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2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:2.2函数与方程及函数的应用(湖北专供-数学文)


第二讲 函数与方程及函数的应用

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【考情快报】 (1)主要考查函数的零点,常以分式、绝对值不等式、对数 式、三角函数为载体;考查确定零点的个数、存在区间及应用 零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际 生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命

题.
(2)函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查,以基 础知识为主,而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现.

属中、高档题.

【核心自查】
一、主干构建

二、概念理解
1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系 对于函数f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x) 的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.

2.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的一条
f(a)·f(b)<0 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内 曲线,并且有______________,

有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0
的根. 提醒:f(a)·f(b)<0是图象连续不间断的函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点的充分不必要条件.

三、重要公式
几种常见的函数模型

(1)一次函数模型:y=ax+b(a≠0).
(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0). (3)指数函数模型:y=a·bx+c(a>0,b>0且b≠1). (4)对数函数模型:y=blogax+c(b>0,a>0且a≠1). g(x),x∈A1, (5)分段函数模型:f(x)= h(x),x∈A2. (A1∩A2=?).

b ,x∈(0,+∞)(a>0,b>0)的函数模型. x 提醒:形如y=ax+ b ,x∈(0,+≦)(a>0,b>0)的函数模型,一般 x

(6)形如y=ax+

是利用基本不等式求函数的最值.

热点考向 一 函数零点的确定与应用

【典例】1.(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小
正周期为2π 的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数.当x∈[0,π ]

时,0<f(x)<1;当x∈(0,π )且x≠

? ? 时,(x- )f′(x)> 2 2

0,则函数y=f(x)-sin x在[-2π ,2π ]上的零点个数为( (A)2 (B)4 (C)5 (D)8

)

2.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4

时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=_______.
【解题指导】1.先根据导数确定函数y=f(x)在区间[0,π]上的

草图,再根据偶函数确定区间[-π,0)上的图象,最后画出函数
y=f(x)在区间[-2π,2π]上的图象,在同一坐标系下画出 y=sin x在区间[-2π,2π]上的图象,根据曲线的交点判断零 点的个数.

2.先由条件判断出函数f(x)在(0,+≦)上的单调性,然后利用 函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间,与 (n,n+1)对 照,从而求出n. 【解析】1.选B.由当x∈(0,π)且x≠
? ? 时,(x- )· 2 2

? f′(x)>0,知x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 2 ? x∈( ,π)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;又x∈[0,π]时, 2

0<f(x)<1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,
在同一坐标系中作出y=sin x和y=f(x)的草图如下,由图知 y=f(x)-sin x在[-2π,2π]上的零点个数为4个.

2.构造两个函数y=logax和y=x-b,因为y=logax(2<a<3),所 以其在(0,+≦)上为增函数,又y=x-b在(0,+≦)上也为增函 数,所以f(x)=logax+x-b(2<a<3)在(0,+≦)上是增函数. f(2)=loga2+2-b<logaa+2-b=3-b<0, f(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0, ?x0∈(2,3),又x0∈(n,n+1),n∈N*,所以n=2. 答案:2

【拓展提升】 1.确定函数零点存在区间及个数的“两个”方法 (1)利用零点存在的判定定理. (2)利用数形结合法.当方程两端所对应的函数类型不同或对应 的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时, 常用数形结合法求解.

2.应用函数零点的情况求参数值或取值范围的“三个”方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不 等式求解.

热点考向 二 函数与方程的应用
【典例】1.(2012·广州模拟)已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R), 且f(4)=0,若关于x的方程f(x)=k有三个不同实根,则实数k的取 值范围是( (A)(0,2) ) (B)[2,4] (C)(0,4) (D)[0,4]

2.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2. 若 ? x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是______. 【解题指导】1.先根据f(4)=0求出m的值,然后画出函数f(x)的 图象,观察图象可求k的取值范围. 2.由于g(x)的符号容易确定,先从g(x)的符号入手.对于f(x), m≠0时为二次函数,两个零点2m,-m-3,利用其图象就可以列

出式子来.

【解析】1.选C.由f(4)=0得m=4, (x-2)2-4,x≥4, ?f(x)=x|4-x|=x|x-4|= -(x-2)2+4,x<4,
作出其图象如图所示:

由图象可知k的取值范围是(0,4).

2.当x<1时,g(x)<0;当x≥1时,g(x)≥0,
?m<0, 只需f(x)<0,易知m=0时不成立,所以 ? ?2m<1, ??m ? 3<1, ?

解得-4<m<0.因此,-4<m<0. 答案:(-4,0)

【拓展提升】 函数零点和方程的根的关系

(1)方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐
标;

(2)方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)两图象的交点的横
坐标,亦即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点.

热点考向 三 函数在实际问题中的应用
【典例】(12分)(2012·泉州模拟) 省环保研究所对市中心每

天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合
放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=| +2a+
x ? a| 2 x ?1

2 ,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且a∈[0, 3 1 若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染 2

],

指数,并记作M(a).

(1)令t=

x ,x∈[0,24],求t的取值范围; 2 x ?1

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问
目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?

【解题指导】(1)分x=0和x≠0两种情况,当x≠0时变形使用基
本不等式求解. (2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)=|t-a|+2a+ ,再把函 数g(t)写成分段函数后求M(a).
2 3

【规范解答】(1)当x=0时,t=0;????????? 1分
1 ≥2(当x=1时取等号), x x 1 1 1 ?t= 2 ? ∈(0, ],即 t 的取值范围是[ 0, ]. x ?1 x ? 1 2 2 x ????????????????????????? 4分

当0<x≤24时,x+

1 (2)当a∈[0, ]时,记g(t)=|t-a|+2a+ 2 , 2 3 2 ,0≤t≤a, 3 ????????????8分 1 t+a+ 2 ,a<t≤ . 2 3

则g(t)=

-t+3a+

1 ≧g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, ]上单调递增,且 2 1 2 7 g(0)=3a+ ,g( )=a+ , 2 3 6 g(0)-g( 1 )=2(a- 1 ). 4 2 1 1 ),0≤a≤ , 4 2 1 1 g(0), <a≤ , 4 2 1 a+ 7 ,0≤a≤ , 4 6 ????????????10分 1 2 1 3a+ , <a≤ . 2 3 4

g(

故M(a)=

即M(a)=

3a+


2 ≤2 3 4 1 得 <a≤ , 1 1 9 4 <a≤ 2 4

4 ?当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2. 9 4 4 1 故当0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 2

?????????????????????????12分

【拓展提升】1.解答函数应用题的思维流程

2.解答函数应用题的关键
将实际问题中的数量关系转化为函数模型,常见模型有:一次 或二次函数模型;分式函数模型;指数式函数模型等. 3.对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法.

【思想诠释】 在实际应用中的函数与方程思想 (1)本题中的函数与方程思想: ①在求t的范围时,把t看作是x的函数,在求M(a)时,把综合放射

性污染指数看作是t的函数.
②在确定综合放射性污染指数是否超标时,用到了方程的思想. (2)函数在实际应用中应用函数与方程思想的常见类型: ①建立两个变量之间的关系时需要用到函数的思想; ②在求两个变量之间的关系时需要用到方程的思想.

1.(背景新)已知函数f(x)=(

1 x ) -log2x,实数a,b,c满足 3

f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c),若实数x0为方程f(x)=0
的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( (A)x0<b (B)x0>b
1 3

)

(C)x0<c

(D)x0>c

【解析】选D.函数f(x)=( )x-log2x在其定义域(0,+≦)上是 减函数,≧0<a<b<c,?f(a)>f(b)>f(c). 又≧f(a)f(b)f(c)<0,

则f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,或者f(a)>0,f(b)>0, f(c)<0. 若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则x0<a, 若f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则b<x0<c,

故x0>c不可能成立,故选D.

2.(角度新)函数f(x)=

1 0 -1

x >0 , x=0, g(x)=x 2f(x-1)(x∈R), x <0 ,

则函数g(x)的零点个数有_____个.

x2 【解析】≧g(x)= 0 -x2

x> 1, x=1, 作出g(x)的图象,知图象与x x<1

轴的交点个数即零点个数,为2.

答案:2

3.(角度新)设点P(x0,y0)是函数y=tan x与y=-x(x>0)的图象的
2 一个交点,则( x 0 +1)(cos 2x0+1)=______.

【解析】由题意可得,tan x0=-x0,
2 ( x0 +1)·(cos 2x0+1)=(1+tan2x0)(2cos2x0)

=2(cos2x
答案:2

sin 2 x 0 +1)=2. 0) ×( 2 cos x 0

4.(背景新)诺贝尔奖发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均 分成6份,奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医

学、和平)中为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金
额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总

额,以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r=6.24%.
资料显示:2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元. 设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记 为f(1)).

(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的 表达式; (2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔奖

各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.
(参考数据:1.062 49≈1.72,1.031 29≈1.32)

【解析】(1)由题意知:f(2)=f(1)·(1+6.24%)1 ·f(1)·6.24%=f(1)·(1+3.12%), 2 1 f(3)=f(2)·(1+6.24%)- ·f(2)·6.24%=f(1)·(1+3.12%)2, 2

?f(x)=19 800·(1+3.12%)x-1(x∈N*).

(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为:
f(10)=19 800·(1+3.12%)9≈26 136, 2012年度诺贝尔奖各项奖金金额为
1 × 1 ×f(10)×6.24%≈ 6 2

136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元. 答:新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不是 真的,是假新闻.


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