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数学开放性问题怎么解


数学开放性问题怎么解
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这 类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研 究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结 论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题 其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解. 例 1 设等比数列?an ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,是否存在常数 c ,使数 列 ?S n ? c?也成等比 数列?若存在,求出 常数c ;若不存在,请说明理由. 讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数 c , 使数列 ?S n ? c? 成等比数列.

? (S n ? c)(S n?2 ? c) ? (S n?1 ? c) 2 ? S n ? S n?2 ? S 2 n?1 ? c(2S n?1 ? S n ? S n?2
(i) 当 q ? 1 时,S n ? na1 代入上式得
2 2 2 2 a1 n(n ? 2) ? a1 ?n ? 1? ? ca1 ?(a(n ? 1) ? n ? (n ? 2)? 即a1 =0

但 a1 ? 0 , 于是不存在常数 c ,使 ?S n ? c?成等比数列.

(ii) 当 q ? 1 时,S n ?

a(1 ? q n ) ,代入上式得 1? q

? a1 q n ca1q n a 2 (1 ? q ) ? (1 ? q) 2 ,? c ? 1 . 2 (1 ? q) q ?1 (1 ? q)
a1 ,使 ?S n ? c?成等比数列. q ?1

2

综上可知, 存在常数 c ?

等比数列 n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比 q ? 1 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例 2 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第 一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万 元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时, 以 12 万元价格处理该机床, 问用哪种方案处理较为合算? 请说明你的理由. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.

y ? 50 x ? [12 x ?
(1)
2

x( x ? 1) ? 4] ? 98 2

= ? 2 x ? 40x ? 98 . (2)解不等式 得

? 2 x 2 ? 40x ? 98 >0,

10 ? 51<x< 10 ? 51 .

∵ x∈N, ∴ 3 ≤x≤ 17. 故从第 3 年工厂开始盈利.

(3)(i) ∵

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) x x x ≤40 ? 2 2 ? 98 ? 12 98 x 时,即 x=7 时,等号成立.

2x ?
当且仅当

∴ 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元. ? y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102, (ii) ? 当 x=10 时,ymax=102. 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102+12=114 万元. 解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具.

1
例3 已知函数 f(x)=

x 2 ? 4 (x<-2)

(1)求 f(x)的反函数 f-1(x);

1
(2)设 a1=1,

a n ?1 =-f-1(an)(n∈N),求 an;

m (3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N,有 bn< 25 成

立?若存在,求出 m 的值;若不存在说明理由. 讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.

1
(1) y=

x2 ? 4 ,

4?
∵x<-2,∴x= -

1 y2 ,
1 x 2 (x>0).
1
, ∴

4?
即 y=f-1(x)= -

1
(2) ∵

a n ?1

? 4?

1 2 an

a n ?1

2

?

1 2 an

=4.

1 a2 ∴{ n }是公差为 4 的等差数列. 1 1 2 a a2 ∵a1=1, ∴ n = 1 +4(n-1)=4n-3.
1 ∵an>0 , ∴an= 4n ? 3 .
1 m 25 bn=Sn+1-Sn=an+12= 4 n ? 1 , 由 bn< 25 ,得 m> 4 n ? 1 对于 n∈N 成立.

(3)

25 ∵ 4 n ? 1 ≤5 ,
m ∴m>5,存在最小正数 m=6,使得对任意 n∈N 有 bn< 25 成立.

1 1 2 a a2 为了求 an ,我们先求 n ,这是因为{ n }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等
差数列的一个典范.

例 4 已知数列

{an }中,a1 ? 1, 且点P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上.
1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N , 且n ? 2), n ? a 1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

求数列{an}的通项公式;

f ( n) ?
(2)若函数

求函数 f(n)的最小值;

bn ?
(3)设

1 , Sn an 表示数列{bn}的前 n 项和.试问:是否存在关于 n 的整式 g(n), 使得

S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? (S n ? 1) ? g (n) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在,写出
g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. (1)

? an ? an?1 ? 1 ? 0

? a1 ? a 2 ? 1 ? 0, a 2 ? a3 ? 1 ? 0, ?? a n ?1 ? a n ? 1 ? 0, 以 上 各 式 相, 得 加a1 ? a n ? n ? 1 ? 0,
(2) ?

a n ? a1 ? n ? 1 ? n.

f ( n) ?

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n , 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 , 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 .

f (n ? 1) ?

? f (n ? 1) ? f (n) ?

? f (n)是单调递增的 ,
故 f (n) 的最小值是 f (2) ?
? bn ?

7 . 12

(3)

1 1 1 ? sn ? 1 ? ? ? ? n 2 n,

? s n ? s n ?1 ?

1 (n ? 2), n

即ns n ? (n ? 1) s n ?1 ? s n ?1 ? 1,

? (n ? 1)sn?1 ? (n ? 2)sn?2 ? sn?2 ? 1.
???????

2s2 ? s1 ? s1 ? 1,

? nsn ? s1 ? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? n ? 1, ? g (n) ? n .

? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? nsn ? n ? (sn ? 1) ? n(n ? 2),

故存在关于 n 的整式 g (n) ? n, 使等式对于一切不小 2 的自然数 n 恒成立. 事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗?

例 5 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司——红色出租 车公司和蓝色出租车公司, 其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的 85%和 15%。 据现场目击证人说, 事故现场的出租车是红色, 并对证人的辨别能力作了测试, 测得他辨认的正确率为 80%, 于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的 认定对红色出租车公平吗?试说明理由. 讲解 设该城市有出租车 1000 辆,那么依题意可得如下信息: 证人所说的颜色(正确率 80%) 真 实 颜 色 蓝色 蓝色(85%) 红色(15%) 合计 680 30 710 红色 170 120 290 合计 850 150 1000

120 ? 0.41 从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,且它确实是红色的概率为 290 ,而它是

170 ? 0.59 蓝色的概率为 290 . 在这种情况下,以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然

是不公平的. 本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的. 例 6 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践,对该县的养鸡场连续六 年来的规模进行调查研究,得到如下两个不同的信息图:

(A)图表明:从第 1 年平均每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出 产 2 万只鸡; (B)图表明:由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个. 请你根据提供的信息解答下列问题: (1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少? (2)哪一年的规模最大?为什么? 讲解 (1)设第 n 年的养鸡场的个数为

an ,平均每个养鸡场出产鸡 bn 万只,

a ? 10, 且点 (n, an ) 在一直线上, (n ? 1,2,3,4,5,6), 由图(B)可知, a1 =30, 6
从而

an ? 34 ? 4n, n ? 1,2,3,4,5,6; b1 ? 1, b6 ? 2, 且点 (n, bn ) 在一直线上, (n ? 1,2,3,4,5,6),

由图(A)可知,

于是

bn ?

n?4 , n ? 1,2,3,4,5,6; 5

6 ? 1.2 a2 ? 26(个),b2 = 5 (万只), a2 b2 ? 31.2 (万只)
第二年的养鸡场的个数是 26 个,全县出产鸡的总只数是 31.2 万只;

2 9 1 a n bn ? ? (n ? ) 2 ? 31 ,当n ? 2时, (a n bn ) max ? a 2 b2 ? 31.2 5 4 4 (2)由 (万只),
第二年的养鸡规模最大,共养鸡 31.2 万只. 有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一 个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的. 例 7 已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点. (i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 讲解 本例主要考查直线、 圆与抛物线的基本概念及位置关系, 是解析几何中的存在性问题.
2 (1)由曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,知曲线 M 的方程为 y ? 4 x .

? ? y ? ? 3 ( x ? 1), y ? ? 3 ( x ? 1),由 ? 2 ? ? y ? 4 x, (2)(i)由题意得,直线 AB 的方程为 消y得

1 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0, 解出 x1 ? , x 2 ? 3. 3

1 2 3 16 ( , ) | AB |? x1 ? x 2 ? 2 ? . ? 2 3 3 于是, A 点和 B 点的坐标分别为 A 3 3 ,B(3, ),
假设存在点 C(-1,y),使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|, 即有
16 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3 ) 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ? 1 2 16 2 2 ?( ? 1) ? ( y ? ) ? ( )2 ?3 3 3 ?

① ②
2 3 3

y 2 ? 4x

?2 3

(3, ? 2 3 )

4 2 3 2 42 ? ( y ? 2 3 ) 2 ? ( ) 2 ? ( y ? ), 3 3 由①-②得

解得y ? ?

14 3 . 9

因为

y??

14 3 9 不符合①,所以由①,②组成的方程组无解.

故知直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii)设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形,
? y ? ? 3 ( x ? 1), 得 y ? 2 3. ? ? x ? ?1,



即当点 C 的坐标是(-1, 2 3 )时,三点 A,B,C 共线,故 y ? 2 3 .
1 2 3 2 28 4 3 y | AC | 2 ? (?1 ? ) 2 ? ( y ? ) ? ? ? y2 3 3 9 3 ,

| BC |2 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3) 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ,
16 256 | AB | 2 ? ( ) 2 ? 3 9 .

2 2 2 (i) 当 | BC | ?| AC | ? | AB | ,即

28 ? 4 3 y ? y 2 ?

28 4 3 256 ? y ? y2 ? 9 3 9 ,



y?

2 3时, ?CAB 9 为钝角.

28 4 3 256 ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 2 2 2 | AC | ? | BC | ? | AB | 9 3 9 , (ii) 当 ,即

y?? 10 3时?CBA 3 为钝角.

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 2 2 2 | AB | ? | AC | ? | BC | 9 9 3 (iii)当 ,即 ,
y2 ?


4 4 2 2 3 y ? ? 0, ( y ? ) ?0 3 3 3 .

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角.
y?? 10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) 3 9 .

故当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 需要提及的是, 当△ABC 为钝角三角形时, 钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.

例 8 已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都满足关系式

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .
(1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论;

f (2 ? n ) f (2) ? 2, u n ? (n ? N ) n (3)若 ,求数列{un}的前 n 项的和 Sn.
讲解 本题主要考查函数和数列的基本知识,考查从一般到特殊的取特值求解技巧. (1)在 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) 中,令 a ? b ? 0, 得

f (0) ? f (0 ? 0) ? 0 ? f (0) ? 0 ? f (0) ? 0 .
在 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) 中,令 a ? b ? 1, 得

f (1) ? f (1 ? 1) ? 1 ? f (1) ? 1 ? f (1) ,有 f (1) ? 0 .
(2) f ( x) 是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上
2 ? f (1) ? f [(?1) ] ? ? f (?1) ? f (?1) ? 0,

? f (?1) ? 0,

f (? x) ? f (?1 ? x) ? ? f ( x) ? xf (?1) ? ? f ( x),
故 f ( x) 为奇函数. 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由
f (a2 ) ? af (a) ? af (a) ? 2af (a),

f (a3 ) ? a2 f (a) ? af (a2 ) ? 3a2 f (a) ,

……………………………… 猜测

f (a n ) ? nan?1 f (a) .
1° 当 n=1 时, f (a ) ? 1 ? a ? f (a) ,公式成立;
1 0

于是我们很易想到用数学归纳法证明.

2°假设当 n=k 时, f (a ) ? ka
k

k ?1

f (a) 成立,那么当 n=k+1 时,

f (a k ?1 ) ? a k f (a) ? af (a k ) ? a k f (a) ? kak f (a) ? (k ? 1)a k f (a) ,公式仍然成立.
n n?1 综上可知,对任意 n ? N , f (a ) ? na f (a) 成立.

从而

un ?

f (2 ? n ) 1 1 ? ( ) n ?1 ? f ( ) n 2 2 .

1 1 1 f (2) ? 2, f (1) ? f (2 ? ) ? 2 f ( ) ? f (2) ? 0, 2 2 2 ?

1 1 1 1 1 u n ? (? ) ? ( ) n ?1 (n ? N ), f ( ) ? ? f (2) ? ? 2 2 4 2, ? 2 .

1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 2 Sn ? 2 ? ( ) n ? 1(n ? N ). 1 2 1? 2 故
an?1 ? 2an 1 ? an (n ? 1,2,?, )

例 9 若 a1 ? 0 、 a1 ? 1, (1)求证: (2)令

an?1 ? an ;
a1 ? 1 a a 2, 写出 a2 、 3 、a4 、 5 的值, 观察并归纳出这个数列的通项公式 an ;

an ? p } an (3)证明:存在不等于零的常数 p,使 是等比数列,并求出公比 q 的值. {
2a n ? an a ? 0, 1. 1 ? an a ? a n ,即 (1)采用反证法. 若 n?1 , 解得 n

讲解

从而 an ? an?1 ? ?? ? a 2 ? a1 ? 0,1 与题设 a1 ? 0 , a1 ? 1相矛盾, 故 (2)

an?1 ? an 成立.
1 2 4 8 16 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 2、 17 , 3 、 5、 9、
2 n ?1 2 n ?1 ? 1 .
a n ?1 ? p a ? p ? n ?q a n ?1 an

a1 ?

an ?

(3)因为

a n ?1 ? p (2 ? p)an ? p ? a n ?1 2a n



,

所以 (2 ? p ? 2q)an ? p(1 ? 2q) ? 0 , 因为上式是关于变量 an 的恒等式,故可解得
q? 1 2 、 p ? ?1 .

我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?

例 10 如图,已知圆 A、圆 B 的方程分别是

?x ? 2?2 ? y 2

?

25 1 2 , ?x ? 2? ? y 2 ? , 4 4 动圆 P

1? ? x ? a? a ? ? 2?. ? 与圆 A、圆 B 均外切,直线 l 的方程为:
a?
(1)求圆 P 的轨迹方程,并证明:当 为定值; (2) 延长 PB 与点 P 的轨迹交于另一点 Q,求

1 2 时,点 P 到点 B 的距离与到定直线 l 距离的比

PQ

的最小值;

(3)如果存在某一位置,使得 PQ 的中点 R 在 l 上的射影 C,满足 PC ? QC, 求 a 的取值 范围.

5 1 讲解(1)设动圆 P 的半径为 r,则|PA|=r+ 2 ,|PB| = r + 2 ,
∴ |PA| -|PB| = 2. ∴ 点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,焦距为 4,实轴长为 2 的双曲线的右准线的右支,其方

x2 ?
程为

y2 1 1 a? x? ?1 2 , 则 l 的方程 2 为双曲线的右准线, ∴点 P 到 3 (x ≥1).若

点 B 的距离与到 l 的距离之比为双曲线的离心率 e = 2. (2)若直线 PQ 的斜率存在, 设斜率为 k, 则直线 PQ 的方程为 y = k ( x-2 )代入双曲线方程, 得

?3 ? k ?x
2

2

? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0



? ?? ? 0 ? 4k 2 ? ?0 ? x1 ? x 2 ? ? 3?k2 ? ? 4k 2 ? 3 x x ? ? ?0 ? 1 2 2 3?k2 ? , 解得 k >3.

∴ |PQ|=

1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

6(k 2 ? 1) 24 ?6? 2 ?6 2 k ?3 k ?3 .

当直线的斜率存在时, x1 ? x2 ? 2 ,得 y1 ? 3, y 2 ? ?3 ,|PQ|=6. ∴ |PQ|的最小值为6. (3)当 PQ⊥QC 时,P、C、Q 构成 Rt△.

| PQ | ? xR ? a ∴ R 到直线 l 的距离|RC|= 2



x2 ?
又 ∵ 点 P、Q 都在双曲线

y2 ?1 3 上,



| PB | | QB | ? ?2 1 1 xP ? xQ ? 2 2 .

∴ ∴

| PB | ? | QB | ?2 x P ? xQ ? 1
xR ? | PQ | ?2 4

,即 ②

| PQ |? 4 xR ? 2 .

将②代入①得

| PQ | | PQ | ?2 ? ?a 2 4 ,|PQ|=2-4a≥6.

故有a≤-1. “如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既 能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提


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