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2015 高三朝阳二模数学(文)


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学试卷(文史类)
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 设集合 A ? ? x ( x ? 1)( x ? 2) ≤ 0? ,集合 B x x ? 1 ,则 A∪B ? A. ? C. ? x 1 ≤ x ≤ 2? B. ? x x ? 1? D. ? x ?1 ? x ≤ 2?

?

?

2. 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图 阴影部分)中的概率是 A.
π 4

B.

π 8

C.

π 16

D.

π 32

?x ? y ≥ 0 ? 3. 实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ≤ 0 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小 ? y ≥ ?2 ?

开始

B. ?8 C. ?4 D.0 ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 已知非零平面向量 a , b ,则“ a 与 b 共线”是“ a ? b 与 a ? b 共线” 的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

值是 A. ?12

S=0,n=1

S=S+cos

nπ 3

n=n+2

5. 执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 A.0 B. ?1 C. ?
1 2

n>5?



D. ?

3 2

是 输出S

结束

? ? 1 ? x 2 ,? 1 ≤ x ? 1 6.函数 f ? x ? ? ? 的零点个数是( ? ?lg x , x ≥ 1

) D.3

A.0

B.1

C.2

7.已知点 A 为抛物线 C : x2 ? 4 y 上的动点(不含原点) ,过点 A 的切线交 x 轴于点 B ,设抛 物线 C 的焦点为 F ,则 ?ABF ( ) A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.上述三种情况都可能 8.已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁.在某天的某个时段,他们每人各做一 项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印材料. 若下面 4 个说法都是正确的: ①甲不在查资料,也不在写教案; ②乙不在打印材料,也不在查资料; ③丙不在批改作业,也不在打印材料; ④丁不在写教案,也不在查资料. 此外还可确定:如果甲不在打印材料,那么丙不在查资料,根据以上信息可以判断 A.甲在打印材料 B.乙在批改作业 C.丙在写教案 D.丁在打印材料

第二部分(非选择题

共 110 分)

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡上. ) 9.设 i 为虚数单位,则 i ?1 ? i ? ? .

10.若中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ? 0 , ? 2 ? ,一条渐近线的方程是 x ? y ? 0 ,则 双曲线 C 的方程为 . 11 .一个四棱锥的三视图如图所示,则这个四棱锥的体积为 . 为

;表面积

2

1 正视图

1 侧视图

俯视图

12.已知在 △ ABC 中, C ? 积为 .

π 3 , cos B ? , AB ? 5 , sin A ? 4 5

; △ ABC 的面

13.在圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 内,过点 P(1 , 0) 的最长的弦为 AB ,最短的弦为 DE , 则四边形 ADBE 的面积为 14.关于函数 f ( x) ? ①函数 ②函数 ③方程 ④函数
x



1 的性质,有如下四个命题: 4 ?2 f ( x) 的定义域为 R ; f ( x) 的值域为 (0 ,? ?) ; f ( x) ? x 有且只有一个实根; f ( x) 的图象是中心对称图形.


其中正确命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x .

?π ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 在区间 ? ,π ? 上的最大值及相应的 x 的值; 2 ? ?

2π) ,求 x0 的值. (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 2 ,且 x0 ? (0 ,

16. (本小题满分 13 分) 已知递增的等差数列 ?an ? (n ? N* ) 的前三项之和为 18,前三项之积为 120. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
x

b1 ) ,A2 (a2 , b2 ) , bn ) (n ? N* ) 从左至右依次都在函数 y ? 32 (Ⅱ) 若点 A1 (a1 , …,An (an ,
的图象上,求这 n 个点 A1 , A2 , A3 ,…, An 的纵坐标之和.

17. (本小题满分 13 分) 某学科测试,要求考生从 A , B , C 三道试题中任选一题作答.考试结束后,统计数 据显示共有 420 名学生参加测试,选择 A , B , C 题作答的人数如下表:
试题 人数

A 180

B 120

C
120

(Ⅰ)某教师为了解参加测试的学生答卷情况,现用分层抽样的方法从 420 份试卷中抽 出若干试卷,其中从选择 A 题作答的试卷中抽出了 3 份,刚应从选择 B , C 题作 答的试卷中各抽出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问被抽出的试卷中,选择 A , B , C 题作答得优的试卷分别有 2 份, 2 份,1 份.现从被抽出的选择 A , B , C 题作答的试卷中各随机选 1 份,求这 3 份试卷都得优的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 AD , M 为 CD 的中点,将 △ ADM 沿 AM 折起,使得平 面 ADM ? 平面 ABCM .点 O 是线段 AM 的中点. (Ⅰ)求证:平面 DOB ? 平面 ABCM ; (Ⅱ)求证 AD ? BM ; (Ⅲ)过 D 点是否存在一条直线 l ,同时满足以下两个条件: ① l ? 平面 BCD ;② l ∥ AM .请说明理由.
D
D M C

A

B

A

O

M B

C

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x2 O 为坐标原点, 直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点, 且 ?AOB ? 90? . ? y2 ? 1 , 4

(Ⅰ)若直线 l 平行于 x 轴,求 △ AOB 的面积; (Ⅱ)若直线 l 始终与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切,求 r 的值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? a sin x ? cos x ,其中 a ? 0 .

π? ? (Ⅰ)当 a ≥1 时,判断 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? 上的单调性; 4? ?
(Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,若不等式

π? ? f ? x ? ? t 2 ? at ? 2 在 ? 0 , ? 上恒成立,求实数 4? ? a ?1
2

2a

t 的取值范围.

朝阳区高三年级第二学期期末练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题 1 .D 【解析】由题意可得集合 A ? {x |1 ? x ? 2} ,集合 B ? {x | ?1 ? x ? 1} 所以 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,选 D.

2015.5

2. C 【解析】设正方形的边长为 2,则面积为 4;圆与正方形内切,圆的半径为 1,所以圆的面 π π 积为 π ,则阴影部分的面积为 ,则所求概率为 P ? . 4 16 3. B 【解析】线性规划的区域如图所示,当移动到如同所示位置时取到最小值,此点的坐标为 (?2, ?2) , z ? ?2 ? (?2) ? 3 ? ?8 ,所以选 B.

y

x+y=0

x-y=0

x-3y=0

O

x

y=-2

4. C

? ? ? ? ? ? 【解析】 设命题 q : a 与 b 共线,设命题 p : a ? b 与 a ? b 共线. 显然命题 q 成立时,命题 ? ? ? ? p 成立,所以 q 是 p 的充分条件;当 a ? b 与 a ? b 共线时,根据共线的定义有
? ? ? ? a ? b ? ? (a ? b )

? (? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? a ,所 则 ? b ? b ? ? a ? a ,由于 a , b 都是非零向量,所以 ? ? ?1 ,那么 b ? ? ?1 ? ? 以可得 a 与 b 共线, q 是 p 的必要条件. 综上可得 q 是 p 的充分必要条件,所以选
C.

5. A 【解析】模拟法: S ? 0, n ? 1

1 S ? , n ? 3 , n 不大于 5 2 1 S ? ? , n ? 5 , n 不大于 5 2 S ? 0, n ? 7 , n ? 5 ,输出 S ? 0 ,选 A
6. C 【解析】由图显然可知
y y= 1-x2 y=lgx

O

(1,0)

x

7.A 【解析】 y? ?

? x2? x x2 x ,设 A ? x0 , 0 ? ,则过点 A 的切线方程为 y ? 0 ? 0 ? x ? x0 ? ,令 y ? 0 , 2 4 2 4 ? ? ??? ? ? x x 2 ? ??? ? ? x x0 ?x ? ? 1? ,于是 BA ? ? 0 , 0 ? , BF ? ? ? 0 , ,即点 B ? 0 , 0 ? .又 F ? 0 , 1? , 2 ?2 ? ? 2 ? ? 2 4 ?

得x?

??? ? ??? ? 易得 BA ? BF ? 0 ,所以 ?ABF ? 90? .

y

A

F

B

O

x

8.A 【解析】根据题目条件,画表如下 查资料 甲 × 乙 × 丙 丁 ×

写教案 ×

改作业

打印资料 × ×

× ×

若甲不在打印资料,则丙不在查资料,则甲在改作业,丙只能写教案,乙不管是写

教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事,与题设矛盾. 查资料 × × × × 写教案 × √ × 改作业 √ × 打印资料 × × ×

甲 乙 丙 丁

所以甲一定在打印资料,此时丁在改作业,乙在写教案,丙在查资料. 二、填空题 9. 1 ? i 【解析】 i(1- i) ? i - i 2 ? 1 ? i 10.
y2 x2 ? ?1 2 2

a a 【解析】 由于双曲线的的焦点在 y 轴上, 所以双曲线的渐近线为 y ? ? x , 所以 ? 1 ? a ? b , b b

c ? 2 , a 2 ? b 2 ? 2 ,因此
2 11. ,3 ? 5 3

y2 x2 ? ?1 2 2

1 2 1 【解析】三视图的还原图为图 1,所以 V ? ? 1 ? 2 ? ; S ? 1 ? (2 ? 2 ? 5 ? 5) ? 3 ? 5 3 3 2

.

2

1 1 图1

12.

7 2 , 14 10

3 4 2 2 【解析】因为 cos B ? ,sin B ? , sin C ? , ,cos C ? 5 5 2 2
所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
y 4 2 3 2 7 2 , ? ? ? ? 5 2 5 2 10 C D P O B x E A

5 AC 5 AC ? ? ? ? AC ? 4 2 4 sin C sin B 2 5 2
1 7 2 所以 S ? ? 5 ? 4 2 ? =14 2 10

13. 4 6 【解析】如图当 AB 为直径时, AB 为过 P 得最长的弦,此时 AB ? 4 2 当 CE 与直径 AB 垂直时, CE 为圆内过 P 得最短的弦, 所以 △CEP 为直角三角形, CP ? ∴ CP ? CE 2 ? CP 2 ? 8 ? 5 ? 3 ∴ S AEBD =DE ? AB =2 3 ? 2 2=4 6 14. ①③④

? 2 ? 1?

2

? 22 ? 5 ,

【解析】① 4x ? 0 ,所以 f ? x ? ?

1 的定义域为 R ,①正确; 4 ?2 1 ? 1? ? ? ? ,∴ f ? x ? ? x ②∵ y ? 4 x 的取值范围为 ? 0 , 的值域为 ? 0 , ? ,②错误; 4 ?2 ? 2? 1 在定义域为单调 ③方法一:∵ y ? 4 x 在定义域内为单调增函数,所以 f ? x ? ? x 4 ?2 递减函数,所以方程 f ? x ? ? x 有一个实根,③正确
x

方法二:

1 1 1 ? x 的根,由于 x ? (0, ) ,所以如果有根那么一定在第一象 4x ? 2 4 ?2 2 1 限 ? 4 x ? 2 ? ,有图像可以知道 x

y

O

x

?1 1? ④ 对称中心为 ? , ? ?2 4?

经检验 f ? x ? 1? ? f ? ? x ? ?

1 1 ? ?x 4 ?2 4 ?2 1 4x ? ? 4 ? 4 x ? 2 1 ? 2 ? 4x 1 ? 2 ? 4x 1 ? ? 4 ? 4x ? 2 2
x ?1

?1 1? ∴ f ? x ? 关于 ? , ? 对称④正确 ?2 4?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应用出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 【解析】 f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x
? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ? π ? 7π 13π ? π? ? 1? ?π ? ? (Ⅰ)因为 x ? ? ,π ? ,所以 2 x ? ? ? , ? ,所以 sin ? 2 x ? ? ? ? ?1, ? , 6 ?6 6 ? 6? ? 2? ?2 ? ?

所以,当且仅当 2 x ?

π 13π ,即 x ? π 时, f ( x ) max ? 1 …………………8 分 ? 6 6

π? π? ? ? (Ⅱ)依题意, 2sin ? 2 x0 ? ? ? 2 ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 1 . 6 6? ? ? ? π ? π 25 ? 又 x0 ? (0 ,2π) ,所以 2 x0 ? ? ? , π ? , 6 ?6 6 ?

所以 2 x0 ? 所以 x0 ?

π π π 5π , ? 或 2 x0 ? ? 6 2 6 2

π 7π 或 x0 ? .………………………13 分 6 6

(16) (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)依题意,设数列 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) . 由 a1 ? a2 ? a3 ? 18 ,可得 a2 ? 6 , 则 a1 ? 6 ? d , a3 ? 6 ? d . 由前三项之积为 120 可得: (6 ? d ) ? 6 ? (6 ? d ) ? 120 ,解得 d ? ?4 (舍负) . 所以 an ? 4n ? 2 .………………………………………………5 分
n

(Ⅱ) 由于点 A1 ( a1 ,b1 ) , A2 ( a2 ,b2 ) ,…, An ( an ,bn ) 依次都在函数 y ? 3 2 的图象 上,且 an ? 4 n ? 2 ,所以 bn ? 32n?1 . 所求这 n 个点 A1 ,A2 , A3 , …,An 的纵坐标之和即为数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 由于
bn ?1 ? 9 ,所以数列 ?bn ? 是以 3 为首项,9 为公比的等比数列. bn

所以 Tn ?

3(1 ? 9n ) 3 n ? (9 ? 1) .…………………………………………13 分 1? 9 8

(17) (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)由题意可得,试卷的抽出比例为
3 1 , ? 180 60

所以应从选择 B 题作答试卷中抽出 2 份, 从选择 C 题作答试卷中抽出 2 份. …………………………………………………………4 分 (Ⅱ)记在(Ⅰ)中抽出的选择 A 题作答的试卷分别为 a1 , a2 , a3 ,其中 a1 , a2 得 优;选择 B 题作答的试卷分别为 b1 , b2 ,其中 b1 , b2 得优;选择 C 题作答的 试卷分别为 c1 , c2 ,其中 c1 得优.从 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 和 c1 , c2 中分别抽 出一份试卷的所有结果如下:

?a1 ,b1 ,c1? ?a1 ,b1 ,c2 ? ?a1 ,b2 ,c1? ?a1 ,b2 ,c2 ? ?a2 ,b1 ,c1? ?a2 ,b1 ,c2 ? ?a2 ,b2 ,c1? ?a2 ,b2 ,c2 ?

?a3 ,b1 ,c1? ?a3 ,b1 ,c2 ? ?a3 ,b2 ,c1? ?a3 ,b2 ,c2 ?
所以结果共有 12 种可能,其中 3 份都得优的有

?a1 ,b1 ,c1? ?a1 ,b2 ,c1? ?a2 ,b1 ,c1? ?a2 ,b2 ,c1? ,共 4 种.
设“ 从被抽出的选择 A , B , C 题作答的试卷中各随机选 1 份,这 3 份试 卷 都 得 优 ” 为 事 件 M , 故 所 求 概 率
P(M ) ? 4 1 ? .……………………………………13 分 12 3

(18) (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)证明:由已知, DA ? DM . 因为点 O 是线段 AM 的中点, 所以 DO ⊥ AM . 又因为平面 ADM ⊥ 平面 ABCM , 平面 ADM ∩ 平面 ABCM ? AM ,DO ? 平面 ADM ,所以 DO ⊥ 平面 ABCM . 因为 DO ? 平面 DOB . 所以平面 DOB ⊥ 平面 ABCM .………………………………………5 分 (Ⅱ)证明:因为在矩形 ABCD 中, AB ? 2 AD ,且 M 为 CD 的中点, 所以 AM ? BM ? 2 AD ?

2 AB , 2

所以 AM ⊥ BM . 由(1)知, DO ? 平面 ABCM , 因为 BM ? 平面 ABCM , 所以 DO ? BM 。 因为 DO ,AM ? 平面 ADM ,且 DO ? AM ? O , 所以 BM ? 平面 ADM 。 而 AD ? 平面 ADM , 所以 AD ? BM …………………………10 分

(III)过 D 点不存在一条直线 l ,同时满足以下两个条件: (1) l ? 平面 BCD ; (2) l∥ AM 。 理由如下: (反证法) 假设过 D 点存在一条直线 l 满足条件, 则因为 l∥ AM , l ? 平面 ABCM , AM ? 平面 ABCM , 所以 l∥平面 ABCM 。 又因为 l ? 平面 BCD ,平面 ABCM ? 平面 BCD ? BC ,所以 l∥BC 。 于是 AM ∥BC ,由图易知 AM ,BC 相交,相矛盾。 所以,不存在这样的直线 l ……………………………14 分 19. (本小题满分 14 分) 【解析】 (I)不妨设直线 l 在 x 轴的上方,则 A ,B 两点关于 y 轴对称。 设 A ? x1 ,y1 ? , B ? ? x1 ,y1 ? , ? x1 ? 0 ,y1 ? 0 ? , 则 OA ? ? x1 ,y1 ? , OB ? ? ? x1 ,y1 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 2 2 由 ?AOB ? 90? ,得 OA ? OB ? 0 ,所以 y1 ? x1 。

x12 ? y12 ? 1 。 4 2 2 由于 x1 ? 0 ,解得 x1 ? ? 5 , y1 ? 5, 5 5
又因为点 A 在椭圆上,所以

2 2 ? 2 ? ?2 ? 则 A? ? 5 , 5 ? , B? 5, 5? 。 5 5 ? 5 ? ?5 ?
所以 S△OAB ?

1 4 5 2 5 4 ? ? ? ……………………5 分 2 5 5 5

( II )当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,设 A ? x1 ,y1 ? ,

B ? x2 ,y2 ? 。

? y ? kx ? m , 联立方程组 ? 2 整理得 4k 2 ? 1 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 。 2 x ? 4 y ? 4. ?

?

?

由方程的判别式 ? ? 0 ,得 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 (*) ,

4 m2 ? 4 ?8km , x x ? 。 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ??? ? ??? ? 由 ?AOB ? 90? ,得 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
x1 ? x2 ?
而 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? , 则 x1 x2 ? y1 y2 ? k 2 ? 1 x1 x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? 0 。 所以 1 ? k 2

?

?

?

? 44m k

2 2

?4 ? ?8km ? ? m2 ? 0 。 ? mk 2 ?1 4k ? 1

整理得 5m 2 ? 4k 2 ? 4 ? 0 , 把 4k 2 ? 5m2 ? 4 代入(*)中,解得 m 2 ? 而 4k 2 ? 5m2 ? 4 ≥ 0 ,所以 m 2 ≥

3 4

4 3 ,显然满足 m 2 ? 。 5 4

直线 l 始终与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 相切, 得圆心 ? 0 ,0 ? 到直线 l 的距离 d 等于半径

r。
m2 4 4 4 ,由 m 2 ? k 2 ? ,得 r 2 ? , 2 1? k 5 5 5 2 5 因为 r ? 0 ,所以 r ? 。 5 4 当直线 l 的斜率不存在时,若直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 相切, 5
则 r2 ? d 2 ? 此时直线 l 的方程为 x ? ? 综上所述 r ? 20. (本小题满分 13 分)

2 5 2 。 5 ,r ? 5 5

2 5 …………………14 分 5

π? ? 【解析】 (I)因为 a ≥ 1 , x ? ? 0 , ? , 4? ?
所以 f ' ? x ? ? a cos x ? sin x ≥ cos x ? sin x ≥ 0 。

π? ? 故 f ? x ? 在区间 ? 0 , ? 上是单调递增函数。……………………4 分 4? ?
(Ⅱ)令 f ' ? x ? ? 0 ,得 a cos x ? sin x ,

π? ? 因为在区间 ? 0 , ? 上 cos x ? 0 ,所以 a ? tan x , 4? ?
因为 a ? ? 0 , 1? , tan x ? ?0 , 1? ,

π? ? 且函数 y ? tan x 在 ? 0 , ? 上单调递增, 4? ? π? ? 所以方程 a ? tan x 在 ? 0 , ? 上必有一根,记为 x0 , 4? ?
则 f ' ? x0 ? ? a cos x0 ? sin x0 ? 0 。

π? ? 因为 f ' ? x ? ? a cos x ? sin x 在 ? 0 , ? 上单调递减, 4? ?
所以,当 x ? ? 0 ,x0 ? 时, f ' ? x ? ? f ' ? x0 ? ? 0 ;

π? ? 当 x ? ? x0 , ? 时, f ' ? x ? ? f ' ? x ? ? 0 。 4? ? π? ? 所以 f ? x ? 在 ? 0 ,x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ? 上单调递减。 4? ?
所以 f ? x ? max ? f ? x0 ? ? a sin x0 ? cos x0 。 又因为 a cos x0 ? sin x0 ,且 sin 2 x0 ? cos2 x0 ? 1 , 所以 a 2 ? 1 cos 2 x0 ? 1 , cos 2 x0 ?

?

?

1 , a ?1
2

2 2 故 f ? x ? max ? f ? x0 ? ? a ? 1 cos x0 ? a ? 1 。

?

?

依题意, a ? ? 0 , 1? 时,

2a a ?1
2

a 2 ? 1 ? t 2 ? at ? 2 恒成立。

即 a ? ?0 , 1? 时, ? t ? 2 ? a ? t 2 ? 2 ? 0 恒成立。 令 h ? a ? ? ?t ? 2? a ? t 2 ? 2 ,
2 ? ?t ? 2 ≥ 0 , ?h ? 0 ? ≥ 0 , ? 则? 即? 2 ? ?t ? t ≥ 0. ?h ?1? ≥ 0 , ?

解得 t ≤ ?1 或 t ≥ 0 ………………………13 分


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