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2013年高考分类题库考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性


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考点 5 函数的单调性与最值、 函数的奇偶性与周期 性
一、选择题 1.(2013·福建高考文科·T5)函数 f ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? 的图像大致是 ( )

【解题指南】f(x)的定义域为 R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算.
2 【解析】选 A. f ? ? x ? ? ln(? ? x ? ? 1) ? ln( x 2 ? 1) ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称,

又 x∈(0,+∞)时, f ? x ? 是增函数.且过点(0,0). 2.(2013·辽宁高考理科·T11) 【备注: (2013·辽宁高考文科·T12)与此题 干相同,选项顺序不同】 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 , g ( x) ? ?x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8, 设 H1 ( x) ? max ? f ( x), g( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? ( max ? p, q? 表示
p, q

中的较大值,

min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值)记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B , 则
A? B ? (


B. ?16 a 2 ? 2a ? 16 D.

A. C.

16 a ? 2a ? 16
2

【解题指南】 搞清楚 H1 ( x) ? max ? f ( x), g( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? 的确切含义。数 形结合解决问题。
-1-

【解析】选 B.
? f ( x), f ( x) ? g ( x), H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). ? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

由 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? ?x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8, 解得 x1 ? a ? 2, x2 ? a ? 2.
2 2 而函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2)x ? a2 , g ( x )? ? x 的图像的对称轴恰好分别 ? 2(a ? 2)x ? a ? 8,

为 x ? a ? 2, x ? a ? 2. 可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图 1 所示, 结合 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ?
? f ( x), f ( x) ? g ( x), ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). 可知
H1 ( x), H2 ( x) 的图像分别如图 2,图 3 所示(图中实线部分)

f ( x)

g ( x)

x ? a?2 x ? a?2
图1

可见, A ? H1 ( x)min ? f (a ? 2) ? ?4a ? 4 , B ? H 2 ( x)max ? g (a ? 2) ? 12 ? 4a. 从而 A ? B ? ?16. 3. (2013·湖南高考文科·T4)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f
-2-

(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

【解题指南】结合函数的奇偶性定义 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 即可。 【解析】选 B, 因为 f (?1) ? ? f (1), g (?1) ? g (1) ,代入条件等式再相加,得 g (1) ? 3 4.(2013·北京高考文科·T3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单 调递减的是( A.y=
1 x

) B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg∣ x∣

【解析】选 C. 根据在区间(0,+∞)上单调递减排除 D,根据奇偶性排除 A,B. 5.(2013·广东高考理科·T2) 定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1, y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1

【解题指南】四个函数的定义域 R 关于原点对称,因此按照定义逐一验证奇偶 性即可. 【解析】选 C. y ? x3 , y ? 2sin x 是奇函数, y ? x2 ? 1 是偶函数, y ? 2x 是非奇非偶函 数. 6. (2013·湖北高考文科·T8)x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函 数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为( A.奇函数 ) C.增函数 D. 周期函数

B.偶函数

【解题指南】画出图象求解. 【解析】选 D. 由图象可知选 D.

7. (2013·湖北高考文科·T10)已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实
-3-

数 a 的取值范围是( A. (??, 0)

) B. (0, 1 )
2

C. (0, 1)

D. (0, ? ?)

【解题指南】利用导数求极值,转化为两个函数交点的问题. 【解析】选 B.令 f ?( x) =lnx-2ax+1=0,则 lnx=2ax-1 有两解,即函数 y=lnx 与 y=2ax-1 有两个交点,直线是曲线 y=lnx 的割线;y=2ax-1 恒过点 A(0,-1),设过 A(0,-1)点的直 线与 y=lnx 的切点为 M 错误!未找到引用源。,则 k=
1 ,y-lnx0=错误!未找到引 x0
1 2

用源。,-1-lnx0=错误!未找到引用源。,所以 x0=1,k=1,所以 0<2a<1,0<a< , 8.(2013·山东高考文科·T3)与(2013·山东高考理科·T3)相同 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ A.-2 B.0 C.1
1 ,则 f(-1)= ( x

)

D.2
1 x

【解题指南】 本题可利用函数为奇函数 f(-1)=- f(1), 再利用当 x>0 时, f(x) =x2+ 即可求得结果.

【解析】选 A. 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=- f(1),又因为当 x>0 时, f(x) =x2+ ,所以 f ?1? ? 12 ? =2,f(-1)=- f(1)=-2. 9. (2013·天津高考文科·T7)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区 间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足 ( A. )
[1, 2]

1 x

1 1

f (log ? f (log ) 2 f (1), 2 a ) 1 a ?
2

则 a 的取值范围是

B.

? 1? ? 0, ? ? 2?

C.

?1 ? ? 2 , 2? ? ?

D.

(0, 2]

【解题指南】 根据对数的运算性质和函数的奇偶性, 将条件 f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1)
2

化为 f (log2 a) ? f (1) ,再结合单调性转化为 log 2 a

? 1 求解.

【 解 析 】 选 C. 根 据 对 数 的 运 算 性 质 和 函 数 的 奇 偶 性 可 知
f (log 1 a) ? f ? ? log 2 a ? ? f ? log 2 a ? ,因此 f (log2 a ) ? f (log1 a )? 2 f (1) 可化为 f (log2 a) ? f (1)
2 2

,又因

-4-

为函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增,故 log 2 a
1 ? a ? 2. 2

? 1 ,解得

10. ( 2013 · 重 庆 高 考 文 科 · T 9 ) 已 知 函 数 f ( x)? a3x ? b sin x ? 4 (a ,? b , R)
f (lg(log2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?

A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

【解题指南】根据函数的奇偶性求解. 【解析】选 C.因为 lg(log2 10) ? 1g ? ?
? 1 ? ? ? ? ? lg(lg 2) ? lg 2 ?

f (lg(log2 10)) ? f (? lg(lg 2)) ? a(? lg(lg 2))3 ? b sin(? lg(lg 2)) ? 4 ? 5

所以 a(? lg(lg 2))3 ? b sin(? lg(lg 2)) ? 1 所以 f (lg(lg2)) ? a(lg(lg2))3 ? b sin(lg(lg2)) ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3 . 二、填空题 11. (2013·大纲版全国卷高考文科·T13)
f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = x ? 2 ,则 f (?1) ?

.

【解题指南】根据函数周期为 T ? 2 ,得 f ( x) ? f ( x ? 2) ,从而将 f (?1) 的函数值转 化为求 f (1) 的值. 【解析】因为 T ? 2 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ,又 f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ,因为 x ? [1,3) 时,
f ( x) ? x ? 2 ,所以 f (?1) ? 1 ? 2 ? ?1 .

【答案】 ? 1
?log 1 x, x ? 1 12.(2013·北京高考文科·T13)函数 f(x)= ? 的值域为_________. ? 2 x ? ?2 , x ? 1

【解题指南】分别求出每段的值域,再取并集。 【解析】当 x ? 1 时, log 1 x ? 0 ;当 x ? 1 时, 2 x ? 2 .因此,值域为 (??, 2) 。
2

-5-

【答案】 (??, 2) 13. (2013· 四川高考理科· T14) 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数, 当 x ≥ 0 时,
f ( x) ? x2 ? 4x ,那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是________



【解析】依据已知条件求出 y=f(x),x∈R 的解析式,再借助 y=f(x)的图象求解.设 x<0,则-x>0. 当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, 所以 f(-x)=(-x)2-4(-x). 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 得 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=x2+4x(x<0), 故错误!未找到引用源。 f ( x) ? ? ?
? x 2 ? 4 x, x ? 0
2 ? ? x ? 4 x, x ? 0

由 f(x)=5 得错误!未找到引用源。 ? 得 x=5 或 x=-5.

? x2 ? 4x ? 5 ?x ? 0

? x2 ? 4x ? 5 , 或? ?x ? 0

观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. 所以由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,所以-7<x<3. 故不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 【答案】{x|-7<x<3} 14.(2013·上海高考理科·T12)设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函

-6-

数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 为________

a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ?1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围 x

a2 【解析】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ? a ? 1 x

即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ? . 【答案】 a ? ? 三、解答题 15.(2013·江西高考理科·T21)已知函数 f (x) ? a(1 ? 2 | x ? |) ,a 为常数且 a> 0. (1)证明:函数 f(x)的图像关于直线 x ? 对称; (2)若 x0 满足 f(f(x0) )= x0,但 f(x0)≠x0,则 x0 称为函数 f(x)的二阶周 期点,如果 f(x)有两个二阶周期点 x1,x2,试确定 a 的取值范围; (3)对于(2)中的 x1,x2,和 a,设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A(x1, f(f(x1) ) ) ,B(x2,f(f(x2) ) ) ,C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨 论 S(a)的单调性. 【解题指南】 ( 1 )要证函数 f ( x )的图像关于直线 x ? 对称,只需证明
1 1 1 1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) 即可.(2)分 0 ? a ? 、 a ? 、 a ? 三种情况求 f (f (x)) 的解析式, 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
8 7

8 7

根据函数 f(x)的二阶周期点的定义求解; (3)求 x3,由(2)求出的 x1,x2 可 得 S(a) ,借助导数研究函数的单调性. 【解析】 (1)因为 f ( ? x) ? a(1 ? 2 | x |) , f ( ? x) ? a(1 ? 2 | x |) ,即 f ( ? x) ? f ( ? x) . 所以函数 f (x) 的图像关于直线 x ? 对称.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

-7-

1 ? 2 4a x, x ? , ? 1 ? 2 (2)当 0 ? a ? 时,有 f (f (x)) ? ? 2 ?4a 2 (1 ? x), x ? 1 . ? ? 2

所以 f (f (x)) ? x 只有一个解 x=0,又 f (0) ? 0, 故 0 不是二阶周期点.
1 ? x, x ? , ? 1 ? 2 当 a ? 时,有 f (f (x)) ? ? 2 ?1 ? x, x ? 1 . ? ? 2
1 1? 1? ? 所以 f (f (x)) ? x 有解集 ? ?x | x ? ? ,又当 x ? 时,f(x)=x,故 ?x | x ? ? 中的所有

?

2?

2

?

2?

点都不是二阶周期点.
1 ? 2 ?4a x, x ? 4a , ? ?2a ? 4a 2 x, 1 ? x ? 1 , ? 1 4a 2 当 a ? 时,有 f (f (x)) ? ? 2 ?2a(1 ? 2a) ? 4a 2 x, 1 ? x ? 4a ? 1 , ? 2 4a ? 4a ? 1 ?4a 2 ? 4a 2 x, x ? . 4a ?
2a 2a 4a 2 , , 所以 f (f (x)) ? x 有四个解 0, ,又 1 ? 4a 2 1 ? 2a 1 ? 4a 2
2a 2a )? f (0) ? 0, f ( , 1 ? 2a 1 ? 2a f( 2a 2a 4a 2 4a 2 2a 4a 2 ) ? , f ( ) ? , ,故只有 是 f (x) 的二阶周期点. 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 2

综上所述,所求 a 的范围为 a ? .
1 2a 4a 2 , x2 ? (3) 由 (2) 得 x1 ? , 因为 x3 为函数 f (f (x)) 的最大值点, 所以 x 3 ? 2 2 4a 1 ? 4a 1 ? 4a

或 x3 ?

4a ? 1 . 4a 1 2a ? 1 时, S(a) ? ,因为 S?(a) ? ? 4a 4(1 ? 4a 2 )
-8-

当 x3 ?

2(a ?

1? 2 1? 2 )(a ? ) 2 2 , (1 ? 4a 2 ) 2

所以当 a ? ( ,

1 1? 2 1? 2 ) 时, S(a) 单调递增,当 a ? ( , ??) 时, S(a) 单调递减; 2 2 2

4a ? 1 1 8a 2 ? 6a ? 1 12a 2 ? 4a ? 3 当 x3 ? 时,S(a) ? ,求导得:S?(a) ? ,因为 a ? ,从而有 2 2 2 2 4a 4(1 ? 4a ) 2(1 ? 4a )

S?(a) ?

1 12a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,所以当 a ? ( , ??) 时, S(a) 单调递增. 2 2 2 2(1 ? 4a )

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-9-


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