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2010年 - 吉林 - 长春十一中 - 高三 - 名校模拟(期中上) - 理科 - 数学


长春市十一高中 2010 届高三上学期期中考试 数 学 试 题(理科)
(本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.答题时间 120 分钟, 满分 150 分. )

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. sin 330 的值是 A. ?
0

( B. ?



3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2
( )

2.复数 i3 (1 ? i)2 等于 A. 2 B. ?2 C. 2i D. ? 2i

3 . 已 知 全 集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集 合 A ? ?1,3? , B ? ?3,4,5? , 则 集 合 CU ( A ? B) 等 于 ( A. ?3? B. ?4,5? C. ?3,4,5? D. ?1,2,4,5? ( D. 1, 2 ? ) )

4.设 A 为 ?ABC 的最小内角,则 cos A ? sin A 的取值范围是 A. ? 2, 2

?

?

B. ? ? 2, 2 ?

?

?

C. 1, 2

?

?

?

?


5.直线 y ? 2 x 与抛物线

y ? 3 ? x2 围成的封闭图形的面积是
B. 2 ? 3 C.



A. 2 3

32 3

D.
? ?

35 3

6.已知平面向量 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的方程 x ? a x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的
2

?

?

?

?

?

夹角的取值范围是





A. ? 0,

? ?? ? 6? ?

B. ?

?? ? ,? ?3 ? ?

C. ?

? ? 2? ? , ?3 3 ? ?

D. ?

?? ? ,? ?6 ? ?

7.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 等于





Ae

2

B

e

C

ln 2 2

D

ln 2

8.

3 ? sin 700 等于 2 ? cos 2 100
A





1 2

B

2 2

C

2

D

3 2
( )

9.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 g ( x ) ? A. ?0,1? B.

f (2 x) 的定义域为 x ?1
D.

? ?0 , 1

C. ?0,1? ? ?1, 4?

? 0,1?
( )

10.已知 a ? log0.7 0.8, b ? log1.1 0.9, c ? 1.10.9 ,则 A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c 11.函数 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 在 ??1,1? 上存在一个零点,则 a 的取值范围为 A. a ?





1 5

B. a ? ? 1

C. ?1 ? a ?

1 5

D. a ?

1 或 a ? ?1 5

12.函数 f ( x ) ? lg( 围为 A (?1, 0)

2 ? a ) 是奇函数,且在 x ? 0 处有意义,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范 1? x
( B (0,1) C (??, 0) ) D (??,0) ? ?1, ???

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.方程 2
?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为


2 2

3 14.已知曲线 y ? x ? bx ? c 上一点 A(1, 2) 的切线为 y ? x ? 1, 则 b ? c ?



15.下列命题: ① ?? , ? ? R, cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? ; ② ?x ? 0,ln x ? ln x ? 1 ? 0 ;
6 3

③ ?? ? R, 函数 y ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数; ④ ?m ? R, 使 f ( x) ? (m ?1) xm 其中真命题有
2

?4m?3

是幂函数,且在 (0, ??) 上递减.

(把你认为正确的序号都填上) .

16 .等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S2 , 3 S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ? R (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 ?

?

?

? ?

2 5 5

?
2

? ? ? 0?? ?

?
2

,sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 的值. 13

19. (本小题满分 12 分) 设 f ( x ) 是定义在 ? 0, ??? 上的单调增函数,满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), f (3) ?1 . (1)求 f (1) 的值; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,求 x 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? 2n ? Sn ,(n ? N * ) .

(1)求证:数列 an ? n ? 2 n?1 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1(a ? R) .
3 2

?

?

(1)当 a ? ?3 时,求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (2)如果对任意 x ? R ,不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ( n ,

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上,数列 ?bn ? 满足 n 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N * ) , b3 ? 11 ,且 ?bn ? 的前 9 项和为 153.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?
*

k 3 对一 , 记数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值.

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. B 7. B 2. A 8. C 3. D 9. B 4. D 10. C 5. C 11. D 6. B 12. A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 2 14.13 15.①②④ 16.

1 3

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.解: f ( x) ? 2cos x sin x ? 2cos x ? 1
2

? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) 4
(1)f ( x ) 的最小正周期 T ? ?

?

……………………………………………2 分 ………………………………………………6 分 (2) …………………………………………10 分

? f ( x) 的值域为 ? ? ? 2, 2 ?

18.解: (1)∵ a ? b ?

? ?

?2 ? ? ?2 4 2 5 b? b ? ,∴ a ? 2a ? 5 5

又 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ),

?

?

4 2? ? ? ? ? 5 ?3 ∴ a ? b ? 1, a? ………………………6 分 b ? cos(? ? ? ) ? 2 5 ? ? 5 (2)∵ ? ? ? ? 0 ? ? ? ,sin ? ? ? 2 2 13 3 4 ∴ 0 ? ? ? ? ? ? ,由(1)得 cos ?? ? ? ? ? , 从而 sin ?? ? ? ? ? 5 5 5 12 又 sin ? ? ? ,得 cos ? ? 代入,可得 13 13 33 sin ? ? sin ? (? ? ? ) ? ? ? ? …………………………………12 分 65
19.解: (1) 令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? 0 …………………………………………4 分 (2) 由 f (3) ? f (3) ? 2,? f (9) ? 2 ,又由 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 得f ? ? x ? x ? 8?? ? ? f ?9? ∵ f ( x ) 是定义在 ? 0, ??? 上的单调增函数

? x?0 ? ∴? x ?8 ? 0 ? x( x ? 8) ? 9 ?

解得 8 ? x ? 9

……………12 分

20.解: (1)∵ 2an ? 2n ? Sn , ∴ 2an?1 ? 2n?1 ? Sn?1 两式相减,得 an?1 ? 2an ? 2n ,∴ an?1 ? (n ? 1)2n ? 2an ? 2n ? (n ? 1)2n ∴

an?1 ? (n ? 1)?2n ? 2 ,又由已知得 a1 ? 2, 从而 a1 ?1? 21?1 ? 1 ? 0 n ?1 an ? n?2

n ?1 ∴数列 an ? n ?2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列

?

?

…………………8 分 ……………………12 分

(2)由(1) an ? n? 2 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? (n ? 1)?

n?1

2 2 21.解: (1) a ? ?3,? f ?( x) ? ?9 x ? 6 x ? 1 ? ?9( x ? ) ? 0 恒成立

1 3

∴ f ( x ) 在 R 上是减函数

………………………………………………6 分
2

2 (2) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ?1 ,由 f ?( x) ? 4 x 恒成立,∴ 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 ,

① 当 a ? 0 时,不成立

② 由 a ? 0 时, 得 ?

a?0 ?? ? 4 ? 12a ? 0 ?
? ? 1? ?

∴a ? ?

1 3
…………12 分

综上,实数 a 的取值范围是 ? ??, ? ? 3 22.解: (1)由题意

Sn 1 11 1 11 ? n ? , Sn ? n2 ? n n 2 2 2 2

当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 5 , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 也适合上式∴ an ? n ? 5(n ? N * ) ∵ bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N * ) ∴数列 ?bn ? 是等差数列,由 ?bn ? 的前 9 项和为 153 得 从而 b5 ? ………………………4 分

9(b1 ? b9 ) ? 153 , 2

1 (b1 ? b9 ) ? 17 ,又 b3 ? 11 ,得 d ? 3, b1 ? 5 , 2
………………………………………………6 分

∴ bn ? 3n ? 2 (2) cn ? ∴ Tn ?

3 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(6n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 [1 ? ] ,数列 ?Tn ? 是递增数列, 2 2n ? 1 1 k ∴只要 T1 ? ? ,∴ k ? 19 3 57


kmax ? 18

……………………………………………………………12 分


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