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2.1函数的解析式与定义域


2.1 函数的解析式与定义域
过程:1.配凑法:形如 f ?u( x)? ? g ( x) 的表达式,如果 u(x)与 g(x)存在平方、立方等关系,那么可将 g(x) 配成 u(x)的代数式从而求得 f(x) 例 1:已知 f (3x ? 1) ? 9x2 ? 6x ? 5 求 f(x)的表达式

1 1 ? x2 x x2 1 1 2 练 3 : f (x ? ) ? x ? 2 x x 2.换元法:
例 2 : f (x ? ) ?

求 f(x)的表达式 求 f(x)= x ? 2
2

( |x| ? 2 )

如果对于关系式 f ( p( x)) ? h( x) ,其中 p(x)和 h(x)都是给出的,那么求 f(x)的解析式时,我们可采取换元法 例三:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x 解:设 x ? 1 ? t 求 f(x)的解析式 则 x ? (t ? 1)
2

(t ? 1)

? f ( x) ? x2 ?1
f ( x) ? 4x ? 3 x?2

(x ? 1 )

练习 4

f ( x2 ) ?

4 x2 ? 3 x2 ? 2

求 f(x)的表达式

(x ? 0 )
2

注意:新元的取值范围与 t 相同 3.待定系数法

练习 5. f (cos x) ? sin x

求 f(x)

如果知道函数的特征,如函数是一次函数,二次函数等,那么依据函数的特征,可以设出待定系数,进而求解。 例 6:f(x)是二次函数 ,且 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)的解析式 练习 7: f

27 19 ? f ? f ( x)? ? = 8 x ? 2

求一次函数 f(x)

4.构造方程组法
如果给出关于 f(x)的一个方程,那么可考虑再构造一个方程,两个方程组成一个方程组,进而解方程组求得 f(x) 例 8.已知 3 f ( x) ? 5 f ( ) ? 2 x ?1 例 9. 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 4 x

1 x

求 f(x)=

?3x 2 ? x ? 5 ( x ? 0) 8x

1 x

求 f ( x) ?

12 8 x? 5 5x
求 f(x) 、 g(x)

例 10.f(x)+2f(-x)=x+1 求 f(x)=? 例 11.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)+2g(x)=x+1 5.由函数奇偶性求 f(x)的解析式 12.定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=(1-x)x 解:设 x<0 则-x>0

,求当 x<0 时,f(x)=?

f (? x) ? (1 ? x)(? x) ? ? f ( x)

? f ( x) ? x(1 ? x)

? x(1 ? x) ? ? f ( x ) ? ?0 ? x(1 ? x) ?

x?0 x?0 x?0
2

13.f(x)为奇函数,x<0 时, f ( x) ? x ? 2x ,求 x>0 时,f(x)=?

6.赋值法:
如果函数 f(x)满足条件中有两个相互独立的变量,可取变量中的一些特殊值,从而达到求 f(x)的目的

例 14.已知 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 解: (赋值法) 一法:令 x=0 二法:令 x=y 练 15. f(-y)=f(0)-y(-y+1) f(0)=f(x)-x(2x-x+1)

且 f(0)=1 求 f(x)

?f(-y)=1-y(-y)

2 ?f(x)=1+x(1+x)= x ? x ? 1

2 ?f(x)= x ? x ? 1

f(x)对一切实数 x、y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立

且 f(1)=0

求 f(X)=?

7.求复合函数的解析式:
? x 2 ( x ? 0) g ( x) ? ? ??1( x ? 0)
f ? g ( x)? g ? f ( x)?

例 16.

f(x)=2x-1

,求



1 (x ? x ) 练习 17.设 f(x)= 2
练习 18.已知

? x ( x ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? x ( x ? 0)



f ? g ( x)?

=?

g ? f ( x)?

f ? f ? f ( x)?
2

? =27x+13
,求 f(x)=?

求 f(x)=?

练习 19. f(cosx)= sin x

2.2 定义域 函数定义域的确定:
(1)分式的分母不等于 0 (2)偶次根式被开方式 ? 0 (3)对数式的真数>0,底数>0 且不等于 1

f ? n ( x) ?
(4)指数为 0 时,底数不等于 0 (5)

1 f ( x)
n

f ( x) ? 0

注意的问题:
(1)给出的函数解析式,解析式有意义的集合为定义域。 (2)实际问题或几何问题,解析式有意义,还得实际问题、几何问题有意义 (3)由

f ? g ( x)?

的定义域,确定 f(x)的定义域(复合函数求定义域)

(4)利用基本初等函数(分式、指数、对数、三角)求定义域

y?
例 1.求

1 1? 1 x 的定义域

?x x ? 0 且 x ? ?1?
f ? g ( x)?
的定义域

2. 已知 f(x)的定义域,求 2.已知 f(x)的定义域 3.已知

?1, 4 ? ,求 f ? x 2 ? 的定义域

?1, 2? ? ? ?2, ?1?

f ? g ( x)? f ? g ( x)?

的定义域,求 f(x)的定义域 (4,6)

3.已知 f(2x+4)的定义域(0,1) ,求 f(x)的定义域 4.已知 的定义域,求

f ?? ( x)?

的定义域

4.若 f(2x-1)的定义域为

? ?3,3? ,求函数 f(x-1)的定义域

? ?6, 6?


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