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高一期中试卷


2014-2015 学年度高一下学期期中考试 数 学 试 题
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) ,满分 150 分,测试时间 120 分钟。 第一部分(选择题) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,a=2,b= 2,A=45°,则 B 等于( ) A.45° B.30° C.60° D.30°或 150° 2.若△ABC 中,sin A∶sin B∶sinC=2∶3∶4,那么 cos C=( ) 1 1 2 2 A.- B. C.- D. 4 4 3 3 3.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球的组合体

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为( ) 360 580 A. B. 3 3 C.240 D.200

5.设 l , m 是两条不同直线,? , ? 是两个不同平面,下列命题正确的是( A.若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , l P m ,则 m ? ? B.若 l P ? , l P ? ,则 ? //? D.若 l P ? , ? ? ? ,则 l ? ?



6. 已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为 8 , 则这个球的表面积是 ( ) A. 8? B. 12? C. 16? D. 20? 7.在四面体 PABC 中, PA、PB、PC 两两垂直,且均相等, E 是 AB 的中点, 则异面直线 AC 与 PE 所成的角为( ) ? ? ? ? A. B. C. D. 6 4 3 2 8.若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,则 a 的取值范围是() A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.(1,2) )

9.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的 和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] B. (-∞,-1]∪[3,+∞)

D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 7n+45 S 10.已知两个等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,且 n = , n+3 Tn 则使得 为整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3

C.[3,+∞)

an bn

) C.4 D.5 )

11.直角三角形的斜边长为 2 ,则其内切圆半径的最大值为( A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 2

D. 2( 2 ? 1)

12. 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 a1 ?

1 ,且对任意正整数 m 、 n ,都有 3

,若 S n ? k 恒成立则实数 k 的最小值为( am? n ? a m? a n A.
1 2

) D. 2

B.

2 3

C.

3 2

第二部分(非选择题) 二、填空题(每题4分,共16分) 13.已知-1,a1,a2,8 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,那么

a1a2 b2

的值为________. 14.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱 柱的底面边长为 2 ,则该三角形的斜边长为 . 15.如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值 为 a,最小值为 b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是________.

16.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①B,E,F,C 四点共面; ②直线 BF 与 AE 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD;. ⑤折线 B→E→F→C 是从 B 点出发, 绕过三角形 PAD 面,到达点 C 的一条最短路径. 其中正确的有_____________.(请写出所有符合条件的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 一个各项都是正数的无穷等差数列{ an }, a1 和 a3 是方程 x 2 ? 8x ? 7 ? 0 的两个 根,求它的通项公式.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC ? 90 , PA ? 平面 ABC , E , F 分别为
PB , PC 的中点.
P

(1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 PAB .
F E

A B

C

19.(12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? CA ? 1 , AA1 ? 2 , 求 AB1 与侧面 AC1 所成的角.

C1 A1 B1

C A B

20.(本小题满分 12 分) 为绘制海底地貌图,测量海底两点 C , D 间的距离,海底探测仪沿水平方向 在 A , B 两点进行测量, A , B , C , D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得
?BAC ? 30 , ?DAC ? 45 , ?ABD ? 45 , ?DBC ? 75 , A , B 两点的距离为 3 海里.

(1)求 ?ABD 的面积;
D 之间的距离. (2) 求C ,
A B

D

C

20.(本小题满分 12 分) 已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC, AB ? 1, BC ? 2, CD ? 1 ? 3, 过 A 作 AE ? CD ,垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ? EC . (1) 求证: BC ? 面CDE ; (2) 求证: FG // 面BCD ; (3) 在线段 AE 上找一点 R ,使得面 BDR ? 面 DCB ,并说明理由.
D D E F · C G E A B



F

C

A

B

22.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? 2S n ? S n?1 ? 0 (n ? 2) , a1 ? (Ⅰ)求证:{
1 }是等差数列; Sn
1 . 2

2 2 2 (Ⅱ)若 bn ? 2(1 ? n)an (n ? 2) ,求证: b2 + b3 +…+ bn ? 1 .

2013-2014 学年度高一数学下学期期中考试答案
一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分)
1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 6 B 7 C 8 C 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题(本题共 4 个小题。每小题 4 分,共 16 分)
13.-5 ③; 14. 2 3 ; 错误!未找到引用源。 15 πr2?a+b? ; 2 16._①②

三、

解答题(总分 44 分)

17.(本小题满分 10 分). 解:a1+a3=8, a1a3=7,又{an}为正数等差数列,所以 a1=1,a3=7,---------5 分 设公差为 d,又∵a3=a1+2d,∴7=1+2d,故 d=3,an=3 n-2.----------10 分 18.(本小题满分 12 分) 证明:(1)在 ?PBC 中,? E , F 分别为 PB, PC 的中点? EF // BC ………………2 分 又 BC ? 平 面 ABC , EF ? 平 面 ABC ? EF // 平 面

ABC …………………………………4 分
(2)由条件, PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC

P

F E

? PA ? BC ? ?ABC ? 90? ,
即 AB ? BC ,………………………………8 分 由 EF //BC ,? EF ? AB , EF ? PA 又 PA ? AB ? A , PA, AB 都在平面 PAB 内
A

C B

? EF ? 平面 PAB

又? EF ? 平面 AEF ? 平面 AEF ? 平面 PAB ………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分)

D
解:取 A1C1 的中点 D ,连接 B1 D,AD , ∵ AB ? BC ? CA ? 1 ∵ AA 1 ? 面A 1 B1C1 ∴ B1 D ? A1C1 , ∴ AA 1 ? B1 D ∴ B1 D ? 面ACC1 A1 ,

C1 B1

A1

C A B

∴ AD 是 AB1在平面ACC1 A1 内的射影

∴ ?B1 AD 是 AB1与平面ACC1 A1 所成角 ∵ B1 D ?

6分

3 , AB1 ? AA12 ? A1 B12 ? 3 2 B1 D 1 ? , ∴ ?B1 AD ? 300 AB1 2
0

∴ Rt?B1 AD 中, sin ?B1 AD ?

∴ AB1与平面ACC1 A1 所成角是 30 .

12分

20.(本小题满分 12 分).

解: (1)如图所示,在 ?ABD 中

? ?BAD ? ?BAC ? ?DAC ? 30? ? 45? ? 75? ? ?ADB ? 60?

AB AD 3 sin 45? ? AD ? ? 2 sin 60? 由正弦定理可得, sin ?ADB sin ?ABD , …………3 分
则 ?ABD 的面积

S?

1 1 6 ? 2 3? 3 AB ? AD sin ?BAD ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 4 4 (平方海里)……6 分

(2)? ?ABC ? ?ABD ? ?DBC ? 45? ? 75? ? 120 ? , ?BAC ? ?BCA ? 30?

? BC ? AB ? 3 ? AC ? 3 ……………………………………………………9 分
在 ?ACD 中,由余弦定理得, CD ? AC ? AD ? 2 AC ? AD cos?DAC ? 5
2 2 2

即 CD ? 5 (海里)

3? 3 4 答 : ?ABD 的 面 积 为 平方海里, C , D 间的距离为
里.……………………12 分

5 海

21:(本小题满分 12 分) (1)由已知得: DE ? AE, DE ? EC , ? DE ? 面ABCE .-------2 分

? DE ? BC , 又BC ? CE ,? BC ? 面DCE .-------4 分

(2)取 AB 中点 H ,连接 GH , FH ,

? GH // BD , FH // BC , ? GH // 面BCD , FH // 面BCD .-------6 分

?面FHG // 面BCD ,

?GF // 面BCD .-------8 分

(3)分析可知, R 点满足 3 AR ? RE 时, 面BDR ? 面BDC . 证明:取 BD 中点 Q ,连结 DR 、 BR 、 CR 、 CQ 、 RQ 容易计算

CD ? 2, BD ?

5 13 21 , CR ? , DR ? , CQ ? 2 , 2 2 2 5 21 5 , , DR ? , BD ? 21 ,可知 RQ ? 2 2 2

在 BDR 中

BR ?

∴在 CRQ 中, CQ2 ? RQ2 ? CR2 ,∴ CQ ? RQ .-------10 分 又在 CBD 中, CD ? CB, Q为BD中点?CQ ? BD ,

?CQ ? 面BDR , ?面BDC ? 面BDR .-------12 分

22.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)(1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2)-----------2 分 1 1 1 1 Sn≠0,∴ - =2,又 = =2---------------------4 分 Sn S1 a1 Sn-1 1 ∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列.---------------5 分 Sn 1 1 (Ⅱ)由(1) =2+(n-1)2=2n,∴Sn= -------------7 分 Sn 2n 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=- 2n(n-1) (n=1) ?2 1 n=1 时,a =S = ,∴a =? ---------9 分 1 2 - (n≥2) ? 2n(n-1)
1 1 n

1

1 由此知 bn=2(1-n)an= ---------------10 分 n 1 1 1 1 1 1 2 2 ∴b2 +b3 +…+bn2= 2 + 2 +…+ 2 < + +…+ 2 3 n 1×2 2×3 (n-1) n 1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1.---------12 分 2 2 3 n-1 n n


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