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2015-2016高中数学 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用练习 新人教A版选修1-2


1 .2
基 础 梳 理

独立性检验的基本思想及其初步应用

1.分类变量的定义. 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. 2.2×2 列联表. 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(称为 2×2 列联表)为: y1 x1 x2 总计 3.独立性检验. a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

,基 础 自 测 1.下列变量中不属于分类变量的是(B)

A.性别

B.吸烟

C.宗教信仰 D.国籍
1

解析:“吸烟”不是分类变量, “是否吸烟”才是分类变量.故选 B. 2.下面是一个 2×2 列联表 y1 x1 x2 合计 则表中 a、b 的值分别为(C) a 2 b y2 21 25 46 合计 73 27 100

A.94、96 B.52、50 C.52、54 D.54、52
解析:由 a+21=73,得 a=52,由 b+46=100,得 b=54. 3.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选修该课程的一些学生情况,具体数据 如下表:

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 K = 50×(13×20-10×7) ≈4.844>3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种 23×27×20×30 判断出错的可能性为____________. 解析:P(K >3.841)=0.05,判断出错的可能性为 5%. 答案:5%
2 2

2

(一)重点 通过案例理解分类变量、列联表、独立性检验的含义,利用列联表的独立性检验进行估 计. (二)难点 独立性检验的基本思想,随机变量 K 的含义. (三)知识结构图
2

2

(三)思维总结 (1)直观分析的两种方法. ①频率分析. 通过对样本的每个分类变量的不同类别和事件发生的频率的大小比较来分析变量之间 是否有关系,通常通过列联表列出两个分类变量进行分析. 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(称为 2×2 列联表)为: y x x1 x2 总计 y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

在列联表中,如果两个分类变量没有关系,则应该满足 ad-bc≈0.因此|ad-bc|越小, 说明两个分量之间的关系越弱;|ad-bc|越大,说明两个分类变量之间的关系越强. ②图形分析. 利用等高条形图来分析两分类变量之间是否具有相关关系, 形象、 直观地反映两个分类 变量之间的总体状态和差异大小,进而推断它们之间是否有关系.

a.绘制等高条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数据不相等,但对应的条形
图的高度是相同的,两列的数据对应不同颜色.b.等高条形图中有两个高度相同的矩形,每 一 个矩 形中都 有两 种颜色 ,观 察下方 颜色区 域的 高度 ,如果 两个高 度相 差比 较明显

?即 a 和 c 相差很大?,就判断两个分类变量之间有关系. ? a+b c+d ? ? ?
(2)独立性检验及其基本思想. ①独立性检验. 利用随机变量 K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两 个分类变量的独立性检验. 利用上诉公式求出 K 的观测值为
3
2 2

n(ad-bc) k= . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 再得出 X 与 Y 有关系的程度,通常用到以下数据: (i)如果 k>6.635,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 X 与 Y 有关系; (ii)如果 k>2.706,在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 X 与 Y 有关系; 值得注意的是: 观察值 k 越大, 越有利于结论“X 和 Y 有关系”, 越小越有利于结论“X 和 Y 没有关系”.因此,可以建立一定的规则:当 k≥k0 时就说 X 与 Y 有关系,k<k0 时就说 X 和 Y 没有关系,故求得观测值后只要与建立的规则进行比较即可得出结论. ②独立性检验的基本思想. 独立性检验的基本思想是要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度, 首 先假设该结论不成立, 即假设“两个分类变量没有关系”成立, 在该假设下我们构造的随机 变量 K 应该很小,如果由观察数据计算得到 K 的观测值 k 很大,则在一定程度上说明假设 不合理,根据随机变量 K 的含义,可以通过 P(k≥6.635)≈0.01 来评价假设不合理的程度, 由实际计算出 k>6.635, 说明假设不合理的程度约为 99%, 即两个分类变量有关系这一结论 成立的可信度为 99%,不合理的程度可查下表得出:
2 2 2

2

1.独立性检验是对两个分类变量间是否有关系的一种案例分析方法,其分析方法有: 等高条形图法和利用假设的思想方法,计算出某一个随机变量 K 的观测值来进行判断. 2.在等高条形图中,可以估计满足条件 X=x1 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例为 a ,也可以估计满足条件 X=x2 的个体中具有 Y=y2 的个体 a+b
2

4

c 所占的比例为 ,两个比例的值相差越大,两个分类变量相关的可能性就越大. c+d 3.独立性检验的一般步骤: (1)根据样本数据制成 2×2 列联表; n(ad-bc) 2 2 (2)根据公式 K = 计算 K 的观测值; (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) (3)比较 K 与临界值的大小关系作统计推断.
2 2

1.在等高条形图形中,下列哪两个比值相差越大, “两个分类变量有关系”成立的可能 性越大(C)

A. C.

a d c a 与 B. 与 a+b c+d a+b c+d a c a c 与 D. 与 a+b c+d a+b b+c

2.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表; 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

合计 60 50 110

40 20 60

n(ad-bc) 2 由K= 算得, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 110(40×30-20×20) K= ≈7.8. 60×50×60×50
2 2

附表: P(F ≥k0) k0 参照附表,得到的正确结论是(A)
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
3.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况,具体数据如
5

下表: 专业 性别 男 女 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中数据得到, 50(13×20-10×7) k= ≈4.844, 因为 k>3.841, 所以确定主修统计专业与性别有关 20×30×23×27 系,那么这种判断出错的可能性为________. 解析:∵k=4.844>3.841,∴有 95%的把握可以确定主修统计专业与性别有关,那么 这种判断出错的可能性为 5%. 答案:5%
2

1.在研究两个分类变量之间是否有关系时,可以粗略地判断两个分类变量是否有关的 是(B)

A.散点图 B.等高条形图 C.2×2 列联表 D.以上均不对
2.对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k,说法正确的是(B)
2

A.k 越大, “X 与 Y 有关系”可信程度越小 B.k 越小, “X 与 Y 有关系”可信程度越小 C.k 越接近 0, “X 与 Y 无关”程度越小 D.k 越大, “X 与 Y 无关”程度越大
3.下面是一个 2×2 列联表:

y1 x1 x2 总计 则表中 a、b 的值分别是(C) 52 2 54

y2 21 a 46

总计 73 b 100

A.94、96 B.25、21 C.25、27 D.27、25
4.分类变量 x 和 y 的列联表如下,则(C)
6

y1 x1 x2 总计 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

A.ad-bc 越小,说明 x 与 y 的关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 x 与 y 的关系越弱 C.(ad-bc)2 越大,说明 x 与 y 的关系越强 D.(ad-bc)2 越小,说明 x 与 y 的关系越强
n(ad-bc) 2 2 解析:由 K = 知,(ad-bc) 越大,K 值越大,说 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2 2

明 x 与 y 的关系越强. 5.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电 脑游戏 不喜欢玩 电脑游戏 总数 18 认为作业不多 9 总数 27

8 26

15 24

23 50

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为(B)

A.99% B.95% C.90% D.无充分依据
解析:由表中数据计算 50×(18×15-8×9) 2 K= ≈5.059, 26×24×27×23 而 K =5.059>3.841,所以约有 95%的把握认为两变量之间有关. 6.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关,用两种不同剂量的电离辐射 照射小白鼠,在照射后 14 天内的结果如下表所示: 死亡 第一种剂量 第二种剂量 合计 14 6 20 存活 11 19 30 合计 25 25 50
2 2

进行统计分析时的统计假设是________. 解析:根据独立性检验的基本思想,可知其类似反证法,即要确认“两个分类变量有关 系”这一结论成立的可信程度,首先假设结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关

7

系”成立,对本题,进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关” . 答案:小白鼠的死亡与剂量无关 7.(2013·韶关二模)以下四个命题中: ①在一次试卷分析中, 从每个试室中抽取第 5 号考生的成绩进行统计, 是简单随机抽样; ②样本数据 3,4,5,6,7 的方差为 2; ③对于相关系数 r。|r|越接近 1,则线性相关程度越强; ④通过随机询问 110 名性别不同的行人, 对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥 进行抽样调查,得到如下列联表: 男 走天桥 走斑马线 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n(ad-bc) 2 由K= 可得, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 110×(40×30-20×20) K= =7.8, 则有 99%以上的把握认为“选择过马路方式与性 60×50×60×50
2 2

别有关”. 附表: P(K ≥k0) k0 其中正确命题的序号是________. 答案:②③④ 8.某学校为了调查喜欢语文学科与性别的关系,随机调查了一些学生情况,具体数据 如下表: 类别 性别 男 女 不喜欢语文 13 7 喜欢语文 10 20
2 2

0.05 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

为了判断喜欢语文学科是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 K 的观测值 k = 50×(13×20-10×7) ≈4.844,因为 k≥3.841,根据下表中的参考数据: 23×27×20×30 P(K ≥k0) k0
2 2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

8

P(K ≥k0) k0

2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

判定喜欢语文学科与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为________. 答案:5% 9.调查某班学生,按性别和籍贯分类得调查表如下: 天津 男 女 合计 12 6 18 非天津 28 19 47 合计 40 25 65

性别对籍贯的影响中,可信度小于________. 65(12×19-28×6) 解析:k= ≈0.277 40×25×18×47 ∵0.277<0.455,∴查表可知小于 0.50. 答案:50% 10.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人, 女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动,你能否判断性别与休闲方 式是否有关系? 解析:首先建立列联表如下 休闲方式为看电视 女性 男性 合计 43 21 64 休闲方式为运动 27 33 60 合计 70 54 124
2

∵a=43,b=27,a+b=70,c=21,d=33,c+d=54,
9

a+b+c+d=124,a+c=64,b+d=60, n(ad+bc) 124×852 ∴k= = ≈6.201>5.024, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 14 515 200 即有 97.5%的把握认为休闲方式与性别有关. 11. (2013·深圳二模)2013 年 3 月 14 日, CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规 使用未经淡化海砂的现象. 为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关, 某大学实 验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐 久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 25 15 40 混凝土耐 久性不达标 5 15 20 总计 30 30 60
2 2

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提 下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据: P(K ≥k) k
2

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

解析:(1)提出假设 H0:使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关. 根据表中数据,求得 K 的观测值 60×(25×15-15×5) k= =7.5>6.635. 2 30 ×40×20 查表得 P(K ≥6.635)=0.010. ∴能在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标 有关. (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取 6 个,其中应抽取“混凝土耐久性 25 达标”的为 ×6=5, “混凝土耐久性不达标”的为 6-5=1, 30 “混凝土耐久性达标记”为 A1,A2,A3,A4,A5” ;“混凝土耐久性不达标”的记为 B. 在这 6 个样本中任取 2 个,有以下几种可能:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A1,B),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,B),(A3,A4),(A3,A5),(A3,B),(A4,A5), (A4,B)(A5,B),共 15 种. - 设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A,它的对立事件 A 为“取出的 2 个
2 2 2

10

样本至少有 1 个混凝土耐久性不达标”,包含(A1,B),(A2,B),(A3,B),(A4,B),(A5, B),共 5 种可能. 5 2 - ∴P(A)=1-P( A )=1- = . 15 3 2 即取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是 . 3 12.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上 各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在(495,510]的产品为合 格品,否则为不合格品.左下表是甲流水线样本频数分布表,右下图是乙流水线样本的频率 分布直方图.

甲流水线样本频数分布表 (1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线分别任取 1 件产品,该产品恰好是合格品 的概率; (3)由以上统计数据完成下面 2×2 列联表, 能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认 为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关? 甲流水线 合格品 不合格品 合计 n(ad-bc) 2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

乙流水线 b= d=

合计

a= c=

n=

P(K ≥k0) k0

2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解析:(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下:

(2)由题表知甲样本中合格品数为 8+14+8=30,由题图知乙样本中合格品数为(0.06

11

30 36 +0.09+0.03)×5×40=36, 故甲样本合格品的频率为 =0.75, 乙样本合格品的频率为 40 40 =0.9. 据此可估计从甲流水线任取 1 件产品, 该产品恰好是合格品的概率为 0.75.从乙流水线 任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9. (3)2×2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合计
2

乙流水线 b=36 d=4 40

合计 66 14 n=80

a=30 c=10 40

n(ad-bc) 2 ∵K = = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 80×(120-360) ≈3.117>2.706. 66×14×40×40 ∴在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的 选择有关. ?品味高考 1.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查 了 500 位老人,结果如下:
2

性别 是否需要志愿者 需要 不需要

男 40 160

女 30 270

(1)估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提 供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论, 能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供 帮助的老年人的比例?说明理由. n(ad-bc) 2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

P(K ≥k0) k0

2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

解析: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助, 因此该地区老年人中需
12

70 要帮助的老年人的比例的估计值为 =14%. 500 500×(40×270-30×160) 2 (2)K 的观测值 k= ≈9.967,由于 9.967>6.635,所以在 200×300×70×430 犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关. (3)由(2)的结论知, 该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关, 并且从样本 数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要志愿者提供帮助的比例有明显差异, 因此 在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽 样方法抽样调查,比采用简单随机抽样方法抽样调查更好. 2.(2014·辽宁卷)某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进 行了抽样调查,调查结果如下表所示:
2

喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70

不喜欢甜品 20 10 30

合计 80 20 100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食 习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系学生,其中 2 名习惯甜品,现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n(ad-bc) 2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K ≥k0) k0
2 2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

解析:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算.得 n(ad-bc) 2 K= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 100×(60×10-20×10) 100 = 70×30×80×20 21
2 2

≈4.762. 由于 4.762>3.841. 所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系的学生任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω ={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,

13

b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}. 其中 a2 表示喜欢甜品的学生 i=1,2.bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1, b3),(b1,b2,b3)}. 7 事件 A 是由 7 个基本事件组成.因而 P(A)= . 10

14


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