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云南玉溪一中2014届高三第一次月考理科数学


玉溪一中高 2014 届高三第一次月考数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? { y | y ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) [0, ??) (2)若复数 (B) ( ??, 2] (C) [0, 2) ? (2, ??) (D) ?

a?i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 1 (A) 2 (B) (C) ? 2 5 1 (3)若 tan ? ? 2 ,则 的值等于 sin 2? 5 5 4 4 (A) ? (B) (C) ? (D) 4 4 5 5
2

(D) ?

2 5

(4)若曲线 f ( x) ? a cos x 与曲线 g ( x) ? x ? bx ? 1 在交点 (0, m) 处有公切线, 则 a ? b ? (A) ?1 (B) 0 (5)下列命题中,真命题的个数有 ① ?x ? R, x 2 ? x ? (C) 1 ② ?x ? 0, ln x ? (D) 2

1 ?0; 4

1 ? 2; ln x

③“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充要条件;

④ y ? 2 x ? 2? x 是奇函数.

(A)1 个 (B)2 个(C)3 个(D)4 个 (6)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的全面积是 (A) 4 ? 2 6 (B) 4 ? 6 (C) 4 ? 2 2 (D) 4 ? 2
正视图侧视图

(7)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 a 2 b2
俯视图

F1、F2,A 是双曲线渐近线上的一点, AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到
直线 AF1 的距离为

1 OF1 ,则渐近线的斜率为 3
(D)

(A) 5 或 ? 5 (B) 2 或 ? 2 (C)1 或 ?1

2 2 或? 2 2

(8)在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 边的中点,则 AD ? BC ?

???? ??? ?

-1-

(A)4

(B)3

(C)2

(D)1

(9)已知函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? 0, ? ?2 ?
?x

? 1, x ? 0.

若关于 x 的方程 f ? x ? ? 2 x ? k ? 0 有且只有两个不同

(A) ? ?1, 2?

的实根,则实数 k 的取值范围为

(B) ? ??, 1? ? ? 2, ? ? ? (C) ? 0, 1?

(D) ?1, ?? ?

(10) (4 x ? 2? x ) 6 的展开式中的常数项是 (A) 1 (B) 6 (C) 15 (D) 20 (11)数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且 bn ? (A)20(B)512(C)1013(D)1024 (12) 设函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), 且当 x ? 0 时,f ( x) ? ( ) x , 又函数 g ( x) ? x sin ? x , 则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ?

an ?1 ,若 b10 ? b11 ? 2 ,则 a21 ? an
1 4

? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ? ?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上. (13)抛物线 y ? x 与直线 x ? y ? 2 ? 0 所围成的图形的面积为.
2

(14)从某学习小组 10 名同学中选出 3 人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是. (15)已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线与 y 轴的交点为 M , N 为抛物线上的一点,且
2

满足 NF ? ? MN ,则 ? 的取值范围是. (16)已 知 三 棱 锥 D ? ABC 的 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , AB ? 4, BC ? 3, AB ? BC , AD ? 12, 且 AD ? 平面 ABC ,则三棱锥 A ? BOD 的 体积等于. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. a c ? (17) (12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 , 3 cos A sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围.

(18) (12 分)某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员.三个月后, 统计部门在一个小区随机抽取了 100 户家庭, 分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均 用水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)

-2-

频率/组距
0.160
0.200

频率/组距

0.120 0.090 0.070 0.030 0.015

0.120 0.105

0.030 0.015

O

2

4

6

8

10

12

14

16用水量(吨)

O

2

4

6

8

10

12

14

用水量(吨)

动员前

动员后

(Ⅰ) 已知该小区共有居民 10000 户, 在政府进行节水动员前平均每月用水量是 8.96 ? 104 吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨; (Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用水 量在 [12, 16) 范围内的家庭中选出 5 户作为采访对象, 其中在 [14, 16) 内的抽到 X 户, X 的 求 分布列和期望.

(19) (12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 是 A1B 的中点,点 N 是 B1C 的中点, 连接 MN. (Ⅰ)证明:MN//平面 ABC; (Ⅱ)若 AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, 求二面角 A—A1C—B 的余弦值的大小. C M A M B M N M C1 M A1 M B1 M

M

( 20 )( 12 分 ) 已 知 F (c , 0) 是 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 右 焦 点 , 圆 a 2 b2

F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a 2 与 x 轴 交 于 E、D 两 点 , B 是 椭 圆 C 与 圆 F 的 一 个 交 点 , 且
BD ? 3 BE .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,且 △ ABD 的面积为 圆 C 的方程. (21)(12 分)设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ). (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0,5) 时, f ( x) ?

24 6 c ,求椭 13

9x 成立. x ?1

-3-

选考题(本小题满分 10 分)
请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 、 (22)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 ? y ? 3sin ?

O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,得曲线 C2 的极坐标方程为
. ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 ( ? ? 0 ) (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? x ? 2?t ? (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)过曲线 C1 与 y 轴负半轴的交点,求与直线 l 平行 3 ?y ? ? 2 ? ? t ?
且与曲线 C2 相切的直线方程.

(23)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? | x ? 2 | (Ⅰ)解不等式: x f ( x) ? 3 ? 0 ; (Ⅱ)对任意 x ? ? ?3, 3? ,不等式 f ( x ) ? m ? x 成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

玉溪一中高 2014 届高三第一次月考数学试卷参考答案(理科)
一、选择题: 1、A2、A3、B4、C 5、C6、A 7、D8、A 9、A10、C 11、D 二.填空题: 13. 三.解答题: (17) (12 分)解: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得,
a 3 cos A ? c a ? sin C sin A

12、C

2 9 1 14、 15、 [ ,1] 16、12 2 2 15

从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立)
?
3

?
3

.........5 分 ........

3 1 ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 4 4

∴( (b ? c) 2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 ,

∴ 6 ? b ? c ? 12 ,从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] ...... .....12 分 法二:由正弦定理得:
b c 6 ? ? ? 4 3 .∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C , sin B sin C sin ? 3

2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C ) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? ?? 3 1 ? ? 12sin ? B ? ? . ? 4 3 ? sin B ? cos B ? ? 12 ? ?2 ? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 6? 2 ? ? ? ? ?



?
6

? B?

?
6

?

?? 5? ? ,∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 , 6? 6 ?
?
3

即 6 ? b ? c ? 12(当且仅当 B ?

时, 等号成立) 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] .. 分 . 12 (18)

(12 分)解: (Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为

(1? 0.015 ? 3 ? 0.030 ? 5 ? 0.105 ? 7 ? 0.200 ? 9 ? 0.120 ? 11? 0.030) ? 2 ? 6.88 (吨)
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水

8.96 ?104 ? 6.88 ?104 ? 2.08 ?104 (吨)………………………………………6 分
(Ⅱ) 由动员前的直方图计算得月平均用水量在 [12,14) 范围内的家庭有 6 户, [14,16) 范围 在 内的有 3 户,因此 X 的可能取值有 0,1, 2,3 ,
5 C6 6 1 ? ? , 5 C9 126 21 1 C3C64 45 5 ? ? , 5 C9 126 14

P( X ? 0) ?

P( X ? 1) ?

-5-

P( X ? 2) ?

3 C32C6 C 3C 2 15 60 10 5 , ? ? , P( X ? 3) ? 3 5 6 ? ? 5 C9 126 21 C9 126 42

所以 X 的分布列为

1 2 0 3 1 5 10 5 P 21 14 21 42 1 5 10 5 5 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ……………………………12 分 21 14 21 42 3
A M B M C M N M C1 M A1 M B1 M

X

(19)(12 分) (Ⅰ)证明:连接 AB1, ∵四边形 A1ABB1 是矩形,点 M 是 A1B 的中点, ∴点 M 是 AB1 的中点;∵点 N 是 B1C 的中点, ∴MN//AC,∵MN ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, ∴MN//平面 ABC.…………………6 分 (Ⅱ) : 解 (方法一)如图,作 AD ? A1C ,交 A1C 于点 D, 由条件可知 D 是 A1C 中点, 连接 BD,∵AB=1,AC=AA1= 3 ,BC=2, ∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC, ∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面 ACC1 A1 C M

M

A M B M D MN M

M

A1 M B1 M C1 M

∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面 ABD,∴ BD ? A1C ∴ ?ADB 为二面角 A—A1C—B 的平面角,在

Rt ?AA1C中,AD ?

AA1 ? AC 3? 3 6 , ? BC ? BA1 ? 2 , A1C ? 6 , ? ? A1C 2 6

在等腰 ?CBA1 中, D 为 A1C 中点, BD ?

10 , ∴ ?ABD 中, ?BAD ? 90? , 2

Rt?ABD 中, tan ?ADB ?

AB 6 , ? AD 3 15 …………12 分 5
A M A1 M

∴二面角 A— A1C —B 的余弦值是

(方法二) ? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴ AB ? AA1,AC ? AA1 ,? AB ? 1 , AC ?
-6-

M B M

z
B1 M M

3,

y M

C Mx

N M

C1 M

BC ? 2 , ∴ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ AB ? AC
如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0,1,0), C( 3 ,0,0), A1(0,0, 3 ), 如图,可取 a ? AB ? (0,1,0) 为平面 AA1C 的法向量, 设平面 A1 BC 的法向量为 b ? (m, l , n) ,

?

( ? 0) 则 BC ? b ? 0, A1C ? b ? 0, 又 BC ? 3, 1, , A1C ? ( 3, 0, ? 3) ,
则由 BC ?b ? 0,

??? ? ?

???? ?

??? ?

????

??? ? ??

A1C ? b ? 0,



??l ? 3m ? 0 ? ? ?? ? l ? 3m, n ? m ,不妨取 m=1,则 b ? (1, 3, , 1) ? 3m ? 3n ? 0 ?
可 求 得

? ? 15 cos ? a, b ?? 5

y


B A E O F D x

15 ………… ? 二面角A ? A1C ? BD的余弦值为 5
…12 分 (20)解: (Ⅰ)由题意, B (0 , b) , E (c ? a , 0) ,

D(c ? a , 0) ,
∵ BD ? 3 BE , ?EBD ? 90? ,得 BE ?
2

1 ED ? a , 2

由 BE ? (c ? a ) 2 ? b 2 ? a 2 , 得 a ? 2c , 即椭圆 C 的离心率 e ? (Ⅱ) C 的离心率 e ?

1 ………(4 分) 2

x2 y2 1 ,令 a ? 2c , b ? 3c ,则 C : 2 ? 2 ? 1 4c 3c 2
3 x ? 3c 3

直线 l ? BF ,设 l : y ?

? x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 24 5 3 16 3 ? 4c 3c 由? 得 A(? c, c) , AB ? c 13 13 13 ? y ? 3 x ? 3c ? 3 ?
-7-

又点 D (3c, 0) 到直线 l 的距离 d ?

3c ? 0 ? 3c 2

? 3c ,

?ABD 的面积 S ?

1 16 3 24 3 24 6 1 , 解得 c ? 2 c ? 3c ? c? AB ? d ? ? 2 13 13 13 2

故椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ………(12 分) 8 6

(21) (12 分) (Ⅰ)f ( x) 的定义域为 (0 , ? ?) ,f ?( x) ? 解:

1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 , ? ax ? (a ? 1) ? x x

(1)当 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 或 x ?

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 1 ? x ? a a 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0 , 1) , ( , ? ?) 上单调递增,在 (1 , ) 上单调递减; a a

(2)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增;

1 1 ; f ?( x) ? 0 解得 ? x ? 1 a a 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0 , ) , (1 , ? ?) 上单调递增,在 ( , 1) 上单调递减. ……(6 分) a a 2x (Ⅱ)证明:不等式等价于 ln x ? 2 x ? ? x ?0 x ?1 x ?1 因为 x ? 1 ,所以 x ? x ?1 ? , 2 2x 2x x ?1 因此 ln x ? 2 x ? ? x ? ln x ? 2 x ? ? x ?1 x ?1 2
(3)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 或 0 ? x ?

2x x ?1 令 g ( x) ? ln x ? 2 x ? ,则 g ?( x) ? ? x ?1 2
令 h( x ) ? ?

3 5 ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 1 2 2 x( x ? 1) 2

3 3 5 9 5 x ? 2 x 2 ? x ? 1 得:当 x ? 1 时 h?( x) ? ? x 2 ? 4 x ? ? 0 , 2 2 2 2

所以 h( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减,从而 h( x) ? h(1) ? 0 . 即 g ?( x) ? 0 ,

? g ( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减,得: g ( x) ? g (1) ? 0 , ? 当 x ? 1 时, f ( x) ?

1 2 2x x ? ? x .. ……(12 分) 2 x ?1

(22)解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1; 16 9
-8-

……………… 2 分

由 ? ? 6sin ? ? 8cos ? ? 0 得 ? ? 6 ? sin ? ? 8 ? cos ? ? 0 ,
2

∴曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 x ? 6 y ? 0
2 2 2

……………… 4 分

(或:曲线 C2 的直角坐标方程为: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ) (Ⅱ)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 与 y 轴负半轴的交点坐标为 (0, ? 3) , 16 9

? x ? 2?t ? 0 ? 2?t 3 ? ? 又直线 l 的参数方程为: ? ,∴ ? ,得 ? ? , 3 3 4 y ? ? ??t ?3 ? ? ? ? t ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 2?t ? 即直线 l 的参数方程为: ? 3 3 ?y ? ? 2 ? 4 t ?
得直线 l 的普通方程为: 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 , …………… 6 分 ……… 7 分

设与直线 l 平行且与曲线 C2 相切的直线方程为: 3 x ? 4 y ? k ? 0 ∵曲线 C2 是圆心为 (4, ? 3) ,半径为 5 的圆,



12 ? 12 ? k 5

? 5 ,解得 k ? 1 或 k ? ?49

……………… 9 分 …………… 10 分

故所求切线方程为: 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 49 ? 0 (23) 解: (Ⅰ)不等式为 x | x ? 2 | ?3 ? 0

当 x ? 2 时,不等式为 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? 2 ? 0 ,此不等式恒成立,故
2

x?2,

…………… 2 分

当 x ? 2 时,不等式为 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 3 ,故 ?1 ? x ? 2 , ∴原不等式的解集为:

{ x x ? ?1}

…………… 4 分

(Ⅱ)不等式 f ( x) ? m ? x 为 | x ? 2 | ? x ? m 由于

-9-

? ?( x ? 2) ? x ? y ? x ? 2 ? x ? ??( x ? 2) ? x ? ( x ? 2) ? x ?

( x ? 0) (0 ? x ? 2) ( x ? 2)

( x ? 0) ? ?2 x ? 2 ? ?? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 ( x ? 2) ?

…………… 7 分

作出函数 y ? | x ? 2 | ? x 的图象如右, 当 ?3 ? x ? 3 时, 2 ? x ? 2 ? x ? 8 , 所以对任意 x ? ? ?3, 3? ,不等式 f ( x ) ? m ? x 成立,则 m ? 8 . …… 10 分

- 10 -


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