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2013年北京市石景山区高三统一测试(一模)数学(文科


2013 年石景山区高三统一测试

数学(文科) 4.1
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项. 1.设集合 M ? {x | x2 ? 4} , N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N 等于( A. ? ?2,2?
2



B. ?2?

+? C. ?2, ?

+ D. ? ?2, ??


2.若复数 (a - i ) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ?

2

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点 数为 n.向量 p =(m,n), q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为 (
[

?

?

?

?



A.

1 3

B.

1 4

C. )

1 6

D.

1 12

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A. ?3 C. ? B. 2 D.

1 2

1 3

高三数学试卷(文科)第 1 页(共 12 页)

5.设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



6.函数 y ? 2sin x ? ) ? x ? ? ) 的最大值与最小值之和为( ( (0 3 A. 0 B. 2 ? 3 C.-1

?



D. ?1 ? 3

7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱 长度是( A. C. 5 ) B. 2 2

2
正(主)视图

3

侧(左)视图

2

2

13

3

2 D. 29

8.若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:

俯视图

①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、Q 关于原点对称. 则称点对[P, Q]是函数 y ? f (x) 的一对“友好点对” (注:点对[P, Q]与[Q , P] 看作同一对“友好点对” ). 已知函数 f ( x) ? ? A. 0

?log 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C. 2 D. 3

)对.

B. 1

高三数学试卷(文科)第 2 页(共 12 页)

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

9.函数 f ( x) ? ( x ? a )( x+2) 为偶函数,则实数 a ? 10.在△ ABC 中,若 ?B ?

. .

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4

11. 在等差数列 an ? 中, a1 = -2013,其前 n 项和为 S n ,若 等于
2

?

S12 S10 =2,则 S2 013 的值 ? 12 10



12.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线 l 交抛物线 于 A、B 两点,若 ?AQB ? 90? ,则直线 l 的方程为 .

13.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, BC 若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?



D

F

C

E 14.观察下列算式:

13 ? 1 ,

A

B

23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 , 4 3 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
? ?
3

?

?

若某数 n 按上述规律展开后, 发现等式右边含有 2013 ” “ 这个数, n ? _______. 则

高三数学试卷(文科)第 3 页(共 12 页)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 f ( A) ?

3 , a ? 2, 2

B?

? ,求△ABC 的面积. 3

16.(本小题满分 13 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之 间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标; (Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的 概率; (Ⅲ) 小王在此期间也有两天经过此地, 这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计 算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率.

PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 3 5 6 8 10 1 7 9 0 5 4 6

3 6 7

高三数学试卷(文科)第 4 页(共 12 页)

17 . (本小题满分 14 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? 90? ,

C? B? 3, B 4. D?1, A PD?平面 ABCD , A
(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 相交于点 O,在棱 PC 上是否存在 点 E ,使得 OE ∥平面 PAB ?若存在,确定点 E 位置.

P

A
O

D C

B

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0, ??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成 立,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 ,左 2 2 a b

焦点 F1 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的距离等于长半轴长. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,线段 MN 的中垂 线与 x 轴相交于点 P(m,0) ,求实数 m 的取值范围.

高三数学试卷(文科)第 5 页(共 12 页)

20. (本小题满分 13 分) 给 定 有 限 单 调 递 增 数 列 {xn } (n ? N ? , n ? 2) 且 xi ? 0(1 ? i ? n) , 定 义 集 合

A ? {( xi , x j )1 ? i, j ? n, 且 i, j ? N ?} . 若 对 任 意 点 A1 ? A , 存 在 点 A2 ? A 使 得
OA1 ? OA2 ( O 为坐标原点) ,则称数列 {xn } 具有性质 P .
(Ⅰ)判断数列 {xn } : ? 2 ,2 和数列 { yn } : ? 2,?1,1,3 是否具有性质 P ,简述理由. (Ⅱ)若数列 {xn } 具有性质 P ,求证: ①数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ; ②若 x1 ? ?1 , x2 ? 0 且 xn ? 1 ,则 x2 ? 1 .

高三数学试卷(文科)第 6 页(共 12 页)

2013 年石景山区高三统一测试

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

A

D

A

A

B

D

C

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14

2

7? 12

?2013

x ?1

2

45

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x
????1 分

?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2
? 3 sin(2 x ?
令?

?
3

)

????3 分

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

+2k?
????5

?


5? ? +k? ? x ? +k? 12 12

函数 f ( x ) 的单调递增区间 ?

? ? 5? ? ? 12 +k?, +k? ? (k ? Z ) . 12 ? ?

????6 分

高三数学试卷(文科)第 7 页(共 12 页)

(Ⅱ)由 f ( A) ?

? 1 3 , sin(2 A ? )= , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? 3 3 3 3
????8 分 ????10 分

因为 A 为 ?ABC 内角,由题意知 0 ? A ?

5 ? ? ? ,解得 A ? . 3 6 4 a b ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
因此 2 A ? 由A?

?

?
4

,由 B ?

?
3

,可得 sin C ?

6? 2 , 4

????12 分

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

????13 分

2

2

4

2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) X ?

21 ? 26 ? 37 ? 59 ? 60 ? 63 ? 85 ? 86 ? 104 ? 107 ? 64.8 ,????2 分 10
????3 分

64.8 在 35 与 75 之间,空气质量属于二级,未超标. (Ⅱ)记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A,

P ( A) ?

2?4 3 ? . 10 5

????6 分

(Ⅲ)由茎叶图知 PM2.5 数据在 0 ? 35 之间的有 21、26,PM2.5 数据在 35 ? 75 之间 的有 37、59、60、63, 从这六个数据中,任意抽取 2 个的结果有: (21,37),(21,59),(21 ,60),(21,63), (26,37),(26,59),(26 ,60),(26,63), (21,26),(37,59),(37 ,60),(37,63), (59,60),(59,63),(60 ,63) . 共有 15 个. ????10 分

记 “这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事 件 B, P ( B ) ?

8 . 15

????13 分

高三数学试卷(文科)第 8 页(共 12 页)

17. (本小题满分 14 分) 证明: (I)在直角梯形 ABCD 中, AD ? 1, AB ? 3 所以 BD ? 2, CD ? 2 3 ,所以 BD ? CD . 又因为 PD ? 面ABCD ,所以 PD ? BD 由 PD ? BD ? D ,所以 BD ? 面PCD 所以 BD ? PC (II)存在点 E ,使得 OE ∥平面 PAB ,此时 PE ? 证明:在 PC 上取点 E 使得 PE ? 由 AD // BC , ????7 分 ????4 分

1 PC 5

????9 分

1 PC ,连接 OE. 5

AD AO 1 ? ? BC OC 4 PE AO 1 ? ? ,可得 OE // PA 所以 EC OC 4
又因为 PA ? 面 PAB 所以 OE ∥平面 PAB 18. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)在区间 ? 0,??? 上, f ?( x) ? a ?

????13 分

????14 分

1 ax ? 1 ? . x x

????????1 分 ?????3 分

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0,??? 上的减函数; ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间是 ? 0,??? ,无递增区间;
高三数学试卷(文科)第 9 页(共 12 页)

1 a

1 a

②当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 ( , ??) ,递减区间是 (0, ) . (II)因为函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 解得 a ? 1 ,经检验满足题意. 分 由已知 f ( x) ? bx ? 2, 则 f ( x) ? bx ? 2,1 ? 分 令 g ( x) ? 1 ?

1 a

1 a

????6 分

????7

1 ln x ? ?b x x

???????8

1 1 ? ln x ln x-2 1 ln x ? , g ?( x ) ? ? 2 ? 则 ? x x x x2 x2

???????10 分 ???????12

易得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, 分 所以 g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知

?

?

?

?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

????14 分

1 c 1 ? , 可得 F1 (? a, 0) , a 2 2
......3 分 .....

1 | ? a ?3| 由 F1 到直线的距离为 a ,所以 2 ?a, 2
解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 所求椭圆方程为

3
........ 分 ........5

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (1,0) , 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . .. 分 ..7
2 2 2 2

因为 l 过点 F2 ,所以 ? ? 0 恒成立 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

?6k 8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
高三数学试卷(文科)第 10 页(共 12 页)

MN 中点 (

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

. .. .. . ..9 . . .. . .. ....... .......10

分 当 k ? 0 时,MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 分 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 令 y ? 0 ,? m ?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2
.....11 分 ....

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得? 0 ? m ? 1 2 k k 4 1 4
....... .......13 分

综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)数列 {xn } 具有性质 P ,数列 { yn } 不具有性质 P .

对于数列 {xn } ,若 A1 (?2,2) 则 A2 (2,2) ;若 A1 (?2,?2) 则 A2 (2,?2) ;所以具有性 质 P .对于数列 { yn } ,当 A1 (?2,3) 若存在 A2 ( x, y) 满足 OA ? OA2 ,即 ? 2 x ? 3 y ? 0 , 1 即 分 (Ⅱ)①取 A1 ( xk , xk ) ,又数列 {xn } 具有性质 P ,所以存在点 A2 ( xi , x j ) 使得

y 2 ? ,数列 { yn } 中不存在这样的数 x, y ,因此不具有性质 P . x 3

??????4

OA1 ? OA2 ,即 xk xi ? xk x j ? 0 ,又 xk ? 0 ,所以 xi ? x j ? 0 . ??????6 分
②由①知, 数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ; 又数列 {xn } 是单调递 增数列且 x2 ? 0 ,所以 1 为数列 {xn } 中的一项. 假设 x2 ? 1 ,则存在 k (2 ? k ? n, k ? N ) 有 xk ? 1 ,所以 0 ? x2 ? 1 此时取 A1 ( x2 , xn ) , 数列 {xn } 具有性质 P , 所以存在点 A2 ( xt , xs ) 使得 OA ? OA2 , 1
高三数学试卷(文科)第 11 页(共 12 页)
?

所以 x2 xt ? xn xs ? 0 ;只有 x1 ? 0 ,所以当 xt ? ?1 时 x2 ? xn xs ? xs ? x2 ,矛盾; 当 xs ? ?1 时 x2 ?

xn ? 1 ,矛盾.所以 x2 ? 1 . xt

????13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

高三数学试卷(文科)第 12 页(共 12 页)


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