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高二数学选修2-2模块综合测试题


高二数学选修 2-2 模块综合测试题
(本科考试时间为 120 分钟,满分为 100 分) 说明:本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ,试卷Ⅰ分值为 30 分,试卷Ⅱ分值为 70 分。

第I卷
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.在“近似替代”中,函数 f ( x) 在区间 [ xi , xi ?1 ] 上的近似值( (A)只能是左端点的函数值 f ( xi ) )

(B)只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ?? i ?(? i ? [ xi , xi ?1 ] ) (D)以上答案均正确 2.已知 z1 ? m ? 3m ? m i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的
2 2

值为 (A) 4 (B) ?1



) (C) 6 ( (C) x ? y ? 1 (D) 0 ) (D) xy ? 1 ? x ? y

3.已知 x ? 1, y ? 1 ,下列各式成立的是
2 2 (A) x ? y ? x ? y ? 2 (B) x ? y ? 1

4.设 f (x)为可导函数,且满足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的斜率是 2x 1 2



) (B)-1 (C) (D)-2

(A)2

5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0” 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)必要条件 6.函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10, 则点 (a, b) 为
3 2 2





(A) (3,?3)
3

(B) (?4,11)

(C) (3,?3) 或 (?4,11)

(D)不存在 )

7.曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( (A)

8 3
x

(B)
?x

7 3

(C)

5 3


(D) ) (D)

4 3

8. 曲线 y ? e , y ? e (A) e ? e
?1

和直线 x ? 1 围成的图形面积是
?1

(B) e ? e
2

(C) e ? e ? 2

?1

e ? e?1 ? 2


9.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是(
第 1 页

(A)



(B)

2

(C)



(D)

2 2

10.函数 f ( x) ?

x2 ( ) x ?1 A.在 (0, 2) 上单调递减 C.在 (0, 2) 上单调递增

B.在 (??,0) 和 (2, ??) 上单调递增 D.在 (??,0) 和 (2, ??) 上单调递减

第I卷
二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.定义运算

a c


b d

? ad ? bc ,若复数 z 满足

1 ?1 z zi

? 2 ,其中 i 为虚数单位,则复数

z?

12.如图,数表满足:⑴第 n 行首尾两数均为 n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第 n(n ? 1) 行第 2 个数为 f (n) .根据表中上下两行数据关系, 1 可以求得当 n …2 时, f (n) ? . 2 2 3 4 3 4 7 7 4 ? ? ? .

13.设函数 f(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 f(x)在[0,1]上的最大值为 14.已知a ? 0, b ? 0,

1 3 ? ? 1, 则a ? 2b的最小值为 a b

.

15.用数学归纳法证明12 ? 22 ? ? ? (n ? 1)2 ? n 2 ? (n ? 1)2 ? ? ? 22 ? 12 ? 假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是
三 解答题(本大题共 5 小题,共 54 分) 16(本小题满分 10 分) (1) 求定积分

n(2n 2 ? 1) 时,由n=k的 3

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;

(2)若复数 z1 ? a ? 2i( a ? R ) , z2 ? 3 ? 4i , 且

z1 为纯虚数,求 z1 z2

第 2 页

17(本小题满分 10 分)

z 2 ? az ? b 设复数z ? 1 ? i, 且 2 ? 1 ? i, 求实数a, b的值. z ? z ?1

18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程;

x x ?1

19.已知f ( x)为一次函数,且f(x)=x ? f ( x)dx ? 1
0

2

(1)求 f(x)的解析式. (2)求直线 y ? f(x)与曲线 y ? xf(x)围成平面图形的面积.

第 3 页

1 1 1 20.设a, b, c为不全相等的正数,且abc=1,求证: ? ? ? a ? b ? c . a b c

21.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:a , b , c不成等差数列.

22.已知n ? N *, n ? 2, 求证1 ?

1 1 1 ? ??? ? n ?1 2 3 n

第 4 页

高二数学选修 2-2 模块综合测试题
参考答案
一 选择题 1 C 2B
二 填空题 11 1-i 三 解答题 16 (1) 12

3D

4D

5A

6B

7C

8D

9B

10 B

n2 ? n ? 2 2

13 4(

n n?2 ) n?2

14.7 ? 2 6

15. (k ? 1) 2 ? k 2

1? 8 2 3
a=-1,b=2

(2)

10 3
16. 当高 h ?

17

3 2 3? 3 l 时, Vmax ? l 3 27

18 (1)单调增区间 (0, ?? ) ,单调减区间 ( ?1, 0) (2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ? (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

b . a

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F (t )min ? F (1) ? 0 , 所 以 F (t ) ? F (1) ? 0 即

1 a F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 代入得证。 t b

第 5 页

18(本小题满分 10 分) (提示:请从以下两个不等式选择其中一个证明即可,若两题都答以第一题为准) (1)设 ai ? R? , bi ? R? , i ? 1, 2,? n ,且 a1 ? a2 ? ? an ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2
2 2 an a12 a2 ? ?? ? ?1 求证: a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn

(2)设 ai ? R? ( i ? 1, 2,? n )求证:

( a1 ? a2 ? ? an )2 an a1 a2 ? ? ?? ? 2 2 2 2( a1 ? a2 ? ? an ) a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2

(选做题:从两个不等式任选一个证明,当两个同时证明的以第一个为准)
2 2 a1 ? a2 ? ? an +b1 ? b2 ? ? bn an a12 a2 )( ? ?? ) (1)证:左式= ( 4 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 2 2 an a12 a2 1 ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? ? ? ( a ? b ) ( ? ? ? ) ? 1 1 2 2 n n ? 4 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn

=

1? ? ? a1 ? b1 4? ?

a1 a1 ? b1

? a2 ? b2

a2 a2 ? b2

? ? ? an ? bn

? ? an ? bn ? ? an

2

=

1 ( a1 ? a2 ? ? an )2 ? 1 4

(2)证:由排序不等式,得:
2 2 2 2 a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an a1 , a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a3 ? a2 a4 ? ? ? an a2

两式相加: 2( a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ( a2 ? a3 ) ? a2 ( a3 ? a4 )? ? an ( a1 ? a2 ) ,从而
2 2 2

2 2 2( a12 ? a2 ? ? ? an )(

an a1 a2 ? ?? ? )? a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2 an a1 a2 ? ??? ) a2 ? a3 a3 ? a4 a1 ? a2

?

a1 ( a2 ? a3 ) ? a2 ( a3 ? a4 )? ? an ( a1 ? a2 ) ? (

? ( a1 ? a2 ? ? an )2 ,即证。
19(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,? ,
2

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式;

第 6 页

(2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 1 1 ? ?? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

第 7 页


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