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浙江省台州中学2016届高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案


台州中学 2015 学第一学期期中试题 高三
球的表面积公式 S ? 4? R 2
4 球的体积公式 V ? ? R3 3

数学(理科)
棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V ? h ? S1 ? S1S2 ? S2 ?
1 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高
1 3

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1 ? 若A ? B , 则实数 a 的取值范围是 ( ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? , 2 ? 1 1 A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? D. a ? 2 2 2.若 ab ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,则以下不等式中正确的是( ) 1 1 2 2 ? ?0 A. | a |?| b | B. a ? ? b C. a ? b D. a b
1. 设 A ? ?x | 3.函数

? ?



f ? x ? ? lg ? x ? 1? 的大致图象是





4.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 ? ( A. 4 B. 5 C. ? ) D. ? 5.已知 ? ? R,sin ? ? 3cos ? ? 5 ,则 tan 2? 的值是( A. ?



4 4 D. 3 3 6. “a≤0”是“函数 f (x)= (ax+1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的(
B. 2 C. ? A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

3 4



B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

-1-

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?2x?2 ? 1, x ? 0, ? g ( x) ? ? 1 8.已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零点之 ? x ? 2, x ? 0, ? , x ? 0. ?x
和是( A. ? ) B.

1 ? 3 2

1 ? 3 2

C. ? 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:(本大题共 7 小题,9—12 题每空格 3 分,13—15 题每小题 4 分,共 36 分) 9. 已知

1 ? tan ? 4 ? ? ,则 tan( ? ? ) ? 1 ? tan ? 3 4

, tan ? ?



1 9 ? 的最小值为 , c a 若不等式 ax2 ? 4 x ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 (?1, 2) ,则 a ? c = ; → → 11.已知平面上三点 A,B,C,BC=(2-k,3),AC=(2,4). (1)若三点 A,B,C 不能构成三角形,则实数 k 的值是 , ? (2)若△ABC 为直角三角形,且 ?B ? 90 ,则 k 的值是 ; ?x ?1 ? 0 y ? 12.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 ,点 ( x, y ) 2x ? 2 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
10. 若函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c (a ? 0) 的值域为[0,+∞) ,则 所在的区域的面积为 ; 上的一个动点,若 =x +y ,则 + 的最小值 13. 在扇形 OAB 中,∠AOB=120°,P 是 是 ;
[

14.已知 f ( x) 为偶函数,且 f ( x) 在 ?0,??? 单调递增,若 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) ? 0 在 x ? [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

1 2

;

15. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? f (a ? x) ? t ? 0 有 4 个不同的实数 根,且所有实数根之和为 2 ,则实数 t 的取值范围为__ _. 三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) π 1 已知函数 f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点 M? , ?,且与 x 轴两个相 ?3 2? 邻的交点的距离为 π. (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)= ,f (B)= ,求△ABC 的面积. 5 13

-2-

17. (本题满分 15 分) 已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC, (1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; (2)若 PA= ,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 ,

PB 与底面 ABC 成 60°角,求二面角 B﹣PC﹣A 的大小.

18. (本题满分 15 分) 设 x1 , x2 为函数 f ( x) ? ax2 ? (b ?1) x ? 1(a, b ? R,a ? 0) 两个不同零点. (1)若 x1 ? 1 ,且对任意 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,求 f ( x) ; (2)若 b ? 2a ? 3 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? 2x ? a +2 是否存在负实根?若存在,求出该负 根的取值范围,若不存在,请说明理由;

-3-

19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :
2 2 x y 的左、右焦点和 ? ? 1 ( a ?? b0 ) 2 2 a b

短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q ( 1 ,0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两 点.点 P ( 4 ,3 ),记直线 PA , PB 的斜率分别 为 k1, k2 ,当 k 1 ? k2 最大时,求直线 l 的方程.

20. (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn 满足 an?1 ? 2Tn ? 6 ,且 a1 ? 6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式、数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 S n ; ? an ?

(2)证明:

1 1 1 ? 2 ?? n ? 3. 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn

-4-

台州中学 2015 学第一学期期中答案 高三 数学(理科)
一、ADBBCDCB 二、9 、

4 , 3

1 7

10、3

, 12

11、

13、2

14、 [?2,0]

1 3或-1 , 2 ? 3? 15、 ?1 ,? ? 2?

12、

3 , 1 4

三、16.【解析】(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ) π π 1 π π 4π π 5π π ∵f ( )=sin( +φ)= ,且 0<φ<π ∴ < +φ< ∴ +φ= 即 φ= 3 3 2 3 3 3 3 6 2 π ∴f (x)=sin?x+ ?=cosx. ???6 分 ? 2? 3 5 π (2)∵f (A)=cosA= ,f (B)=cosB= , ∴A,B∈(0, ) 5 13 2 4 12 ∴sinA= ,sinB= ???8 分 5 13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ???10 分 65 a b ∵在△ABC 中 = ∴b=15. ???12 分 sinA sinB 1 1 56 ∴S△ABC= absinC= ×13×15× =84. ???14 分 2 2 65 17.【解析】(1)证明:∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥BC, ∵AB⊥BC,且 PA∩AB=A, ∴BC⊥面 PAB 而 BC?面 PBC 中,∴面 PAB⊥面 PBC.…(7 分) (2)解法一:过 A 作 AE⊥PB 于 E,过 E 作 EF⊥PC 于 F,连接 AF,如图所示 则∠EFA 为 B﹣PC﹣A 的二面角的平面角 ……..(8 分) 由 PA= ,在 Rt△ PBC 中,cos∠COB= ,PB=2 . ,PC=3∴AE= =

Rt△ PAB 中,∠PBA=60°.∴AB= 同理:AF= ∴sin∠EFA=

,∴∠EFA=60.…(14 分)
?

∴二面角 B﹣PC﹣A 的大小为 60 .…….(15 分) 解法二:向量法:由题可知:AB= ,BC=1, 建立如图所示的空间直角坐标系…(8 分) B(0,0,0) ,C(1,0,0) ,A(0, ,0) ,P(0, 假设平面 BPC 的法向量为 =(x1,y1,z1) , ∴ 取 z1= 可得平面 BPC 的法向量为 =(0,﹣3 ,0) , )



) ,

同理 PCA 的法向量为 =(2,﹣ ∴cos< , >=

= ,∴< , >=60°.…(14 分)
?

∴二面角 B﹣PC﹣A 的大小为 60 .…….(15 分)

-5-

18.【解析】 (1)由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得函数 f ( x ) 关于 x ? 2 对称,则 ? 又 a ? b ?1?1 ? 0 解得 a ?

b ?1 ?2 2a

1 1 ,b ? ? 3 3

f ( x) ?

1 2 4 x ? x ? 1 ,………(7 分) 3 3

(2)由 a ? 0 知只需考虑 x ?

a a 时的情况 当 x ? 时 f ( x) ? 2x ? a +2 可化为 2 2 2 2 ax ?(2a ? 4) x ? 1 ? a ? 2x+2 即ax ? (2a ? 2) x ? a ?1 ? 0 ?a ? 1 ? ? ? (2a ? 2) 2 ? 4a(a ? 1) ? 8a 2 ? 4a ? 4 ? 0 且 ?0 a 所以关于 x 的方程 f ( x) ? 2x ? a +2 存在唯一负实根 x0

? ? ?(2a ? 2) ? (2a ? 2) 2 ? 4a(a ? 1) 1 1 1 ? ? ?(1 ? ) ? 2 ? ? 2 ? 2a a a a ? ? 1 1 1 则t ? ? 令t ? ? a 2 2 ? ? 7 ? ? ? 1 ?1 7? 1 4 ? 在 ? ? , ?? ? x0 = ? ? ? t ? t 2 ? ? ? ? ? ? ? 上单调递增 2 2 4 2 7 ? ? ? ? 2 ? ? t? t ? ? ? 4? ? 1? ? 则 x0 ? ? ?1 ? 2,- ? ………(15 分) 2? ? ?? c 2 19.【解析】 (1)由已知得 b . x2 y2 2 2 2 ? ?1.………(5 分) 又 abc ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? ? 4 4 2 3 3 3 (2)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k ? ? ;………(6 分) 1?k 2? 4 ? 24 ? 2 4 ? m y ? 1 (1 ,y ), B ( x ,y ) ②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 Ax ,直线 l 的方程为 x , 1 2 2 x0 =

x2 y2 2 2 ? ?1,整理得 ( m ?? 2 ) ym 23 y ? ? 0 .……(7 分) 4 2 ? 2 m ? 3 y 则y , yy . 1? 2? 2 1 2? 2 m? 2 m? 2 ? m y ? 1 ? m y ? 1 又x ,x , 1 1 2 2 ( 3 ? y ) ( 3 ? y ) 3 ? y1 3 ? y2 1 2 ? ? 所以, k1 ? k2 ? 3 ? m y ) ( 3 ? m y ) 4 ? x1 4 ? x2 ( 1 2
将x 代入 ? m y ? 1
-6-

93 ? ( y ? y ) ? y y 1 2 12 ? ? 2 93 ? m ( y ? y ) ? m y y 1 2 12
2 3 m ? 2 m ? 5 3 4 m ? 1 . ? ? ? 2 2 4 m? 6 4 8 m? 1 2 3 2 t 3 2 令t ,则 kk ?2 ?? ? 4 m ? 1 ? ? ?1 1 2 5 4t ? 2 t ? 2 5 4 (t ?2 )?2 t 所以当且仅当 t ?5,即 m 时,取等号. ? 1 由①②得,直线 l 的方程为 x . ………(15 分) ?? y10 ? 20. 【解析】 (1)由 an?1 ? 2Tn ? 6 ①得 an ? 2Tn?1 ? 6(n ? 2) ②

②-①:有 an?1 ? an ? 2Tn ? 2Tn?1 即 an?1 ? 3an (n ? 2) ,

??????????2 分 ??????????4 分 ??????5 分
n ?1

又 a1 ? 6 ,由②有 a2 ? 2T1 ? 6 ? 2a1 ? 6 ? 18 知 a2 ? 3a1

∴数列 ?an ? 是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 6 ? 3 又由(1)得:

? 2 ? 3n

?6 分

1 1 1 ? ? , an 2 3n

???????????7 分

1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ? 3 ? 1 , ?8 分 得 Sn ? ? ?? ? ( 1 ? 2 ?? n ) ? ? a1 a2 an 2 3 3 3 2 1? 1 4 ? 3n 3 1 4 (2)证法一:由(2)得:由 n ????9 分 ? 3 ? S n 3n ? 1
? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 3n?1 ? 1 ? 2 ? 3n?1 ?????????11 分 1 4 4 4 2 ∴ k ? k ? ? ? k ?1 , (k ? 1, 2,..., n) ???12 分 k ?1 k ?1 k ?1 3 ? Sk 3 ? 1 2 ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 3 1 1? n 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? n ? 2(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 2 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 ??15 分 1 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn 3 3 3 3 1? 3 2 2 ? 3n ? 1 4 3n ?1 ? 1 3 ? ?4 n ? 6? n 证法二: ? n 3 ? S n 3n ? 1 (3 ? 1)(3n ?1 ? 1) (3 ? 1)(3n ?1 ? 1)
∵ 3 ?1 ? 3 ? 3
n n ?1

证法三:当 n ? 1 时,不等式显然成立, 当 n ? 2 时,令 cn ?
n

2 ? 3n 1 1 ? 6?( n ? n?1 ) ?????????12 分 n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ?? n ? 6[( 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n?1 )] 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 6 ? 6 ? ( ? n ?1 ) ? 3 ? n ?1 ? 3 ?????????15 分 2 3 ?1 3 ?1 ? 6?
1 4 4 4 1 1 4 1 ? n , cn ? n ? ? ? ? n?1 ? ? cn?1 ?11 分 3 ? Sn 3 ? 1 3 ? 1 3 3n?1 ? 1 3 3 ? 1 3 3

-7-

1 1 1 1 ? cn ? ? cn ?1 ? 2 ? cn ? 2 ? ? ? n ?1 ? c1 ? 2 ? n ?1 , ???????????12 分 3 3 3 3 1 1? n 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? 2 ? 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 .????15 分 1 3 3 3 3 1? 3
综上得命题得证.

-8-


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