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2016届高三理科数学试题(50)


2016 届高三理科数学试题(50)
卷面满分:150 分 考试时间: 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A ? C R B ? ( A. (?3, 0) B. ( ?3, ?1] C. ( ?3, ?1) D. (?3,3) )

2.设 i 为虚数单位,复数 z ? (a 3 ? a) ? A.-1 B.1

a i,(a ? R) 为纯虚数,则 a 的值为( (1 ? a)
D.0 )



C. ?1

“a ? d ? b ? c” 3.若 a, b, c, d ? R ,则 是“a,b,c,d 依次成等差数列”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设 f ( x) ? cos x ? sin x 把 y ? f ( x) 的图象按向量 a ? (? ,0) ( ? >0)平移后,恰好得到函 数 y = f ? ( x )的图象,则 ? 的值可以为 ( A. ) D.

? 2
? ??

B.

3? 4

C. ?

3? 2

5.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草, 则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )

? ? D. ? ? 2 6.若函数 y ? ax ? 2ax ? 3 的值域为 ?0,??? ,则 a 的取值范围是(
A. B. C. A. ?3,??? 7.能够把椭圆 C : B. ?3,??? C. ?? ?,0? ? ?3,???

? ?

)

D. ?? ?,0? ? ?3,???

x2 y2 ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为椭圆 C 4 8
) D. f ( x ) ? e ? e
x ?x

的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是( A. f ( x) ? x ? x
3 2

B. f ( x) ? 1n

5? x C. f ( x) ? sin x ? cos x 5? x
) C.-2 D. -

8.函数 y ? cos x ? sin 2 x 的最小值为( A.-1 B. -

4 3 9

2 3 9

9.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,

1

则该几何体的体积为( A. 2 3 B.

)

3

C.

4 3 3

D.

2 3 3
2 1 正视图 2 1 侧视图

? 1? ( k ? 0) 10.设 e1 , e2 , e3 为单位向量,且 e3 ? e1 ? k e2 , , 2

? ? ?

?

若以向量 e1 , e2 为两边的三角形的面积为

? ?

1 ,则 k 的值为 ( 2

)

2

2 俯视图

A.

2 2

B.

3 2

C.

5 2

D.

7 2

A-B 11.在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2cos2 cosB-sin(A-B)sin B+cos(A 2 3 → → +C)=- , a=4 2,b=5,则向量BA在BC方向上的投影为( 5 )

A.

2 2

B.

?

2 2

3 C. 5

3 D. 5 ?

12. 设函数 f ( x) ? e x ( x3 ? 3x ? 3) ? ae x ? x,( x ? ?2) , 若不等式 f ( x ) ≤0 有解. 则实数 a 的 最小值为( A. ) B. 2 ?

2 ?1 e

2 e

C. 1 ? 2e

2

D. 1 ?

1 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 D 为 ?ABC 所在平面内一点, BC ? 3 CD, AD ? m AB? n AC, 则 n ? m =
? ? ? ? ?

.

(0, ) 14.设 ? ? ,若 cos( ? ? 2
2

?

?
6

)?

4 ? , 则 sin( 2? ? ) ? 5 12

.

15.函数 y ? 2 x ( x ? ?0,1?) 的图像绕 y 轴旋转所形成的几何体的体积为 16. 设函数 f ( x) ? x ? (
3

.

m ? 2) x 2 ? 2 x, ( x ? 0) ,若对于任意的 t ? [1, 2] , 函数 f ( x) 在区间 2

(t ,3) 上总不是单调函数,则 m 的取值范围是为
三、解答题:本大题共 70 分,其中 17 题为 10 分,18—22 题每题 12 分,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分)已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) 2 x m

2

?4m?2

在 (0,??) 上单调递增,函数

2

g ( x) ? 2 x ? k .
(1)求 m 的值; (2)当 x ? [1,2] 时,记 f ( x), g ( x) 的值域分别为 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取值 范围.

18.(本小题满分 12 分)已知 m ? (2 cos( x ? 且函数 f ( x) ? m ? n ?1

?
2

), cos x) , n ? (cos x,2 sin( x ?

?
2

)) ,

(1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在 (0, ? ) 内有两个零点 x1,x2 ,求 f ( x1 ? x2 ) 的值; (2)若把函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 求函数 g ( x) 在 [ ?

? ?

? 个单位,再向上平移 2 个单位,得函数 g ( x) 图像, 3

, ] 上的单调增区间. 2 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 S ? A B C D的 底 面 是 正 方 形 , SD ? 平 面

ABCD , SD ? 2a , AD ? 2a ,点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ? a(0 ? ? ? 2) .

(1)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE . ( 2 ) 设 二 面 角 C ? AE ? D 的 大 小 为 ? , 直 线 BE 与 平 面 ABC D 所 成 的 角 为 ? , 若

tan? ? tan? ? 1 ,求 ? 的值.

3

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, 观察程序框图, 若 k ? 5, k ? 10 时, 分别有 S ?

5 10 和S ? 11 21 . (1)试求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)令 bn ? 3n.an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

21.( 本小题满分 12 分 ) 已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) , 焦点在 x 轴上 . 若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m( k ? 0) 相交于不同的两点 M 、N .当 | AM |?| AN | 时,求 m 的取值 范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0.
2

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且在 ?0, e? 的最大值为 1,求 a 的值.

4

参考答案
一、选择题 BABDC BBBCB 二、填空题 13、 AD

5 3

14、

17 2 50

15、 ?

16、 ( ?

37 , ?9) 3

三、解答题 17 解: (1)由 f ( x) ? (m ?1)2 xm
2

?4 m?2

为幂函数,且在 (0, ??) 上递增

?(m ? 1) 2 ? 1 ? 则? 2 ? ? m ? 4m ? 2 ? 0

得: m ? 0 .................................5 分

2 (2)A: f ( x) ? x , 由 x ? [1, 2] ,得 f ( x) ?[1, 4] B: g ( x) ?[2 ? k , 4 ? k ]

而 A ? B ? A ,有 B ? A ,所以 ?

?2 ? k ? 1 ?4 ? k ? 4

, 0 ? k ? 1 ..................10 分

18.解: (1)

f ( x) ? 2 cos( x ? ) cos x ? cos x 2sin( x ? ) ? 1 ? ?2sin x cos x ? 2 cos x cos x ? 1 2 2 ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 4

?

?

?

...2 分

? ? ? ? x1 ? x1 ? ? ? 2 ? ? 4 2 而 f ( x) ? 1 ? 0 ,得: cos(2 x ? ) ? ? ,而 x ? (0, ? ) ,得: ? 或? 4 2 ?x ? ? ?x ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? 4

?

3? 3? ? ) ? 2 cos( ? ) ? 2 ? 3 ..................6 分 4 2 4 ? ? 11? ) ? 2 -- 上 移 (2) f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 -- 左 移 -- f ( x) ? 2 cos(2 x ? 3 4 12 11? ) ? 4 ,则 g ( x) 的单调递增区间: 2-- f ( x) ? 2 cos(2 x ? 12 ? 11? ? 23? 11? ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , ? ? k? ? x ? ? ? k? ,..................10 分 2 12 2 24 24
所以 f ( x1 ? x2 ) ? f (

? 11? ? ? , ] ,得: f ( x) 在 x ? [? , ? ] 和 x ? [ , ] 上递增..................12 分 2 2 2 24 24 2 19 解: ( 1) 由 ABCD 为正方形, 则 AC ? BD 。 由 SD ? 面 ABCD , 则有 AC ? SD , 则 AC ?
而 x ? [?

? ?

5

面 SBD 。而 BE ? 面 SBD ,有 AC ? BE ...............5 分 (2)过 D 作 DF ? AE 于 F ,连接 CF ,由 CD ? AD ,SD ?CD ,得 CD ? 面 SAD ,则

?CFD ? ? , DF ?

? a 2a ? 2 ? 2a

?

2? a

?2 ? 2

, tan ? ?

2a 2?

由 SD ? 面 ABCD ,得: ?EBD ? ? , tan ? ? 所以 tan ? tan ? ?

?a
2a

?

?2 ? 2 ?
2


a

?2 ? 2 ? ?

?2 ? 2 ? ? 1, ? ? 2 ...............12 分 ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 5 ( ? ? ??? ? ? )? ( ? )? d a1 a1 ? d a1 ? 4d a1 ? 5d d a1 a1 ? 5d 11

20 解: (1) Sk ?5 ?

Sk ?10 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 10 ( ? ? ??? ? ? )? ( ? )? d a1 a1 ? d a1 ? 9d a1 ? 10d d a1 a1 ? 10d 21

解得: ?

?a1 ? 1 ?a1 ? ?1 或? (舍去) ,则 an ? 1 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 ..................6 分 ?d ? 2 ?d ? ?2

(2) Tn ? 3?1 ? 32 ? 3 ???? ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n (2n ?1)
2 3 3Tn ? 3 ? 1 ? 3 ? ???? 3 ? n ? 1 3 n(? 2 ? 3n) 3 n? ( 2

1)
3(3n ? 1) 2

则 2Tn ? ?3 ? 2(3 ? 3 ? ??? ? 3 ) ? ??? ? 3
2 3 n

n ?1

(2n ? 1) ? 3n ?1 (2n ? 1) ?

Tn ? 3 ? (n ?1)3n?1

...............12 分

21、解: (1) b ? 1 ,右焦点坐标 (c, 0) ,则 3 ?

| c ? 0 ?2 2 | ,得 c ? 2 或 ?5 2 (舍去) 2

则 a ? 1 ? 2 ? 3 ,椭圆方程: (2)

x2 ? y 2 ? 1...............5 分 3

? y ? kx ? m ? 2 ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?3
y1 ? y2 ?

x1 ? x2 ?

?6km 3m2 ? 3 , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

?6k 2 m 2m ? 2m ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 由 ? ? 0 ,得 3k 2 ? m2 ? 1 ...............7 分
6

由 | AM |?| AN | , 则 M , N 中 点 E 有 AE ? MN , k AE

m ?1 2 m ? 3k 2 ? 1 , ? 3k ? 1 ? ?3km ?3km 3k 2 ? 1

k AE kMN ?

m ? 3k 2 ? 1 1 k ? ?1 ? 2m ? 3k 2 ? 1 >1,得 m ? , 2 ?3km
2

则 2m ? 1 ? m ? 1 ,得: 0 ? m ? 2 ...............10 分 综上可得

1 ? m ? 2 ,即为所求...............12 分 2
2

22 、解: ( 1) f ( x) ? mx ? 2 x ? 5 x, f ?( x) ? 得x ?

1 (4 x ? 1)( x ? 1) ? 4x ? 5 ? ,令 f ?( x ) ? 0 , x x

1 或 1,则 4 x

1 (0, ) 4
+ 增

1 4
0 极大值

1 ( ,1) 4


1
0 极小值

(1, ??)
+ 增

f ?( x )
f ( x)
1 4

所以 f ( x ) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 [ ,1] 上单调递减...............4 分 (2) a ?

1 4

1 或 a ? ?2 ...............12 分 e?2

7


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