)(1-y)= , (1 ? x ? x 2 )(1 ? y ? y 2 )
x2 + y2-1= x2 + y2-x3 - y3 = x2(1-x) + y2(1-y) = x2

x3 y3 2 + y 1? x ? x2 1 ? y ? y2
y x + ) 2 1 ? x ? x 1 ? y ? y2

= x2 y2(

y ? y 2 ? y 3 ? x ? x 2 ? x3 =x y , (1 ? x ? x 2 )(1 ? y ? y 2 )
2 2

所以只要证明(x+y)+(x2 +y2 )+ (x3 +y3 ) ≥(2+ 3 4 ? 23 2 ) xy. 又 1= x3 + y3≥2 1≥ 3 4 xy,

x3 y 3 ,

1 ?3 2, xy

故(x+y)+(x2 +y2)+ (x3 +y3) ≥2 xy +2xy+1 ≥

2 xy +2xy+1 xy

? 23 2 xy +2xy+ 3 4 xy
≥(2+ 3 4 ? 23 2 ) xy, 等号成立当且仅当 x=y. 2006 年莫斯科大学数学力学系入学考试数学试卷的一个压轴题是: 设 x 和 y 是任意实数,求表达式 2 x ? y ? 1 + x ? y + y 的最小值. 文[2]翻译了一种解法,以下给出一简解,我们多次利用不等式 a + b ? a ? b 来解.

y ?1 + x? y + y 2 y ?1 ? x? + x? y + y 2 3y ?1 + y ? 2 1 1 ? (3 y ? + 2 y ) 2 3 1 2 ? ( 2y ? + 2y ) 2 3 1 ? 3 1 1 1 y ?1 等号成立当且仅当 x=y+ =0,即 x= ,y=- 时. 3 3 3 2
解 左=2 x ? 非常凑巧,2007 年全国高中数学联赛一试第 2 题与上题类似,从而也有简解: 设实数 a 使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集合是( )

1 1 A. [? , ] 3 3


1 1 B. [ ? , ] 2 2

1 1 C. [? , ] 4 3

D. [?3,3]

|2x?a|+|3x?2a|

2a | 3 a 2a ≥2|x? |+2|x? | 2 3 a 2a ≥2|? + | 2 3 =1 |a| 3
=|2x?a|+3|x? ≥|a|2, 故 | a |?

1 ,选 A. 3


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