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《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学:第三章 指数函数、对数函数和幂函数(含解析)




3



指数函数、对数函数和幂函数

第 1 课时 分数指数幂
教学过程
一、 问题情境 3 2 n * 3 =27? 3=错误!未找到引用源。; x =3? x=±错误!未找到引用源。;当 n 为奇数时,x =a(n>1, n∈N )? x=错
误!未找到引用源。;当 n 为偶数时,x =a(n>1, n∈N )? x=±错误!未找到引用源。(a>0).
n
*

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1 问题 2 问题 3 如果 x =a,那么 x 称为 a 的什么?如果 x =a,那么 x 称为 a 的什么?[ ]
2 3 1

在“当 n 为奇数时,x =a? x=错误!未找到引用源。”中,x 称为什么?错误!未找到引用源。称为什
n
2

么?x 可以是分数甚至无理数么?[ ] 观察下列变形:错误!未找到引用源。=2 ? 错误!未找到引用源。=2 =错误!未找到引用源。; 错
10 5

误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 通过讨论,给出根式的定义和分数指数幂的定义. 1. 如果 x =a(n>1,且 n∈N ),那么称 x 为 a 的 n 次实数方根.错误!未找到引用源。叫根式,其中 n 叫做根指
n
*

数,a 叫做被开方数. 2. 如果 x =a,且 n 为奇数,那么 x=错误!未找到引用源。.如果 x =a,且 n 为偶数,a>0,那么 x=±错误!未找到
n n

引用源。. 3. 设 a>0, m, n 均为正整数,则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。. (二) 理解概念 1. 0 的 n 次实数方根等于 0. 2. 0 的正分数指数幂为 0, 0 的负分数指数幂无意义. 3. 指数幂的概念从整数指数推广到有理数指数,对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质保持不变. 分数指数幂的运算性质: (1) a a =a (a>0, r, s∈Q);
r s r+s

(2) 错误!未找到引用源。=a (a>0, r, s∈Q);
r-s rs

(3) 错误!未找到引用源。=a (a>0, r, s∈Q); (4) (ab) =a b (a>0, b>0, r∈Q).
r r r

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P60 例 1)求下列各式的值: (2) 错误!未找到引用源。; (见学生用书课堂本 P33) [处理建议] 指导学生熟练掌握根式的化简和计算. [规范板书] 解 (1) 错误!未找到引用源。=5. (2) 错误!未找到引用源。=-2. (1) 错误!未找到引用源。;

(3) 错误!未找到引用源。; (4) 错误!未找到引用源。.

(3) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2. (4) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=π -3. [题后反思] 先对根号里面作简单处理,其实还可以运用如下性质解决问题:错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 变式 设-3<x<3,化简错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引 [处理建议] 指导学生进一步理解根式化简的原则. [规范板书] 解 用源。=|x-1|-|x+3|. 因为-3<x<3,所以当-3<x≤1 时,原式=-2x-2;当 1<x<3 时,原式=-4. [题后反思] 根式的化简取决于根指数的奇偶性. 【例 2】 (教材 P61 例 2)求下列各式的值: (4) 错误!未找到引用源。. (见学生用书课堂本 P34) [处理建议] 指导学生理解分数指数幂运算的方法. [规范板书] 解 (1) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=10.
2

(1) 错误!未找到引用源。; (2) 错误!未找到引用源。; (3) 错误!未找到引用源。;

(2) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 =4. (3) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=3 =错误!未找到引用源。.
-3
3

(4) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=3 =27. [题后反思] 分数指数幂化简时的技巧与方法:化繁为简,由里到外. 变式 化简:[(1-错误!未找到引用源。) 错误!未找到引用源。-(1+错误!未找到引用源。) +1.
2

-1

[规范板书] 解

原式=(错误!未找到引用源。-1)-错误!未找到引用源。+1=错误!未找到引用源。-1-

(错误!未找到引用源。-1)+1=1. [题后反思] 偶次根式中被开方数必须为非负数,这一点要特别注意,否则很容易出错. 【例 3】
2

(教材 P61 例 3)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): (见学生用书课堂本 P34)

(1) a 错误!未找到引用源。; (2) 错误!未找到引用源。. [处理建议] 根式化为分数指数幂的时候要注意化简顺序. [规范板书] 解 未找到引用源。. (2) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。. [题后反思] 先将根式化成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的运算性质进行运算. 【例 4】 (教材 P63 习题 3.1(1)第 6 题)若 a+a =3,求错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。及错
-1

(1) a 错误!未找到引用源。=a 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!
2 2

误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。的值. (见学生用书课堂本 P34) [处理建议] 把 a+a =3 看成一个整体进行化简计算.
-1

[规范板书] 解 用源。=±1.

(1) 错误!未找到引用源。=a+a -2=3-2=1,所以错误!未找到引用源。-错误!未找到引
-1

(2) 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=4 错误!未找到引用源。=±4. [题后反思] 要熟练运用立方和(差)公式. 【例 5】 指数幂. [规范板书] 解 由题意得 2 =2 ×2
6x+4 8 3-3x

利用指数幂的运算法则,解方程 4

3x+2

=256×81-x.(见学生用书课堂本 P34)

[处理建议] 这是一道分数指数幂与方程类型的题目,首先利用分数指数幂的性质将方程两边转化为同底的 , 2
6x+4

=211-3x, ∴ 6x+4=11-3x, ∴ x=错误!未找到引用源。.

[题后反思] 解方程时需化成同底数幂进行运算.

变式

解方程:2 -6×2 -8=0.
x+2 x-1 x

[处理建议] 把 2 看做一个整体. [规范板书] 解
*

由题意得 4×2 -3×2 -8=0, ∴ 2 =8, ∴ x=3.
x x x
2x

[题后反思] 对于复杂的方程,我们要想办法使之简化,其中“整体”的思想很重要. 【例 6】 已知 a =错误!未找到引用源。-1,求错误!未找到引用源。的值. 错误!未找到引用源。=a +a -1=错误!未找到引用源。-1+错误!未找到引用源。-1=错
2x

[处理建议] 利用立方和公式先化简,再求解. [规范板书] 解
-2x

误!未找到引用源。-1+错误!未找到引用源。+1-1=2 错误!未找到引用源。-1.

四、 课堂练习 1. 27 的平方根是±3 错误!未找到引用源。,立方根是 3.
2. 等式 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。成立的条件是 x≥2. 3. 化简:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(a<0, b<0). 解 ∵ a<0, b<0, ∴ 原式=-b-a-b+a-b=-3b. 4. 计算:错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。. 解 原式=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=|错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。|+| 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。|=2 错误!未找到引用源。.

五、 课堂小结
1. n 次实数方根与根式的区别;n 次根式的性质;分数指数幂与根式的互化及熟练运用. 2. 理解有理数指数幂的运算法则,并能进行运算和化简.

第 2 课时
教学过程

指数函数(1)

一、 问题情境 x x -x 由函数 y=2 , y=错误!未找到引用源。的图象,归纳出函数 y=a , y=a 的图象与它们具有哪些相同的特征? 二、 数学建构
(一) 生成概念 一般地,函数 y=a (a>0, a≠1)叫做指数函数,其中自变量是 x,定义域是 R,值域是(0, +∞).
x

(二) 理解概念[ ]
2

对于概念的理解,主要从以下 3 个问题对学生进行引导: 1. 如何判断一个函数是否是指数函数? 2. 函数 y=a (a>0, a≠1)的性质与底数 a 有什么关系?(见下表)
x

3. 如何比较两个幂的大小?
指数函数

y=ax
图 象

a>1

0<a<1

性 质 单调性 奇偶性

定义域 值 域 过定点

R (0, +∞) (0, 1) 在(-∞, +∞) 上单调递增 非奇非偶

R (0, +∞) (0, 1) 在(-∞, +∞) 上单调递减 非奇非偶

(三) 巩固概念 2 x 问题 1 函数 y=x 与 y=2 的解析式有什么区别? 解 变量所在的位置不同. 问题 2 在画指数函数图象的过程中,你还发现了指数函数的其他性质了吗?



① x 轴是指数函数 y=ax 图象的“渐近线”;

② y=2x 与 y=2-x 的图象关于 y 轴对称(此性质可推广到更一般的情形).

三、 数学运用
【例 1】 (1) y=2 ;
x x

判断下列函数是否为指数函数: (2) y=x ;
2

(3) y=-2 ;
x x

(4) y=(-2) ;
x

(5) y=2×2 ;

(6) y=(a-1) (a>1 且 a≠2).(见学生用书课堂本 P35) [处理建议] 要弄清楚指数函数的定义,然后抓住三点进行判断:①系数为 1;②底数为大于 0 且不等于 1 的常 数;③指数为变量 x(或其他字母).(如果函数解析式不是最简形式,要先化成最简形式,然后再判断) [规范板书] 解 变式 (1)、 (6)是指数函数,其余不是.
2

[题后反思] 指数函数底数的范围以及指数函数的形式是固定的. 若函数 y=(a -a-1)a 是指数函数,求实数 a 的值.
x

[处理建议] 引导学生抓住指数函数的系数必须等于 1. [规范板书] 解 【例 2】
2.5 0.3

由题意得 a -a-1=1,解得 a=2 或-1.因为 a>0,所以 a=2.
2

[题后反思] 本题同样考察指数函数形式的固定性问题. (教材 P65 例 1)比较下列各组数中两个值的大小:
3.2 1.2

(1) 1.5 , 1.5 ; (2) 0.5 (3) 1.5 , 0.8 . 解决问题. [规范板书] 解

-1.2

, 0.5

-1.5

; (见学生用书课堂本 P36)

[处理建议] 对于第(1)、 (2)题,引导学生利用指数函数性质解决问题;对于第(3)题,引导学生寻求中间量 1 来 (1) 考察指数函数 y=1.5 .因为 1.5>1,所以 y=1.5 在 R 上是单调增函数.
x x
2.5 3.2

又因为 2.5<3.2,所以 1.5 <1.5 . (2) 考察指数函数 y=0.5 .因为 0<0.5<1,所以 y=0.5 在 R 上是单调减函数.
x x

又因为-1.2>-1.5,所以 0.5 <0.5
-1.2
0.3

-1.5
0

.
1.2 0 0.3 1.2

(3) 由指数函数的性质知 1.5 >1.5 =1, 0.8 <0.8 =1,所以 1.5 >0.8 . [题后反思] 利用指数函数的性质比较指数幂的大小时,如果不能直接判断,通常可以借助 1 来比较. 【例 3】 (教材 P66 例 2)(1) 已知 3 ≥3 ,求实数 x 的取值范围;
x
0.5

(2) 已知 0.2 <25,求实数 x 的取值范围.
x

(见学生用书课堂本 P36)
x

[处理建议] 对于第(2)题,指导学生先进行化简,然后结合指数函数性质寻求解决途径. [规范板书] 解
x
0.5

(1) 因为 3>1,所以指数函数 f(x)=3 在 R 上是单调增函数.
x

由 3 ≥3 可得 x≥0.5,即 x 的取值范围为[0.5, +∞). (2) 因为 0<0.2<1,所以指数函数 f(x)=0.2 在 R 上是单调减函数. 因为 25=错误!未找到引用源。=0.2 ,所以 0.2 <0.2 .由此可得 x>-2,即 x 的取值范围为(-2, +∞).
-2 x -2

[题后反思] 解不等式方程的一般方法:先化简成同一类函数,然后利用相关性质解决. 变式
x

解下列不等式:
x-2 x x

(1) 9 >3 ; (2) 3×4 -2×6 >0. [处理建议] 引导学生把不同底的指数式化成同底的指数式. [规范板书] 解 (1) ∵ 9 >3 ,
x x-2

∴ 3 >3 . ∵ y=3x 在定义域 R 上是单调增函数, ∴ 原不等式等价于 2x>x-2,解得 x>-2. ∴ 原不等式的解集为{x|x>-2}.
(2) ∵ 3×4 -2×6 >0, ∴ 3×4 >2×6 .
x x x x

2x

x-2

∵ 4x>0, 6x>0, ∴ 错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。>错误!未找到
引用源。. 又∵ y=错误!未找到引用源。在定义域 R 上是单调减函数,

∴ x<1.故原不等式的解集为{x|x<1}.
[题后反思] 将需解决的问题转化为已学过的指数函数的知识去解决.

四、 课堂练习

1. 若函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)经过一个定点,则该定点的坐标为(1, 2).
x-1

2. 求下列函数的定义域: (1) y=错误!未找到引用源。; (2) y=错误!未找到引用源。; (4) y=错误!未找到引用源。. 解 (1) 因为 x≠0,所以定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞). (2) 因为 x≥0,所以定义域为[0, +∞). (3) 因为 3x-1≠0,即 x≠错误!未找到引用源。,所以定义域为错误!未找到引用源。∪错误!未找到引用源。. (4) 因为 1-错误!未找到引用源。≥0,解得 x≥0,所以定义域为[0, +∞). 3. 如果指数函数 y=(a-1) 是 R 上的单调减函数,求实数 a 的取值范围.
x

(3) y=错误!未找到引用源。;

解 根据题意可得 0<a-1<1,即 1<a<2. 4. 解不等式:9 >3 .
x x-2

解 原不等式可化为 3 >3 ,所以 2x>x-2,所以 x>-2.
2x

x-2

五、 课堂小结 1. 指数函数的定义、图象以及在 a>1 和 0<a<1 时所对应的相关性质. 2. 利用指数函数的性质比较大小、解不等式等.

第 3 课时
教学过程
一、 问题情境
利用指数函数 f(x)=2 的图象作出下列函数的图象: (1)y=f(x-1); (2)y=f(x)-1;
x

指数函数(2)

(3)y=-f(x); (4)y=f(-x); (5)y=|f(x)-1|; (6)y=f(|x|). 解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

二、 数学建构
1. 已知函数 y=a (a>0, a≠1)的图象,则
x

(1) 把函数 y=a 的图象向左平移 b 个单位长度,可以得到函数 y=a (b>0)的图象;
x x x+b x-b

(2) 把函数 y=a 的图象向右平移 b 个单位长度,可以得到函数 y=a (b>0)的图象;

(3) 把函数 y=a 的图象向上平移 b 个单位长度,可以得到函数 y=a +b(b>0)的图象;
x x x x

(4) 把函数 y=a 的图象向下平移 b 个单位长度,可以得到函数 y=a -b(b>0)的图象. 2. (1) 函数 y=a 与 y=a 的图象关于 y 轴对称;
x -x

(2) 函数 y=a 与 y=-a 的图象关于 x 轴对称;
x x x

(3) 函数 y=a 与 y=-a 的图象关于原点对称.
-x

三、 数学运用
【例 1】
x+1

(根据教材 P66 例 3 改编)说明下列函数的图象与指数函数 y=2 的图象的关系.
x x-2

(1)y=2 ; (2)y=2 .(见学生用书课堂本 P37) [处理建议] 通过画图进行比较. [规范板书] 解 函数 y=2 的图象向左平移 1 个单位长度可以得到函数 y=2 的图象;函数 y=2 的图象向右
x x+1 x x-2

平移 2 个单位长度可以得到函数 y=2 的图象. [题后反思] 函数图象左右平移的规律:左加右减. 变式
x

说明下列函数的图象与指数函数 y=2 的图象的关系.
x x

(1)y=2 +1; (2)y=2 -2. [处理建议] 通过画图进行比较. [规范板书] 解 函数 y=2 的图象向上平移 1 个单位长度可以得到函数 y=2 +1 的图象;函数 y=2 的图象向下
x x x x

平移 2 个单位长度可以得到函数 y=2 -2 的图象. [题后反思] 函数图象上下平移的规律:上加下减. 【例 2】
x

画出下列函数的图象,并根据图象求出它们的单调区间.
-|x|

(1)y=|2 -2|; (2)y=2 [规范板书] 解

.(见学生用书课堂本 P38)

[处理建议] 要先对解析式进行化简. 如图:

(1) (例 2)

(2)

(1) 单调增区间是[1, +∞),单调减区间是(-∞, 1]. (2) 单调增区间是(-∞, 0],单调减区间是[0, +∞). [题后反思] 加绝对值函数图象的变化规律:①函数 y=|f(x)|的图象可由将函数 y=f(x)的图象的 x 轴下方部 分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y=f(x)的 x 轴上方部分得到;②函数 y=f(|x|)的图象可由 将函数 y=f(x)的图象的 y 轴的右边部分沿 y 轴翻折到 y 轴左边,替代原 y 轴左边部分,并保留 y=f(x)在 y 轴右边部 分的图象得到. 变式 决. [规范板书] 解 怎样由函数 y=4 的图象得到函数 y=错误!未找到引用源。-2 的图象?
x x

[处理建议] 引导学生将函数 y=错误!未找到引用源。-2 与函数 y=4 的结构加以比较,然后由学生自己解

∵ y=错误!未找到引用源。-2=2-4+2x-2=4x-2-2, ∴ 将函数 y=4x 的图象先向右平移 2 个单

位长度,再向下平移 2 个单位长度,就得到函数 y=错误!未找到引用源。-2 的图象. [题后反思] 要注意图象平移的规则:“左”加“右”减,“上”加“下”减. 【例 3】 方程 2 +x=2 的实数根有几个?
|x| |x|

(见学生用书课堂本 P38)

[处理建议] 转化为函数 y1=2 与 y2=2-x 的图象的交点个数问题. [规范板书] 解

(例 3)

由图象可知,函数 y1=2 与 y2=2-x 的图象有两个交点,故方程 2 +x=2 有两个实数根.
|x| |x|

[题后反思] 此类关于求方程的解的个数的问题一般转化为求两个函数图象交点个数问题.

四、 课堂练习 x+1 1. 已知函数 y=3 +a 的图象不经过第二象限,则实数 a 的取值范围是 a≤-3. x 2. 怎样由函数 y=4 的图象得到函数 y=错误!未找到引用源。-2 的图象?
解 y=错误!未找到引用源。-2 可化简为 y=4 -2,把函数 y=4 的图象先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个
x-2 x

单位长度,就可以得到函数 y=4 -2 的图象,即函数 y=错误!未找到引用源。-2 的图象.
x-2

3. 说说函数 y=3 与 y=3
-x -x

-x+α

(α ≠0)的图象之间的关系.
-x+α

解 当 α >0,把函数 y=3 的图象向右平移 α 个单位长度就可以得到函数 y=3
-x

的图象;

当 α <0,把函数 y=3 的图象向左平移|α |个单位长度就可以得到函数 y=3

-x+α

的图象.

五、 课堂小结 1. 函数图象之间的变换:平移变换,对称变换. 2. 与指数函数的图象、性质的相关应用,如利用图象、性质解决方程、不等式等问题.

第 4 课时
教学过程
一、 问题情境

指数函数(3)

某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂 1 次(1 个分裂成 2 个),那么经过 3h,这种细菌由 1 个可分裂为几个?经 过 x h,这种细菌由 1 个可分裂为几个?

二、 数学运用
【例 1】 (教材 P68 例 5)某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,设存期是 x(x∈N ),本利和
*

(本金加上利息)为 y 元. (1) 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2) 已知存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和. [规范板书] 解 (见学生用书课堂本 P39) [处理建议] 注意复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息的方法. (1) 已知本金为 a 元,利率为 r,则 1 期后的本利和为 y=a+a×r=a(1+r),
2 3

2 期后的本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r) , 3 期后的本利和为 y=a(1+r) , ??

x 期后的本利和为 y=a(1+r)x, x∈N*,
即本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r) , x∈N .
x
*

(2) 将 a=1000(元),r=2.25%, x=5 代入上式,得 y=1000×(1+2.25%) =1000×1.0225 ≈1117.68(元),即 5 期后的
5 5

本利和约为 1117.68 元. [题后反思] 储蓄与贷款的本利和问题是我们日常生活中一类常见的指数函数模型. 【例 2】 (教材 P69 例 6)2000~2002 年,我国国内生产总值年平均增长 7.8%.按照这个增长速度,画出从 2000 (见学生用书课堂本 P39) 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象,并通过图象观察到 2010 年我国年国内生产总值约为 2000 年的多 少倍.(结果取整数) 图象应力求画准确. [处理建议] 可以先设 2000 年我国年国内生产总值是 1,然后进行求解.用图象法求方程的近似解时,函数的

[规范板书] 设 2000 年我国年国内生产总值是 1,x 年后我国年国内生产总值为 y.因为国内生产总值年平均 增长 7.8%,所以从 2001 年开始,每年的国内生产总值是上一年的 1.078 倍,则 经过 1 年,y=1×1.078=1.078; 经过 2 年,y=1.078×1.078=1.078 ;
2

经过 3 年,y=1.078 ×1.078=1.078 ;
2 3

?? 一般地,经过 x 年,我国年国内生产总值 y=1.078 , x∈N .
x *

画出指数函数 y=1.078 的图象(如图),从图象上看出,当 x=10 时,y≈2.
x

(例 2)

答:到 2010 年我国年国内生产总值约为 2000 年的 2 倍. [题后反思] 本例为后面学习函数与方程的有关内容作铺垫. 【例 3】 已知镭经过 100 年后剩留的质量为原来的 95.76%,设质量为 1g 的镭经过 x 年后的剩留量为 yg. (见学生用书课堂本 P40) (1) 求 100 年、200 年、300 年后镭的剩留量(精确到 0.0001g); (2) 写出函数 y=f(x)的解析式. [处理建议] 本题是放射性物质的衰变问题,剩留量即为剩留质量. [规范板书] 解
2

(1) 100 年后镭的剩留量为 1×95.76%=0.9576(g),200 年后镭的剩留量为
3

1×(95.76%) ≈0.9170(g),300 年后镭的剩留量为 1×(95.76%) ≈0.8781(g). (2) x 年即错误!未找到引用源。个 100 年,所以经过 x 年后镭的剩留量为 y=1×错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。,所以 f(x)=错误!未找到引用源。. [题后反思] 放射性物质的质量衰变问题是一类常见的指数函数模型. 变式 (教材 P68 例 4)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年,这种物质剩留的质量是原来的 84%. 写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. [处理建议] 该放射性物质最初质量我们不知道,不妨设为单位 1 进行求解. [规范板书] 解 该物质最初的质量是 1,经过 x 年剩留量是 y.
1 2

经过 1 年,剩留量 y=1×0.84=0.84 ; 经过 2 年,剩留量 y=0.84×0.84=0.84 ; ?? 一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84 (x>0).
x *

【例 4】

上个世纪末(截至 1999 年底),我国人口约 13 亿,如果能将人口的平均增长率控制在 1%以内,那么 设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国的人口为 y 亿.

经过 20 年后,我国的人口最多为多少?(精确到亿) [规范板书] 解 1999 年底,我国人口约为 13 亿; 经过 1 年(即 2000 年底),我国人口为 13+13×1%=13×(1+1%)(亿); 经过 2 年(即 2001 年底),我国人口为 13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%=13×(1+1%) (亿);
2

经过 3 年(即 2002 年底),我国人口为 13×(1+1%) +13×(1+1%) ×1%=13×(1+1%) (亿);
2 2 3

?? 所以,经过 x 年后,我国人口为

y=13×(1+1%)x=13×1.01x(亿).
当 x=20 时,y=13×1.01 ≈16(亿).所以,经过 20 年后,我国的人口最多为 16 亿.
20

[题后反思] 在实际问题中,经常会遇到类似上述增长率模型问题.通常设原有量为 N,年平均增长率为 p, 则经过 x 年后的总量 y 可以用 y=N·(1+p) 来表示.我们把形如 y=ka (k>0, a>0,且 a≠1)的函数称为指数型函数.
x x

三、 课堂练习 1. 如果某林区的木材蓄积量平均每年比上一年增长 8%,经过 x 年可以使木材蓄积量增长到原来的 y 倍,那么函数 y=f(x)的图象大致为②.(填序号)









2. 如果某工厂一年中 12 月的产量是 1 月的产量的 m 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率为错误!未找到引 用源。-1. 3. 若一种产品的产量原来是 a,在今后 m 年内计划使产量平均每年比上一年增加 p%,则产量 y 随年数 x 变化的函 数解析式为 y=a(1+p%) , x≤m 且 x∈N .
x
*

4. 假设世界人口自 1980 年起,50 年内每年增长率均固定,已知 1987 年世界人口达 50 亿,1999 年第 60 亿个人诞 生在赛拉佛耶.根据这些资料推测,2023 年世界人口数最接近 86 亿.(精确到个位)

四、 课堂小结
指数函数在实际生活中的应用包括剩留量问题、复利问题、增长率问题、选用函数模拟数据问题等.

第 5 课时
教学过程

指数函数(4)

前面几节课我们学习了指数函数的图象和性质,以及利用其性质进行大小比较、不等式求解、图象变换、实 际应用问题求解等,本节课主要围绕以下几个方面对由指数函数和其他简单函数构成的复合函数的性质进行研究: (1) 指数型复合函数的定义域与值域; (2) 指数型复合函数的单调性; (3) 与指数函数有关的函数性质综合题.

一、 数学运用
【例 1】 求下列函数的定义域与值域: (1)y=错误!未找到引用源。; (2)y=错误!未找到引用源。; (3)y= 错误!未找到引用源。; (4)y=4 -2 -1, x∈[-1, 2].(见学生用书课堂本 P41)
x x+1

[处理建议] 本题中定义域容易求得,即使得函数解析式有意义的 x 的取值集合.对于第(1)题求值域而言,关 键是求出错误!未找到引用源。里面错误!未找到引用源。-1 的范围;对于第(2)题求值域而言,求出 2x-x 的范
2

围后,然后结合指数函数的性质来解决;对于第(3)题求值域而言,关键是求出 3
x

2x-1

-错误!未找到引用源。的范围,这

个比较容易;对于第(4)题求值域而言,需要采用换元法(令 2 =t),把它转化成二次函数的值域问题. [规范板书] 解 (1) 由题意得错误!未找到引用源。-1≥0,即错误!未找到引用源。≥0,解得 x<-1 或

x≥1.∴函数的定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞). ∵ 错误!未找到引用源。-1=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。+1≠1, ∴ 错误!未找到引
用源。≠1 且 错误!未找到引用源。≥0, ∴ y≥1 且 y≠10. ∴ 函数的值域为[1, 10)∪(10,+∞). (2) 函数的定义域为 R.

∵ 2x-x2=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, ∴ y≥错误!未找到引用源。. ∴ 函数的值域为错误!未找到引用源。.

(3) 由题意得 3

2x-1

-错误!未找到引用源。≥0,即 32x-1≥3-2,解得 x≥-错误!未找到引用源。.∴函数的定义域

为错误!未找到引用源。.

∵ 32x-1-错误!未找到引用源。≥0, ∴ 错误!未找到引用源。≥0, ∴ 函数的值域为[0, +∞).
(4) 令 2 =t, ∵x∈[-1,2], ∴ t∈错误!未找到引用源。.
x

∴ y=t2-2t-1=(t-1)2-2,当 t=4 时,ymax=7;当 t=1 时,ymin=-2. ∴ 函数的值域为[-2, 7].
[题后反思] 求复合函数的定义域,即求使得函数解析式有意义的 x 的取值集合;求与指数函数有关的复合函 数的值域,我们需要根据函数解析式的特点,或用常规的方法,或用换元法等. 【例 2】 求函数 y=错误!未找到引用源。的单调区间.
2 2

(见学生用书课堂本 P41)
2

[处理建议] 把函数 y=错误!未找到引用源。视作由函数 y=错误!未找到引用源。和 t=-x +2x 复合而成. [规范板书] 解 为[1, +∞). [题后反思] 复合函数 y=a ( )的单调性由函数 y=a 和 u=f(x)决定,我们在判断的时候应遵循“同增异减”的
f x u

令 t=-x +2x=-(x-1) +1,当 x∈(-∞, 1]时,t 单调递增;当 x∈[1, +∞)时,t 单调递减.而函数

y=错误!未找到引用源。是单调减函数,所以函数 y=错误!未找到引用源。的单调减区间为(-∞, 1],单调增区间

法则. 变式 1 求函数 y=错误!未找到引用源。的单调区间. 由题意得-x +2x≥0,解得 0≤x≤2.
2

[规范板书] 解

令 t=错误!未找到引用源。,则 t=错误!未找到引用源。,当 x∈[0, 1]时,t 单调递增;当 x∈[1, 2]时,t 单调 递减.而函数 y=错误!未找到引用源。是单调减函数,所以函数 y=错误!未找到引用源。的单调减区间为[0, 1], 单调增区间为[1, 2]. [题后反思] 变式 1 与例 2 的差别之处在于所令的 t=错误!未找到引用源。也是一个复合函数,由 t=错误! 未找到引用源。和 g=-x +2x 复合而成.
2

变式 2

求函数 y=错误!未找到引用源。的单调区间.
x

[处理建议] 此函数由 y=错误!未找到引用源。及 u=2 复合而成. [规范板书] 解
x

由题意可得函数的定义域为 R.

令 u=2 ,可以知道,当 x∈R 时,u 单调递增. 而函数 y=错误!未找到引用源。是单调减函数,所以函数 y=错误!未找到引用源。的单调减区间为 R. [题后反思] 此函数的单调性由函数 u=2 及 y=错误!未找到引用源。的单调性决定,除了根据“同增异减”
x

的法则判断增减区间外,还可以通过函数解析式的特点进行如下判断:当 x∈R 时,随着 x 的逐渐增加,2 也逐渐增
x

加,2 +1 也逐渐增加,则错误!未找到引用源。逐渐减小,所以函数 y=错误!未找到引用源。是 R 上的单调减函数,
x

即函数的单调减区间为 R. 【例 3】 设函数 f(x)=a
-3x+1

, g(x)=a
-3x+1

2x-5

(其中 a 为常数,a>0 且 a≠1),若 f(x)>g(x),求实数 x 的取值范围.(见学生用书课堂本 P42)

[处理建议] 需要对 a 进行分类讨论. [规范板书] 解

>a2x-5. ① 当 a>1 时,-3x+1>2x-5,解得 x<错误!未找到引用源。; ② 当 0<a<1 时,-3x+1<2x-5,解得 x>错误!未找到引用源。.
综上所述,当 a>1 时,x<错误!未找到引用源。;当 0<a<1 时,x>错误!未找到引用源。. [题后反思] 虽然函数 f(x)=a 行考察. 【例 4】 (教材 P71 第 17 题)对于任意的 x1, x2∈R,若函数 f(x)=2 ,试比较错误!未找到引用源。与 f 错
x -3x+1

由题意得 a

, g(x)=a

2x-5

都是复合函数,但是本质上仍然可以根据指数函数 y=a 的性质进
x

误!未找到引用源。的大小关系. [处理建议] 结合函数 y=2 的图象让学生感知结论,再进行证明.
x

(见学生用书课堂本 P42)

[规范板书] 解

∵ 错误!未找到引用源。-f 错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。-错误!未
2

找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2×错误!未找到引用 源。×错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。) ≥0, ∴ 错误!未找到引用源。≥f 错误!未找到引用源。. [题后反思] 对于函数 y=a 的凹凸性要加以关注,不仅要会利用图象进行判断,更要会进行严格的论证.
x

变式

若指数函数 y=a 在[-1, 1]上的最大值与最小值的差是 1,求实数 a 的值.
x

[处理建议] 需要对 a 分两类进行讨论. [规范板书] 解

① 当 a>1 时,当 x=1, ymax=a;当 x=-1, ymin=错误!未找到引用源。. ∴ a-错误!未找到引

用源。=1, ∴a=错误!未找到引用源。.

② 当 0<a<1 时,当 x=-1, ymax=错误!未找到引用源。;当 x=1, ymin=a. ∴ 错误!未找到引用源。-a=1, ∴a=
错误!未找到引用源。. 综上所述,a=错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. [题后反思] 底数 a 不确定时,必须对 a 进行分类讨论.
*

【例 5】

已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。.

(1) 判断函数 f(x)的奇偶性; (2) 讨论函数 f(x)的单调性. [处理建议] 第(1)题可以从函数奇偶性的定义入手进行判断,第(2)题既可以从定义入手进行讨论,也可以从函 数解析式的特点入手进行判断. [规范板书] 解 (1) 函数的定义域为 R.

f(-x)=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-f(x), ∴函数 f(x)为奇函数.
(2)∵ f(x)=错误!未找到引用源。=1-错误!未找到引用源。, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增. [题后反思] 第(2)题先对函数解析式进行常数分离,然后通过解析式就可以直接判断函数的单调性,如果从定 义入手判断函数的单调性,则比较复杂.

二、 课堂练习 1. 求下列函数的定义域与值域: (1)y=错误!未找到引用源。; (2)y=错误!未找到引用源。.
解 (1) 由题意得-x +x+2≥0,即 x -x-2≤0,解得-1≤x≤2. ∴ 函数的定义域为[-1, 2].
2 2

∵ 0≤错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。
≤y≤错误!未找到引用源。=1, ∴ 函数的值域为错误!未找到引用源。. (2) 由题意得 x≠-1, ∴ 函数的定义域为(-∞, -1)∪(-1, +∞).

∵ 错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。+1≠1, ∴y≠2,而 y=错误!未找到引用源。>0, ∴函数的值
域为(0, 2)∪(2, +∞). 2. 求函数 y=错误!未找到引用源。的单调区间. 解 由题意得-x +2x≥0,解得 0≤x≤2.
2

令 t=错误!未找到引用源。,则 t=错误!未找到引用源。,当 x∈[0, 1]时,t 单调递增;当 x∈[1, 2]时,t 单调递减. 而函数 y=2 是单调增函数,所以函数 y=错误!未找到引用源。的单调增区间为[0, 1],单调减区间为[1, 2].
t

3. 若函数 y=a (a>0 且 a≠1)在区间[-2, 2]上的最大值为 8,求实数 a 的值.
x+1

解 当 a>1 时,由题意得 a =8,解得 a=2;当 0<a<1 时,由题意得 a =8,解得 a=错误!未找到引用源。.综上所
3

-1

述,∴a=2 或错误!未找到引用源。.

三、 课堂小结
本节课根据指数函数的图象及性质讨论了由指数函数和其他简单函数构成的复合函数的性质,其中包括复合 函数的定义域与值域、复合函数的单调性,在判断复合函数的单调性时应遵循“同增异减”的法则.

第 6 课时
教学过程
一、 问题情境[1]

对 数

(1)

若某物质最初的质量为 1,每经过 1 年,这种物质剩留的质量是原来的 84%,则经过 x 年,该物质的剩留量

y=0.84x.由此,知道了经过的时间 x,就能求出该物质的剩留量 y;反过来,知道了该物质的剩留量 y,怎样求出所经过
的时间 x 呢?

二、 数学建构
(一) 生成概念

一般地,如果 a(a>0, a≠1)的 b 次幂等于 N,即 a =N,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中,a 叫做
b

对数的底数,N 叫做真数. (二) 理解概念 1. 指数式与对数式的互化 (引导学生填写下面表格,理解 a, b, N 的地位和作用)
名称及范围 式 指数式 对数式
b



a(a>0, a≠1)
底数 底数

b(b∈R)
指数 对数

N(N>0)
幂 真数

a =N
logaN=b

总结:指数式 a =N 与对数式 logaN=b 这两个等式所表示的是 a, b, N 三个量之间的同一关系.
b

2. 对数恒等式 (1)loga1=0; (2)logaa=1; (3)错误!未找到引用源。=N; (4)logaa =b.(a>0 且 a≠1, b∈R)
b

3. 特殊的两个对数 (1) 常用对数:以 10 为底的对数称为常用对数,如 log102, log1012 等.为了方便起见,对数 log10N 简记为 lgN,如 lg2, lg12 等. (2) 自然对数:以 e 为底的对数称为自然对数.e=2.71828?是一个无理数.正数 N 的自然对数 logeN 一般简记为 lnN,如 loge2, loge15 分别记为 ln2, ln15 等.

三、 数学运用
【例 1】 (1) 2 =16;
4

(教材 P73 例 1)将下列指数式改写成对数式: (2)3 =错误!未找到引用源。;
-3

(3)5 =20;
a

(4)错误!未找到引用源。=0.45.(见学生用书课堂本 P43) (1)log216=4. (2)log3 错误!未找到引用源。=-3. (3)log520=a. (4)错误!未找到引用

[处理建议] 通过指数式与对数式的关系,引导学生熟练地进行指数式与对数式的互化. [规范板书] 解 源。0.45=b. 【例 2】 (教材 P73 例 2)将下列对数式改写成指数式: (1)log5125=3; (2)错误!未找到引用源。3=-2; (3)log10a=-1.699.(见学生用书课堂本 P44) [规范板书] 解 化而来的). 【例 3】 (教材 P73 例 3)求下列各式的值: (1)log264; (2)log927.(见学生用书课堂本 P44) [处理建议] 引导学生用对数的定义去解决问题. [规范板书] 解 未找到引用源。. [题后反思] 第(1)题可以通过化简真数直接得到结果;第(2)题稍微转了一个弯,学生无法直接进行运算,这个 时候就要提醒学生“对数的定义是从指数的定义中演变而来”,因此本题转化为指数形式进行解决是理所当然的 事. 变式 求下列各式中 x 的值: (1) logx4=错误!未找到引用源。; (2) 错误!未找到引用源。x=-3; (3) 错误!未找到引用源。(2x -4x+1)=1;
2

(1)5 =125.
3

(2)错误!未找到引用源。=3. (3)10

-1.699

=a.

[题后反思] 例 1 与例 2 中指数式与对数式的互化,关键是要熟练掌握对数的定义(对数式是如何由指数式变

(1) 由 2 =64,得 log264=6.
6

(2) 设 x=log927,则根据对数的定义知 9 =27,即 3 =3 ,得 2x=3,x=错误!未找到引用源。,所以 log927=错误!
x
2x 3

(4) 错误!未找到引用源。=0;

(5) log5[log3(log2x)]=0. [处理建议] 提醒学生在解对数方程时,需要注意底数、真数的范围. 解 (1) 由 logx4=错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。=4,所以 x=16.
2 2 2

(2) 由错误!未找到引用源。x=-3 得 x=错误!未找到引用源。,所以 x=8. (3) 由错误!未找到引用源。(2x -4x+1)=1 得 2x -4x+1=x -2,解得 x=1 或 x=3. 又因为 x=1 时,x -2=-1<0; x=3 时,x -2=7>0, 2x -4x+1=7>0,所以 x=3.
2 2 2

(4) 由错误!未找到引用源。=0 得错误!未找到引用源。=1,解得 x=-2. (5) 由 log5[log3(log2x)]=0 得 log3(log2x)=1,所以 log2x=3,所以 x=2 ,即 x=8.
3

[题后反思] 解对数方程,除了将对数式化为指数式求解外,还要熟练运用对数的性质:1 的对数为 0,底数的对 数为 1.
*

【例 4】

求使对数式 log(x-1)(3-x)有意义的 x 的取值范围.



由题意可得错误!未找到引用源。解得 1<x<3 且 x≠2.

[题后反思] 对数的定义中,要注意 a, b, N 三个量的取值范围.

四、 课堂练习
1. 将下列指数式改写成对数式: (1)2 =256;
8

(2)3 =错误!未找到引用源。;
-5

(3) 5 =73;
a

(4) 错误!未找到引用源。=20.

解 (1)log2256=8; (2)log3 错误!未找到引用源。=-5; (3) log573=a; (4) lo 错误!未找到引用源。20=x. 2. 将下列对数式改写成指数式: (1)错误!未找到引用源。9=-4; (3)lgm=0.3010; (3)10
0.3010

(2)lg1000=3;
3

(4)ln10=n.

解 (1)错误!未找到引用源。=9; (2)10 =1000;

=m; (4)en=10.

3. 根据对数的定义,写出下列各对数的值(b>0, b≠1): log93=错误!未找到引用源。; log101000=3; 错误!未找到引用源。4=-1; log91=0; log55=1; logb1=0; log3 错误!未找到引用源。=-1; logbb=1.

五、 课堂小结
1. 对数的定义;对数式与指数式的互化;对数式的求值. 2. 要在理解对数的概念的基础上,掌握对数式与指数式的互化,并会计算一些特殊的对数值.

第 7 课时
教学过程
一、 问题情境
指数幂运算有下列性质:

对 数

(2)

aman=am+n;
错误!未找到引用源。=a ;
m-n

(a ) =a .
m n mn

问题 1

对数运算也有相应的性质吗?

二、 数学建构
由学生给出若干组 a, M, N, n 的值,借助计算机计算 logaM, logaN, loga(MN), loga 错误!未找到引用源。, logaM , loga(M+N), loga(M-N)的值,猜想这一系列式子之间的关系.
n

猜想: loga(MN)=logaM+logaN;①

loga 错误!未找到引用源。=logaM-logaN;② logaM =nlogaM.③ (其中 a>0, a≠1, M>0, N>0, n∈R) 问题 2 证明 如何证明对数的运算性质? 设 logaM=p, logaN=q.由对数的定义得 M=a , N=a ,所以 MN=a ·a =a .故 loga(MN)=p+q=logaM+logaN,即
p q p q p+q n

我们来证明性质①: loga(MN)=logaM+logaN. 同样地,可以证明性质②和性质③. 问题 3 如何用自然语言叙述这三条性质?性质的证明思路是什么? (运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形,然后再根据对数的定义将 指数式化成对数式) 注意点:(1) 对数不能作除法运算. (2) logaM, logaN 与 loga(M+N), loga(M-N)没有必然的联系.

三、 数学运用
【例 1】 P45) [规范板书] 解 (1)lg12=2lg2+lg3=2a+b. (2)lg108=lg(4×27)=2lg2+3lg3=2a+3b. (3)lg 错误!未找到引用源。=lg27-lg16=3lg3-4lg2=3b-4a. (4)lg 错误!未找到引用源。=lg18-lg25=lg2+2lg3-2lg5=lg2+2lg3-2(1-lg2)=2b+3a-2. 【例 2】
3

(根据教材 P76 例 5 改编)已知 lg2=a, lg3=b,用 a, b 表示下列各对数: (3) lg 错误!未找到引用源。; (4) lg 错误!未找到引用源。.(见学生用书课堂本

(1) lg12; (2) lg108;

(教材 P76 例 4)求下列各式的值:
5

(1) log2(2 ×4 ); (2) log5125.

(见学生用书课堂本 P46)

[处理建议] 有关对数的运算,一般有两种思路:一是将相关数分解成质因数式,利用对数运算法则,把它们拆 成若干个对数的代数和;二是对底数相同的对数,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. [规范板书] 解
3

(1)log2(2 ×4 )=log22 +log24 =3+5log24=3+5×2=13.
3 5 3 5

(2)log5125=log55 =3log55=3. 变式 计算下列各式的值: (1) lg 错误!未找到引用源。+lg 错误!未找到引用源。; (2) log345-log35; (3) lg 5+lg2×lg5+lg2;
2

(4) log535-2log5 错误!未找到引用源。+log57-log51.8; (5) 错误!未找到引用源。lg 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。lg 错误!未找到引用源。+lg 错误!未找到引用源。; (6) lg5 +错误!未找到引用源。lg8+lg5×lg20+(lg2) .
2 2

[规范板书] 解

(1)lg 错误!未找到引用源。+lg 错误!未找到引用源。=lg(错误!未找到引用源。×错

误!未找到引用源。)=lg 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。lg10=错误!未找到引用源。. (2)log345-log35=log3 错误!未找到引用源。=log39=2log33=1. (3)lg 5+lg2×lg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=lg10=1.
2

(4)log535-2log5 错误!未找到引用源。+log57-log51.8=log55+log57-2(log57-log53)+log57-(log59log55)=1+2log53-2log53+1=2. (5)错误!未找到引用源。lg 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。lg 错误!未找到引用源。+lg 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(lg32-lg49)-错误!未找到引用源。lg 错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。lg(5×49)=错误!未找到引用源。(5lg2-2lg7)-2lg2+错误!未找到引用源。lg5+lg7=错 误!未找到引用源。lg2-lg7-2lg2+错误!未找到引用源。lg5+lg7=错误!未找到引用源。(lg2+lg5)=错误!未 找到引用源。.

(6)lg5 +错误!未找到引用源。
2

lg8+lg5×lg20+(lg2) =2lg5+2lg2+lg5×(lg2+1)+(lg2) =2+lg5×lg2+lg5+(lg2) =2+lg2(lg5+lg2)+lg5=3.
2 2 2

[题后反思] ① 本题有两种思路:一是“正向”利用积、商、幂、方根的对数运算法则,把各对数分拆为更 为基本的一系列对数的代数和;二是运用对数恒等式使式子得到化简,对真数部分进行约简,使所给对数式得到化 简.简单地说,一是“分”,二是“合”.

② 对常用对数的化简要充分利用恒等式 lg2+lg5=1 来解题. ③ 对于多重符号的对数的化简,应从内向外逐层化简求值. * 【例 3】 已知 lgx+lgy=2lg(x-2y),求错误!未找到引用源。的值.
[规范板书] 解 由已知可得 lg(xy)=lg(x-2y) ,所以(x-2y) =xy,即 x -5xy+4y =0,即(x-y)(x-4y)=0,所以 x=y 或
2 2 2 2

x=4y.
又因为 x>0, y>0, x-2y>0,所以 x>y>0,所以 x=4y,所以 lo 错误!未找到引用源。=lo 错误!未找到引用源。 4=4. [题后反思] 注意根据已知条件求出来的相关结果必须满足题设中所有真数大于零这一条件.

四、 课堂练习 1. (1) lg 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。lgx+错误!未找到引用源。lgy-3lgz;(用 lgx, lgy,
lgz 表示) (2) 已知 m=log32,那么 log34-5log36=-3m-5.(用 m 表示) 2. 求下列各式的值: (1) log2(4×8×16); (2) 错误!未找到引用源。(9 ×27 );
5 2

(3) 2lg5+lg40; 解 (1) 原式=9;

(4) 错误!未找到引用源。125-错误!未找到引用源。25;

(5) 错误!未找到引用源。. (2) 原式=-2log33 =-32;
16

(3) 原式=lg1000=3; (4) 原式=错误!未找到引用源。5=-1; (5) 原式=错误!未找到引用源。.

五、 课堂小结
运用对数的运算法则时,必须注意其成立的条件,否则可能导致变量范围的变化而出现不等价变换.

第 8 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2

对 数

(3)

不是常用对数和自然对数的对数如何运算? 能否通过转化,将一般对数化为常用对数或自然对数?

二、 数学建构
探究:以具体对数 log35 为例,如何将它转化为以 10 为底的对数呢? 设 t=log35,则 3 =5.两边取常用对数,得 lg3 =lg5,即 tlg3=lg5,所以 t=错误!未找到引用源。,故 log35=错
t t

误!未找到引用源。. 问题 3 对于一般的对数 logaN,如何将它转化为以其他的数为底的对数呢?
p p

记 p=logaN,则 a =N.两边同时取以 c 为底的对数(c>0, c≠1):logca =logcN,得 plogca=logcN,所以 p=错误!未找 到引用源。,即 logaN=错误!未找到引用源。. 这个公式称为对数的换底公式. 推论:① logba·logax=logbx(a>0 且 a≠1, b>0 且 b≠1, x>0);

② logba·logab=1(a>0 且 a≠1, b>0 且 b≠1); ③ lo 错误!未找到引用源。bm=错误!未找到引用源。logab(a>0 且 a≠1, b>0, m, n∈R, n≠0).

三、 数学运用

【例 1】

(教材 P77 例 7)求 log89×log332 的值.

(见学生用书课堂本 P47)

[处理建议] 引导学生尽量将不同底的对数化为同底的对数,然后直接运用性质进行计算. [规范板书] 解 【例 2】 log89×log332=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
b

×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
已知 log189=a, 18 =5,用含有 a, b 的式子表示 log3645.(见学生用书课堂本 P47) 由已知得 b=log185,所以 log182=1-a. [处理建议] 已知对数和幂的底数都是 18,所以先将所要求的对数化为与已知对数同底再求解. [规范板书] 解 变式 log3645=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 已知 log1227=a,试用 a 表示 log616. [处理建议] 引导学生利用换底公式处理底数不同这一情形. [规范板书] 解

∵ log1227=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=a,

∴ (3-a)lg3=2alg2, ∴ lg3=错误!未找到引用源。. ∴ lg616=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
[题后反思] 分析两个式子的差异,利用换底公式可减少运算量,从而达到目的. 【例 3】 求证:logxy·logyz=logxz.(见学生用书课堂本 P48) logxy·logyz=logxy·错误!未找到引用源。=logxz. [处理建议] (1)注意到等式右边是以 x 为底数的对数,故将 logyz 化成以 x 为底的对数;(2)化成常用对数. [规范板书] 证法一 证法二 logxy·logyz=错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=logxz.

[题后反思] 在具体解题的过程中,不仅能正用换底公式,还要能逆用换底公式,如错误!未找到引用源。

=logxz 就是换底公式的逆用.
【例 4】 (教材 P77 例 8)如图,2000 年我国国内生产总值(GDP)为 89442 亿元.如果我国 GDP 年均增长 7.8%, 那么按照这个增长速度,在 2000 年的基础上,经过多少年以后,我国 GDP 才能实现比 2000 年翻两番的目标?(见学生用书课堂本 P48)

19982002 年我国 GDP 数据图

(例 4)
x

[规范板书] 解
x

假设经过 x 年实现 GDP 比 2000 年翻两番的目标.根据题意,得 89442×(1+7.8%) =89442×4,

即 1.078 =4,故 x=log1.0784=错误!未找到引用源。≈18.5. 答:约经过 19 年以后,我国 GDP 才能实现比 2000 年翻两番的目标. 变式 (教材 P62 例 9)在本章第 3.1.2 节的开头问题中,已知测得出土的古莲子中 C 的残余量占原来的
14

87.9%,试推算古莲子的生活年代. [规范板书] 解 根据本章第 3.1.2 节的讨论可以知道,经过 x 年后的残余量是 y=0.999879 .由
x

y=87.9%=0.879 可知 0.879=0.999879x,即 xlg0.999879=lg0.879,从而 x=错误!未找到引用源。≈1066,所以古莲
子约是 1066 年前的遗物. 回到本节开始提出的问题,用计算器计算,得 log0.840.5=错误!未找到引用源。≈4. 结论是:约经过 4 年以后,物质的剩留量是原来的一半.
*

【例 5】

设 x, y, z 为非零实数,且 3 =4 =6 ,求证:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!
x y z

未找到引用源。. [处理建议] 由于条件中提供了相等的三个幂值,故可设其为 k,这样 x, y, z 都可用 k 表示出来,从而证明 x,

y, z 满足的等式.另外,注重指数式与对数式的互化. x y z [规范板书] 证法一 设 3 =4 =6 =k,则有 x=log3k, y=log4k, z=log6k,所以错误!未找到引用源。-错误!未
找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=logk6-logk3=logk2. 又错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。logk4=logk2,所以错误!未找到引 用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 证法二 对 3 =4 =6 取常用对数,得 lg3 =lg4 =lg6 ,∴ xlg3=ylg4=zlg6,∴错误!未找到引用源。=错误!未
x y z x y z

找到引用源。=log46,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=log43.

于是错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=log46-log43=log42=错误!未找到引用源。,所以错误! 未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 证法三

∵ 6=2×3, ∴ lg6=lg2+lg3. 由已知得 xlg3=ylg4=zlg6=k≠0, lg3=错误!未找到引用源。, lg2=错误!未找到引用源。, lg6=错误!未
找到引用源。,则有错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引 用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. [题后反思] 本题证法一、证法三通过引入参数 k,将 x, y, z 或 lg2, lg3, lg6 用同一参数 k 表示是解题的 关键;证法二通过对已知等式取对数这一等价变形,将等式转化为 x, y, z 之间的比例关系,然后对照结论进行变换. 上述证法中,对数的运算性质与换底公式的熟练掌握是解题的基础. 变式 已知 x>0, y>0, z>0,且 2 =3 =5 ,试比较错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找
x y z

到引用源。的大小关系. [规范板书] 解 因为 x>0, y>0, z>0,设 2 =3 =5 =k,则 k>1, lgk>0.
x y z

∴ x=错误!未找到引用源。, y=错误!未找到引用源。, z=错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用
源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

∵ 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 错
误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。.

∵ 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 错
误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。.

∴ lg 错误!未找到引用源。<lg 错误!未找到引用源。<lg 错误!未找到引用源。,又 lgk>0,故错误!未找
到引用源。>错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。.

四、 课堂练习 1. 设 log34×log48×log8m=log416,则实数 m=9. 2. 计算:(1) 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1;
(2) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 3. 计算:(1) log23×log34×log45×?×log1516=4; (2) log2 错误!未找到引用源。×log3 错误!未找到引用源。×log5 错误!未找到引用源。=-12. 4. 若 log53=a, log54=b,则 log2512=错误!未找到引用源。.(用 a, b 表示)

五、 课堂小结
本节课主要学习了对数的换底公式,利用对数的换底公式将“底数化异为同”是解决对数问题的基本方法,它 在求值和恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意: (1) 针对具体问题,选择好底数; (2) 对数的换底公式与对数的运算法则应结合使用; (3) 对数的换底公式的正用与逆用应结合使用.

第 9 课时
教学过程
一、 问题情境

对数函数(1)

某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个??经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个细胞?10 万个 细胞??? 不难发现:分裂次数 y 是要得到的细胞个数 x 的函数,即 y=log2x.

二、 数学建构
问题 1 这个函数有什么特征? (引导学生观察这个函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得出对数函数的定义) 对数函数的定义:一般地,函数 y=logax(a>0, a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 问题 2

y=2log2x 和 y=log5 错误!未找到引用源。这两个函数是否为对数函数?

(都不是,对数函数的定义与指数函数的定义类似,都是形式定义,要注意辨别.此处加深对概念的理解,但只需 点到为止,避免挖深、拓展、引入复合函数的概念) 问题 3 当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=a 与 y=logax 的定义域、值域有什么关系?
x x

(引导学生发现:函数 y=logax 的定义域和值域分别是函数 y=a 的值域和定义域) 探究:分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象,并通过观察函数图象寻找它们之间的关系. (1)y=2 ,y=log2x;
x

(2)y=错误!未找到引用源。,y=错误!未找到引用源。x. 问题 4 问题 5 当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=a 与 y=logax 的图象之间有什么关系?
x x

(引导学生发现:函数 y=a 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称) 你能类比前面研究指数函数图象和性质的思路,提出研究对数函数图象和性质的方法吗?[ ]
1

(引导学生类比指数函数图象和性质的研究方法,明确探究方向:按 a>1 和 0<a<1 分类画出对数函数的图象,从 图象的形状、位置、变化趋势、定点等角度去探究) 在学生自主探究、合作交流的基础上填写下表[ ]:
2

y=logax (a>0 且 a≠1)

a>1

0<a<1

图象

性质

定义域为(0,+∞),值域为 R 图象过定点(1, 0) 渐近线为 y 轴 在(0, +∞)上 在(0,+∞)上 为单调增函数 为单调减函数 0<x<1 时,y<0; 0<x<1 时,y>0; x>1 时,y>0 x>1 时,y<0

问题 6

函数 y=log2x 与 y=错误!未找到引用源。x 的图象之间有什么关系?进一步能得到什么结论?

(函数 y=log2x 与 y=错误!未找到引用源。x 的图象关于 x 轴对称.一般性结论:函数 y=logax 和 y=错误!未 找到引用源。x 的图象关于 x 轴对称)

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P83 例 1)求下列函数的定义域: (1) y=log0.2(4-x); (2) y=loga 错误!未找到引用源。(a>0, a≠1).(见学生用书课堂本 P49) [处理建议] 从对数函数的定义入手,考虑使整个函数解析式有意义的 x 的取值范围. [规范板书] 解 (1) 当 4-x>0 时,即 x<4 时,log0.2(4-x)有意义;当 x≥4 时,log0.2(4-x)没有意义.因此,函数 y=log0.2(4-x)的定义域是(-∞, 4). (2) 当错误!未找到引用源。>0 时,即 x>1 时,loga 错误!未找到引用源。有意义;当 x≤1 时,loga 错误!未找 到引用源。没有意义.因此,函数 y=loga 错误!未找到引用源。的定义域是(1, +∞). 变式 求下列函数的定义域: x (1) y=log2(9-3 ); (2) y=log(3-x)(x-1); (3) y=错误!未找到引用源。; (4) y=错误!未找到引用源。. [处理建议] 第(1)、(2)题直接从对数函数的定义出发即可;第(3)题首先考虑整体条件,即 log0.8x-1≥0,然后再 结合对数函数的定义;第(4)题首先考虑整体条件,即 log3(3x-2)≠0,然后再结合对数函数的定义. x x x [规范板书] 解 (1) 当 9-3 >0 时,即 x<2 时,log2(9-3 )有意义,所以函数 y=log2(9-3 )的定义域为(-∞, 2). (2) 当错误!未找到引用源。时,即 1<x<3 且 x≠2 时,log(3-x)(x-1)有意义,所以函数 y=log(3-x)(x-1)的定义域为 (1, 2)∪(2, 3). (3) 当 log0.8x-1≥0 时,即 0<x≤0.8 时,错误!未找到引用源。有意义,所以函数 y=错误!未找到引用源。的 定义域为(0, 0.8].

(4) 当 log3(3x-2)≠0 时,即错误!未找到引用源。时,即 x>错误!未找到引用源。且 x≠1 时,错误!未找到 引用源。有意义,所以函数 y=错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。∪(1, +∞). [题后反思] 求对数函数的定义域必须综合考虑三点:①底数要大于 0 且不等于 1;②真数要大于 0;③除了前 面两个局部条件,还要满足整体条件(如变式中第(3)、 (4)题). 【例 2】 (教材 P83 例 2)比较下列各组数中两个值的大小: (1) log23.4, log23.8; (2) log0.51.8, log0.52.1; (3) log75, log67. “中介”0 或 1 来比较. [规范板书] 解 (1) 考察对数函数 y=log2x.因为 2>1,所以 y=log2x 在(0,+∞)上是单调增函数.又因为 0<3.4<3.8,所以 log23.4<log23.8. (2) 考察对数函数 y=log0.5x.因为 0<0.5<1,所以 y=log0.5x 在(0,+∞)上是单调减函数.又因为 0<1.8<2.1,所以 log0.51.8>log0.52.1. (3) 考察对数函数 y=log7x.因为 7>1,所以 y=log7x 在(0,+∞)上是单调增函数.又因为 0<5<7,所以 log75<log77=1. 同理,log67>log66=1. 所以 log75<log67. [题后反思] 在比较两个底数相同的对数值的大小时,可以直接利用对数函数的单调性;在比较两个不同底数 的对数值的大小时,有时可以通过“中介”0 或 1 间接地比较大小. 变式 比较下列各组数的大小: (1) log0.51.8, log0.52.1; (2) log3π , log20.8; (3) log27, log37; (4) log0.20.8, log0.30.8. [规范板书] 解 (1) log0.51.8>log0.52.1. (2) ∵ log3π >log33=1, log20.8<0, ∴ log3π >log20.8. (3) ∵ lg7>lg3>lg2>0, ∴ 错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,即 log27>log37. (4) ∵ lg0.2<lg0.3<lg0.8<0, ∴ 错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。,即 log0.20.8<log0.30.8.
*

(见学生用书课堂本 P50)

[处理建议] 利用对数函数的单调性比较实数大小时,当无法利用同一函数的单调性来直接比较,可以考虑找

【例 3】

设 0<a<b<1,比较 loga(a+1)与 logb(b+1)的大小.

[处理建议] 这是两个不同底数的对数值的大小比较,关键是要找好“中介”,此时“中介”既不是 0 也不是 1,而是 loga(b+1). [规范板书] 解 分别将这两个对数值与 loga(b+1)进行大小比较. ① ∵ 0<a<b<1, ∴ a+1<b+1, ∴ loga(a+1)>loga(b+1). ② loga(b+1)=错误!未找到引用源。, logb(b+1)=错误!未找到引用源。.因为 log(b+1)a<log(b+1)b<0,所以错 误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,即 loga(b+1)>logb(b+1). 综上所述,loga(a+1)>logb(b+1). 四、 课堂练习 2 1. 已知函数 f(x)=lg(x -3x+2)的定义域为 M,函数 g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为 N,那么 M 和 N 的关系是 N? M. 2. 比较下列各组数的大小: (1) log35.4<log35.5; (2) 错误!未找到引用源。π <错误!未找到引用源。e; (3) lg3.12>lg0.02; (5) ln2>ln0.32; (4) ln0.55<ln0.56; (6) log65<log78.

3.已知 0>logm5>logn5,试确定实数 0, 1, m 和 n 的大小关系. 提示 由题可得 0>错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,则 lgm<lgn<0, 所以 0<m<n<1.

五、 课堂小结
本节课通过类比指数函数的图象和性质,探索研究了对数函数的图象和性质.通过对对数函数的性质的应用, 进一步加深了学生对对数函数性质的理解.

第 10 课时

对数函数(2)

教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2 上单调递增) 对数函数是怎样定义的? 对数函数的图象和性质主要有哪些?

(对数函数的图象恒过定点(1, 0).当 0<a<1 时,对数函数在(0, +∞)上单调递减;当 a>1 时,对数函数在(0, +∞)

二、 数学运用
【例 1】 多少? 如图,对数函数 y=logax 的底数 a 分别取值 0.2, 0.5, 1.5, e,则曲线 C1, C2, C3, C4 中 a 的值依次是 (见学生用书课堂本 P51)

(例 1)

[规范板书] 解

在图中取直线 y=1,它与各个对数函数图象的交点的横坐标即为 a 的值,故可得曲线 C1, C2,

C3, C4 中 a 的值依次为 1.5, e, 0.2, 0.5.
[题后反思] 对于对数函数 y=logax 的图象而言,有如下规律:当 0<a<1 时,a 越小,函数图象越靠近 x 轴;当 a>1 时,a 越大,函数图象越靠近 x 轴.[ ]
1

【例 2】

(根据教材 P84 例 3 改编)分别将下列函数的图象与函数 y=log3x 的图象在同一平面直角坐标系中

画出来,并说明两者之间的关系. (1) y=log3(x-2); (2) y=log3(x+2); (3) y=log3x-2; [规范板书] 解 (4) y=log3x+2.(见学生用书课堂本 P52) (1) 将函数 y=log3x 的图象向右平移 2 个单位长度,即得函数 y=log3(x-2)的图象.

(例 2(1))

(2) 将函数 y=log3x 的图象向左平移 2 个单位长度,即得函数 y=log3(x+2)的图象.

(例 2(2))

(3) 将函数 y=log3x 的图象向下平移 2 个单位长度,即得函数 y=log3x-2 的图象.

(例 2(3))

(4) 将函数 y=log3x 的图象向上平移 2 个单位长度,即得函数 y=log3x+2 的图象.

(例 2(4))

[题后反思] 变式 解

对于函数图象的平移,抓住一点:左加右减,上加下减.

函数 y=f(x)与 y=f(x+a)的图象有何关系?函数 y=f(x)与 y=f(x)+a 的图象有何关系? 当 a>0 时,函数 y=f(x+a)的图象可由函数 y=f(x)的图象向左平移 a 个单位长度得到,函数 y=f(x)+a 的图象

可由函数 y=f(x)的图象向上平移 a 个单位长度得到;当 a<0 时,函数 y=f(x+a)的图象可由函数 y=f(x)的图象向右平 移|a|个单位长度得到,函数 y=f(x)+a 的图象可由函数 y=f(x)的图象向下平移|a|个单位长度得到. 【例 3】 (根据教材 P85 例 4 改编)(1) 画出函数 y=log2|x|的图象,并结合图象说说它的有关性质; (见学生用书课堂本 P52) (1) 如图,函数 y=log2|x|在(-∞, 0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递增. (2) 画出函数 y=|log2x|的图象,并结合图象说说它的有关性质. [规范板书] 解

(例 3(1))

(2) 如图,函数 y=错误!未找到引用源。在(0, 1]上单调递减,在[1, +∞)上单调递增.

(例 3(2))

三、 课堂练习
1. 画出函数 y=错误!未找到引用源。的图象,并写出它的单调区间. 解 如图,单调减区间为(0, 2],单调增区间为[2, +∞).

(第 1 题)

2. 画出函数 y=错误!未找到引用源。+1 的图象,并写出它的单调区间. 解 如图,单调减区间为(0, 1],单调增区间为[1, +∞).

(第 2 题)

四、 课堂小结
本节课我们通过函数图象的变换,进一步研究了对数函数图象的性质,并利用数形结合来解决一系列问题.

第 11 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 如何求复合函数 y=f[φ (x)]的单调区间?

对数函数(3)

二、 数学建构
研究复合函数单调性的方法:口诀是“同增异减”.若两个函数同增或同减,则复合后的函数为单调增函数;若 两个函数一增一减,则复合后的函数为单调减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤:①求定义域;②拆分函数;③分别求 y=f(u), u=φ (x)的单调性;④按“同增异 减”的原则得出复合函数的单调性.

三、 数学运用
【例 1】 求下列函数的定义域和值域:
2 2

(1) y=log2x ; (2) y=错误!未找到引用源。(9-x ); (3) y=lg(1-x );
2

(4) y=错误!未找到引用源。x+log2x -1.(见学生用书课堂本 P53)
2

[处理建议] 紧紧扣住对数函数的单调性来处理与对数函数有关的值域问题. [规范板书] 解 域为 R. (2) 由题意可得 9-x >0,即-3<x<3,∴函数的定义域为(-3, 3). ∵ 9≥9-x >0, ∴ 错误!未找到引用源。(92 2

(1) 由题意可得 x >0,即 x≠0, ∴函数的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞). ∵ x >0, ∴函数的值
2 2

x )≥错误!未找到引用源。9=-2, ∴ 函数的值域为[-2, +∞).
2

(3) 由题意可得 1-x >0,即-1<x<1, ∴函数的定义域为(-1 , 1). ∵1≥1-x >0, ∴ lg(1-x )≤错误!未找到引
2 2 2

用源。1=0, ∴ 函数的值域为(-∞, 0]. (4) 由题意可得错误!未找到引用源。 ∴x>0, ∴函数的定义域为(0, +∞).令 t=log2x,则 t∈R, y=t +2t2

1=(t+1) -2≥-2,∴函数的值域为[-2, +∞).
2

[题后反思] ①求形如 y=logaf(x)的函数的值域时,一般先由真数 f(x)>0 求出定义域,然后根据定义域求出

f(x)的范围,再根据 a 的取值确定函数 y=logaf(x)的值域;②求形如 y=f(logax)的函数的值域时,常采用换元法,令 t=logax,先根据定义域求出 t 的范围,再求函数 y=f(t)的值域. 2 【例 2】 求函数 y=错误!未找到引用源。(-2x +x)的单调区间.
[处理建议] 结合对数函数、二次函数的图象和性质进行解决. [规范板书] 解
2 2 2

(见学生用书课堂本 P54)

由-2x +x>0 得 0<x<错误!未找到引用源。.令 t=-2x +x,则 y=错误!未找到引用源。t.
2

因为函数 t=-2x +x 在错误!未找到引用源。上单调递增,在错误!未找到引用源。上单调递减,而函数 y=lo 错误!未找到引用源。t 是单调减函数,所以函数 y=错误!未找到引用源。(-2x +x)的单调增区间为错误!未找 到引用源。,单调减区间为错误!未找到引用源。. [题后反思] 求形如 y=logm(ax +bx+c)的函数的单调性,首先考虑其定义域,然后用换元法分层求出函数的单
2

调性,再复合.熟练之后只要画出二次函数 u=ax +bx+c 在 x 轴上方的图象,便能方便地求解.
2

变式 1

求函数 y=log2(x -2x-3)的单调区间.
2

[规范板书] 解
2

由 x -2x-3>0,得 x<-1 或 x>3.令 t=x -2x-3,则 y=log2t.
2 2

因为函数 t=x -2x-3 在(-∞, -1)上单调递减,在(3, +∞)上单调递增,而函数 y=log2t 是单调增函数,所以函数

y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+ ∞),单调减区间为(-∞, -1). 变式 2 求函数 y=错误!未找到引用源。-2 错误!未找到引用源。x 的单调区间.
[规范板书] 解 由题可得 x>0.令 t=错误!未找到引用源。x,则 t∈R, y=t -2t.
2 2

因为函数 t=错误!未找到引用源。x 在(0, +∞)上单调递减,而函数 y=t -2t 在 t∈(-∞, 1]上 此时 x∈错 误!未找到引用源。 单调递减,在 t∈[1, +∞)上 此时 x∈错误!未找到引用源。 单调递增,所以函数 y=错 误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。x 的单调增区间为错误!未找到引用源。,单调减区间为错误!未找 到引用源。. 变式 3 已知函数 y=loga(x -ax+2)在[1, 2]上为单调增函数,求实数 a 的取值范围.
2

[规范板书] 解 1<a≤2;

要保证真数大于 0,只要 t=x -ax+2 在[1, 2]上的最小值大于 0.
2 2

① 当 a>1 时,由题意可知函数 t=x -ax+2 在[1, 2]上为单调增函数,则错误!未找到引用源。解得 a≤2, ∴

② 当 0<a<1 时,由题意可知函数 t=x2-ax+2 在[1, 2]上为单调减函数,则错误!未找到引用源。无解.
综上所述,实数 a 的取值范围为 1<a≤2.
*

【例 3】

已知函数 f(x)=lg(x -2mx+m+2),若该函数的定义域为 R,试求实数 m 的取值范围.
2

[规范板书] 解 变式 [规范板书] 解

因为该函数的定义域为 R,所以 x -2mx+m+2>0 恒成立,所以 Δ =4m -4(m+2)<0,所以-1<m<2.
2 2 2

若函数 f(x)=lg(x -2mx+m+2)的值域为 R,试求实数 m 的取值范围. 因为该函数的值域为 R,所以 x -2mx+m+2 可取到所有的正数,所以 Δ =4m -4(m+2)≥0,所以
2 2

m≥2 或 m≤-1.

四、 课堂练习 2 1. 函数 y=错误!未找到引用源。(x -6x+17)的值域是(-∞, -3].
提示 令 t=x -6x+17,则 t=(x-3) +8≥8, ∴ y=lo 错误!未找到引用源。t≤lo 错误!未找到引用源。8=-3.
2 2

2. 设 a>1,若函数 f(x)=logax 在错误!未找到引用源。上的最大值与最小值之差为错误!未找到引用源。,则 a=4. 提示 当 a>1 时,函数 f(x)=logax 在错误!未找到引用源。上单调递增,故有 loga(2a)-logaa=错误!未找到引用 源。,解得 a=4. 3. 已知函数 y=错误!未找到引用源。(2x+1)+错误!未找到引用源。(3-x),则它的单调减区间为错误!未找到引 用源。. 提示 由题意可得错误!未找到引用源。 ∴-错误!未找到引用源。<x<3.而 y=错误!未找到引用源。 (2x+1)(3-x),令 t=(2x+1)(3-x),则 y=错误!未找到引用源。t(t>0).由于函数 y=错误!未找到引用源。t 在 t∈(0,

+∞)上单调递减,故要求原函数的单调减区间,只需使函数 t=(2x+1)(3-x)为正并且单调递增,即得 x∈错误!未找到
引用源。.

五、 课堂小结
本节课主要研究了复合函数的单调性和值域.要判断复合函数的单调性,首先要把复合函数拆分为几个简单 函数,分别判断其单调性,然后再利用“同增异减”的原则进行判定.要注意对数函数的真数大于 0,同时底数 a 的 范围对其单调性的影响.

第 12 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2

对数函数(4)

什么是奇函数?什么是偶函数?如何判断函数的奇偶性? 如何判断与对数函数有关的函数的奇偶性?

二、 数学建构 已知函数 f(x)的定义域为 D,若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称函数 f(x)为奇函数; 已知函数 f(x)的定义域为 D,若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称函数 f(x)为偶函数. 三、 数学运用
【例 1】 判断下列函数的奇偶性:
2x

(1) y=lg 错误!未找到引用源。; (2) f(x)=ln(1+e )-x; (3) f(x)=log2(错误!未找到引用源。-x).(见学生用书课堂本 P55) [处理建议] 首先要考虑函数的定义域,然后按照奇偶性的定义进行说明. [规范板书] 解 (1) 由错误!未找到引用源。>0 得-2<x<2,所以函数 f(x)的定义域为(-2, 2). 又 f(-x)=lg 错误!未找到引用源。=lg 错误!未找到引用源。=-lg 错误!未找到引用源。=-f(x),所以函数

y=lg 错误!未找到引用源。为奇函数.
(2) 函数 f(x)的定义域为 R.

∵f(-x)=ln(1+e-2x)+x=ln 错误!未找到引用源。+x=ln(1+e2x)-x=f(x), ∴函数 f(x)是偶函数.
(3) 函数 f(x)的定义域为 R.

∵ f(-x)=log2(错误!未找到引用源。+x)=
log2 错误!未找到引用源。=-log2(错误!未找到引用源。-x)=-f(x), ∴函数 f(x)是奇函数.

[题后反思] ① 对于对数函数的奇偶性,一般用 f(-x)+f(x)=0 或 f(-x)-f(x)=0 进行判断比较方便,例如第(3) 题:f(-x)+f(x)=log2(错误!未找到引用源。+x)+log2(错误!未找到引用源。-x)=log2[(错误!未找到引用源。

+x)(错误!未找到引用源。-x)]=log21=0,所以 f(-x)=-f(x),即函数 f(x)=log2(错误!未找到引用源。-x)是奇函数. ② 函数 y=lg 错误!未找到引用源。是奇函数(m>0, n>0),这可以当做一条性质记住.
变式 求函数 y=lg 错误!未找到引用源。的对称中心. 函数 y=lg 错误!未找到引用源。可以变形为 y=lg 错误!未找到引用源。. [规范板书] 解

由于函数 y=lg 错误!未找到引用源。是奇函数,且以原点为对称中心,所以函数 y=lg 错误!未找到引用源。 以(-1, 0)为对称中心,即函数 y=lg 错误!未找到引用源。的对称中心为(-1, 0). 【例 2】 集. [规范板书] 解 数 f(x)在(0, +∞)上为单调减函数. 又∵f 错误!未找到引用源。<0, ∴ -1<x 错误!未找到引用源。<0,或 x 错误!未找到引用源。>1,解得 0<x<错误!未找到引用源。或 x<错误!未找到引用源。或 x>错误!未找到引用源。. 变式 已知函数 f(x)=logax,且在[3, +∞)上恒有|f(x)|>1,求实数 a 的取值范围. [处理建议] 引导学生分类讨论,且实现恒成立问题的等价转化. [规范板书] 解 已知奇函数 f(x)在(-∞, 0)上为单调减函数,且 f(-1)=0,求不等式 f 错误!未找到引用源。<0 的解 (见学生用书课堂本 P56)

∵函数 f(x)为奇函数,且 f(-1)=0, ∴f(1)=0.又∵函数 f(x)在(-∞, 0)上为单调减函数, ∴函

∵ x∈[3, +∞), ∴ 当 a>1 时,|f(x)|=f(x),由在[3, +∞)上恒有|f(x)|>1,得 logax>1 在[3,

+∞)上恒成立,∴ loga3>1, ∴ 1<a<3. 当 0<a<1 时,|f(x)|=-f(x),由在[3, +∞)上恒有|f(x)|>1,得-logax>1 在[3, +∞)上恒成立,∴ loga3<-1, ∴ 错
误!未找到引用源。<a<1. 综上所述,可知实数 a 的取值范围为错误!未找到引用源。∪(1, 3). 【例 3】 P56) [规范板书] 解 变式 [规范板书] 解
2

解不等式:错误!未找到引用源。(x -3x-4)>错误!未找到引用源。(2x+10).(见学生用书课堂本
2

由已知可得 0<x -3x-4<2x+10,解得错误!未找到引用源。即-2<x<-1 或 4<x<7.
2 2

解不等式:loga(-x +3x+4)-loga(2x-1)>loga2. 原不等式等价于 loga(-x +3x+4)>loga(4x-2).
2

① 当 a>1 时,-x +3x+4>4x-2>0,解得错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。<x<2; ② 当 0<a<1 时, 0<-x2+3x+4<4x-2,解得错误!未找到引用源。即 2<x<4.
综上所述,当 a>1 时,错误!未找到引用源。<x<2;当 0<a<1 时,2<x<4. [题后反思] 在具体的解题过程中,要注意底数 a 的范围对函数单调性的影响,当底数 a 的范围不确定时,要分

a>1 和 0<a<1 进行讨论.
*

【例 4】

已知函数 y=loga(2-ax)在[0, 1]上是单调减函数,求实数 a 的取值范围. 由已知可得 a>0,令 t=2-ax,所以函数 t=2-ax 在[0, 1]上是单调减函数.

[规范板书] 解

又因为 y=loga(2-ax)在[0, 1]上是单调减函数,所以 y=logat 是单调增函数,所以 a>1. 又因为 t=2-ax>0 在[0, 1]上恒成立,而 a>1,所以 2-a>0,所以 1<a<2. [题后反思] 关键利用“同增异减”的原则判断复合函数的单调性. 变式 已知函数 f(x)=lo 错误!未找到引用源。(x -ax+a)在(-∞, 错误!未找到引用源。]上是单调增函数,
2

求实数 a 的取值范围. [处理建议] 引导学生根据“同增异减”的原则,以及对数的底数为正而列出限制条件. [规范板书] 解
2

令 u=x -ax+a,由复合函数的单调性可知,由于 y=lo 错误!未找到引用源。u 是单调减函数,
2

所以只需 u=x -ax+a 在(-∞, 错误!未找到引用源。]上是单调减函数,所以错误!未找到引用源。≥错误!未找 到引用源。,所以 a≥2 错误!未找到引用源。. 又 u=x -ax+a 在(-∞, 错误!未找到引用源。]上要满足 u>0,结合单调性可知 u(错误!未找到引用源。)>0 即
2

可,即 2-错误!未找到引用源。a+a>0,所以 a<2(错误!未找到引用源。+1). 综上可知,实数 a 的取值范围为[2 错误!未找到引用源。, 2 错误!未找到引用源。+2). [题后反思] 学生容易由错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。和 Δ =a -4a<0 得到错解[2 错误!
2

未找到引用源。, 4).要认真分析,结合图形弄清楚,以免出错.

四、 课堂练习
1. 欲使函数 y=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)的值域为(-∞, +∞),则 x 的取值范围是(-1, +∞). 2. 函数 f(x)=ln(x+错误!未找到引用源。)是奇函数.(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”) 3. 已知函数 y=错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。,值域为错误!未找到引用源。,则区间 错误!未找到引用源。的长度 b-a 的最小值是错误!未找到引用源。. 4. 设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -1),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-∞, loga2).
x

提示 由已知得 a -1>1,所以 a >2,由 0<a<1 得 x<loga2.
x x

5. 当 x∈(1, +∞)时,函数 y=log2(ax+1)有意义,则实数 a 的取值范围是 a≥0. 提示 由已知可得,当 x∈(1, +∞)时,ax+1>0 恒成立,即 a>-错误!未找到引用源。恒成立,所以 a>错误!未找到 引用源。,而-1<-错误!未找到引用源。<0,所以 a≥0.

五、 课堂小结
本节课主要研究了对数函数和其他简单函数构成的复合函数的单调性和奇偶性,在解题过程中应注意底数 a 的取值范围对函数单调性的影响,当底数 a 的取值范围不确定时,要分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论.

第 13 课时
教学过程
一、 问题情境
经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:

幂函数(1)

价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5

根据此表,我们可以得到价格 x 与需求量 y 之间近似地满足关系式 y=114.82x 是相关联的. 那么,函数 y=x
-0.38

-0.38

.这个关系式与函数 y=x-0.38

是指数函数吗?

二、 数学建构
(一) 生成概念 一般地,我们把形如 y=x 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数.
α

(二) 理解概念 问题 1 解 幂函数有什么性质?
α

一般地,幂函数 y=x 有下列性质:

(1) 幂函数的图象都过点(1, 1); (2) 当 α >0 时,幂函数在[0, +∞)上单调递增; 当 α <0 时,幂函数在(0, +∞)上单调递减; (3) 当 α =-2, 2 时,幂函数是偶函数;当 α =-1, 1, 3, 错误!未找到引用源。时,幂函数是奇函数; (4) 任何幂函数的图象都不过第四象限; (5) 当 α >0 时,幂函数的图象过点(0, 0), (1, 1). 问题 2 解 幂函数的图象在第一象限内有何分布规律?[ ]
1

(1) 当 α >0 时,在第一象限内,过(1, 1)点后,图象向右上方无限延伸,α 越大,图象上升得越快;

(2) 当 α <0 时,在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴无限地接近;过点(1, 1)后,|α |越大,图 象下落的速度越快; (3) 幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限内;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、二象限内且关于 y 轴 对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、三象限内且关于原点对称.

三、 数学运用
【例 1】
3

(教材 P88 例 1)写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性: (3)y=x .(见学生用书课堂本 P57)
-2

(1) y=x ; (2) y=错误!未找到引用源。; [规范板书] 解
3

[处理建议] 引导学生将负指数幂转化为分式形式,将分数指数幂转化为根式的形式. (1) 函数 y=x 的定义域是 R,它是奇函数.

(2) 函数 y=错误!未找到引用源。可化为 y=错误!未找到引用源。,其定义域是[0, +∞),它既不是奇函数也 不是偶函数. (3) 函数 y=x 可化为 y=错误!未找到引用源。,其定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞),它是偶函数.
-2

[题后反思] ①研究 y=错误!未找到引用源。(p, q 为互质的整数)的定义域,一般将它改写为根式后,再求出 它的定义域.②如何确定幂函数的奇偶性?若指数为整数,可直接判断;若为分数,先把它改写为根式,一看定义域,二 看 f(-x)与 f(x)的关系. 变式 写出函数 y=错误!未找到引用源。的定义域,并指出它的奇偶性. [规范板书] 解 【例 2】

y=错误!未找到引用源。可化为 y=错误!未找到引用源。,其定义域为 R.由于 f(-x)=错

误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=f(x),所以函数 y=错误!未找到引用源。是偶函数. 比较下列各组数的大小: (1) 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。; (2) 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。; (3) 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。; (4) 0.8 , 0.9 .(见学生用书课堂本 P58)
0.5 0.4

[处理建议] 利用幂函数的单调性比较两数的大小. [规范板书] 解 源。. (1) ∵y=错误!未找到引用源。是偶函数, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用

∵-错误!未找到引用源。<0, ∴函数 y=错误!未找到引用源。在(0, +∞)上为单调减函数,而 1.2<1.3, ∴
1.错误!未找到引用源。<1.错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。. (2) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. ∵ 错误!未找到引用源。>0,∴函数 y=错误!未找到 引用源。在[0, +∞)上为单调增函数.

∵2.1<4, ∴错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。>0.而错误!未找到引用源。<0, ∴错误!未找
到引用源。<错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。. (3) ∵错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。=1, 错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。=1, 错误!未找到引用源。<0, ∴错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。. (4) 选择中间数 0.9 .
0.5

∵幂函数 y=x 在[0, +∞)上单调递增,且 0.8<0.9, ∴0.80.5<0.90.5.
0.5

又∵指数函数 y=0.9 在(-∞, +∞)上单调递减,且 0.5>0.4, ∴0.9 <0.9 .
x
0.5 0.4

∴0.80.5<0.90.4.
[题后反思] 熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系.当比较的数多于两个时,一般采用从整体到 局部的思维方法:先与 0 比较,分出正数与负数(如果都是正数,再与 1 比较;如果都是负数,再与-1 比较),最后转化为 只有两个数的大小比较问题.重要的是寻求它们与中间数的大小比较,如第(4)题.一般比较大小有四种方法:①作 差比较法;②作商比较法;③中间值法;④利用函数的单调性比较大小. 变式 求下列各式中实数 a 的取值范围: (1) 错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。. [处理建议] 已知指数相同的两个幂的大小,可以利用幂函数的单调性来确定底数的大小. [规范板书] 解 (1) ∵错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。, ∴ a≥0.又函数 y=错误!未找到 引用源。在[0, +∞)上为单调增函数,∴ a>0.5. (2) 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

① 当 2a+4≥0 时,由函数 y=错误!未找到引用源。在[0, +∞)上为单调增函数知 2>2a+4≥0,即-2≤a<-1; ② 当 2a+4<0 时,由函数 y=错误!未找到引用源。在(-∞, 0]上为单调减函数知-2<2a+4<0,即-3<a<-2.
综上所述,a 的取值范围是(-3, -1).
*

【例 3】

已知幂函数 y=错误!未找到引用源。(m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无交点,且关于 y 轴对称,求 m

的值. [处理建议] 通过常见的幂函数的图象和性质进行分析,体会数形结合的思想. [规范板书] 解 由题意可得 m -2m-2≤0, ∴ 1-错误!未找到引用源。≤m≤1+错误!未找到引用源。.
2

又∵m∈Z, ∴m=0, 1, 2.

又∵该幂函数的图象与 x 轴、y 轴都无交点,且关于 y 轴对称,∴该幂函数为偶函数,∴ m=0 或 2. [题后反思] 对于常见幂函数的图象,要记清其大致形状,对其性质要清晰. 变式 已知幂函数 y=x (m∈Z)和 y=x (m∈Z)的图象都与 x 轴、y 轴无交点,且函数 y=x (m∈Z)的图象关于 y
m-6
2-m 2-m

轴对称,求实数 m 的值. [规范板书] 解
2-m

因为已知两个幂函数的图象都与 x 轴、y 轴无交点,所以错误!未找到引用源。解得 2<m<6.

又因为函数 y=x (m∈Z)的图象关于 y 轴对称,所以 2-m 为偶数,即得 m=4.

四、 课堂练习 1. 写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性和单调性: 4 -3 (1) y=x ; (2) y=错误!未找到引用源。; (3)y=x ;
(4)y=错误!未找到引用源。; (5)y=错误!未找到引用源。. 解 (1) 定义域为 R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增. (2) 定义域为[0, +∞),该函数为非奇非偶函数,在[0, +∞)上单调递增. (3) 定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),该函数为奇函数,在(-∞, 0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递减. (4) 定义域为 R,该函数为奇函数,在 R 上单调递增. (5) 定义域为 R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增. 2. 比较下列各组数的大小: (1) 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。; (2) 0.26 , 0.27 ;
-1 -1

(3) (-0.72) , (-0.75) .
3 3

解 (1) 错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。; (2) 0.26 >0.27 ;
-1 -1

(3) (-0.72) >(-0.75) .
3 3

五、 课堂小结 α 1. α ≠0, 1 时,幂函数 y=x 的图象在第一象限内的特征: (1) 当 α >1 时,图象过点(0, 0), (1, 1),且下凸递增; (2) 当 0<α <1 时,图象过点(0, 0), (1, 1),且上凸递增; (3) 当 α <0 时,图象过点(1, 1),且单调递减,以两坐标轴为渐近线. 2. 由定义域与奇偶性可知幂函数在第四象限内无图象.

第 14 课时
教学过程
一、 问题情境
问题 1 问题 2 【例 1】 什么是幂函数? 幂函数的图象和性质有什么特点?

幂函数(2)

二、 数学运用
已知点错误!未找到引用源。在幂函数 y=f(x)的图象上,点错误!未找到引用源。在幂函数 y=g(x)
n

的图象上,试解不等式 f(x)>g(x).(见学生用书课堂本 P59) [处理建议] 要求幂函数 y=x 的解析式,只要确定 n 的值,根据题设条件中幂函数经过的点就可以求出 n 的值, 从而确定幂函数的解析式,然后解不等式. [规范板书] 解 因为点(错误!未找到引用源。, 3)在幂函数 f(x)=x 的图象上,所以 3=错误!未找到引用
α 2 β

源。,解得 α =2,所以 f(x)=x . 因为点错误!未找到引用源。在幂函数 g(x)=x 的图象上,所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。,解得 β =-2,所以 g(x)=x .
-2

由 f(x)>g(x)得 x >x ,所以错误!未找到引用源。>0,解得 x>1 或 x<-1.
2

-2

所以不等式 f(x)>g(x)的解集为(-∞, -1)∪(1, +∞). [题后反思] 在求解不等式 f(x)>g(x)时,应特别注意函数 g(x)的定义域,即这里要重视 x≠0. 变式 函数 y=(m -m-1)x 是幂函数且在 x∈(0, +∞)上为单调减函数,求实数 m 的值.
2

m-1

[规范板书] 解

∵ 函数 y=(m2-m-1)xm-1 是幂函数, ∴ m2-m-1=1,解得 m=-1 或 m=2. ∵ 函数 y=(m2-m-1)xm-1 在 x∈(0, +∞)上为单调减函数, ∴ m-1<0,即 m<1.

∴ m=-1.
[题后反思] (1) 幂函数的定义是形式定义,要注意其形式特征,如 x 前的系数为 1,底数为 x 等.幂函数 y=x
α

和 y=x 分别是一次函数和二次函数的特例.
2

(2) 若函数 y=(m -m-1)x 改成 y=(m -m-1)错误!未找到引用源。,则由于解不等式 m -4m-3<0 较为困难,可将
2

m-1

2

2

m=-1, m=2 分别代入不等式 m2-4m-3<0 进行检验.
【例 2】 减函数. (1) 求函数 f(x); (2) 比较 f(-2013)与 f(-2014)的大小. [规范板书] 解
*

已知幂函数 f(x)=错误!未找到引用源。(其中 m∈N ,且 m≥2)为奇函数,且在区间(0, +∞)上是单调
*

(见学生用书课堂本 P60)
2

[处理建议] 引导学生运用幂函数的概念和幂函数的性质确定 m 的值,进而运用性质解题. (1) ∵ f(x)=错误!未找到引用源。在(0, +∞)上是单调减函数,∴ m -m-3<0,即错误!未找
2

到引用源。<m<错误!未找到引用源。. 又 m∈N ,且 m≥2,故 m=2.于是 m -m-3=4-2-3=-1,得 f(x)=x ,符合题意.
-1

(2) ∵ 此幂函数为奇函数,∴ f(-2013)=-f(2013)=-错误!未找到引用源。, f(-2014)=-f(2014)=-错误!未找 到引用源。.由于-错误!未找到引用源。<-错误!未找到引用源。,故 f(-2013)<f(-2014). [题后反思] ①判断 f(-2013)与 f(-2014)的大小时,也可以根据 f(x)在(-∞, 0)上是单调减函数来判断;②幂函 数的单调性与奇偶性要加以关注. 变式 求函数 f(x)=错误!未找到引用源。的单调区间,并比较 f(-π )与 f 错误!未找到引用源。的大小. [处理建议] 寻求与基本函数的联系,把它化为幂函数的形式. [规范板书] 解 于直线 x=-2 对称. 因为-2-(-π )=π -2<-错误!未找到引用源。-(-2)=2-错误!未找到引用源。,所以 f(-π )>f 错误!未找到引 用源。. [题后反思] 本题涉及的知识点较多,注意向学生渗透转化与数形结合的思想. 【例 3】 试判断函数 f(x)=错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。+4 在区间错误!未找到引用 (见学生用书课堂本 P60) 设 x1, x2∈错误!未找到引用源。,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(错误!未找到引用源。+2 错 源。上的单调性. [规范板书] 解

f(x)=错误!未找到引用源。=1+(x+2)-2,其图象可以由幂函数 y=x-2 向左平移 2 个单位长度

后,再向上平移 1 个单位长度得到,所以易知该函数的单调减区间为(-2, +∞),单调增区间为(-∞, -2),且其图象关

[处理建议] 利用函数 y=错误!未找到引用源。的单调性来判断函数 f(x)的单调性. 误!未找到引用源。+4)-(错误!未找到引用源。+2 错误!未找到引用源。+4)=(错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。)+2(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=(错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。)(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+2).

∵ 幂函数 y=错误!未找到引用源。在(-∞, +∞)上是单调增函数,且-1≤x1<x2, ∴ -1≤错误!未找到引用
源。<错误!未找到引用源。, ∴ 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。<0, 错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。+2>0.

∴ f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故函数 f(x)在区间错误!未找到引用源。上是单调增函数.
[题后反思] 本题中 f(x)还可以转化为 f(x)=(错误!未找到引用源。+1) +3,然后利用复合函数的单调性求出
2

该函数的单调区间.

三、 课堂练习 1. 设函数 f(x)=(m-1)错误!未找到引用源。,如果 f(x)是正比例函数,则 m=±错误!未找到引用源。;如果 f(x)是
幂函数,则 m=2. 提示 如果 f(x)是正比例函数,则错误!未找到引用源。所以 m=±错误!未找到引用源。.如果 f(x)是幂函数,则

m-1=1,所以 m=2.
2. 若错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。,则实数 a 的取值范围是 0<a<1. 提示 由错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。,所 以 0<a<错误!未找到引用源。,解得 0<a<1.

3. 当 0<x<1 时,幂函数 y=x 的图象在直线 y=x 的上方,那么 p 的取值范围是 p<1.
p

四、 课堂小结
本节课主要是对幂函数的图象和性质的进一步应用,利用其性质对复合函数的单调性进行判断.

第 15 课时
教学过程
一、 问题情境

函数与方程(1)

初中教材中已经研究过二次函数问题,请回忆以下几个问题: 1. 如何求一元二次方程的根? 2. 如何画二次函数的图象?怎样表示二次函数的图象和 x 轴交点的横坐标? 3. 二次函数和一元二次方程之间有哪些内在的联系?

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1 观察二次函数 y=x -2x-3 的图象(如图 1),x 取哪些值时,y=0?
2

(图 1)

我们把二次函数 y=x -2x-3 的值为 0 的实数-1, 3(即一元二次方程 x -2x-3=0 的实数根)称为二次函数 y=x 2 2 2

2x-3 的零点.从图象上看,二次函数 y=x -2x-3 的零点,就是抛物线与 x 轴交点的横坐标.
2

一般地,一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的零点.
2 2

问题 2
2

二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的零点与一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的根之间有怎样的关系?
2 2 2 2

(1) 当 Δ =b -4ac>0 时,二次函数 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有两个交点(x1, 0),(x2, 0),(不妨设 x1<x2)对应的一元 二次方程 ax +bx+c=0(a>0)有两个不等实根 x1, x2;反之亦然. (2) 当 Δ =b -4ac=0 时,二次函数 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有且只有一个交点(x0, 0),对应的一元二次方程
2 2

ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等实根 x0;反之亦然.
(3) 当 Δ =b -4ac<0 时,二次函数 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴没有交点,对应的一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)没有
2 2 2

实根;反之亦然. 一般地,我们把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y=f(x)的零点. 因此,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根.从图象上看,函数 y=f(x)的零点,就是它的图象与 x 轴交点 的横坐标. (二) 理解概念 1. 函数的零点即相应方程的根. 2. 函数的零点就是相应图象与 x 轴交点的横坐标. (三) 巩固概念 问题 3 【例 1】 函数 y=(x-1)(x+2)的零点是什么? 求证:二次函数 y=3x +x-8 有两个不同的零点.
2

三、 数学运用
(见学生用书课堂本 P61)
2

[处理建议] 本题可以结合一元二次方程的根的情况来判断处理,也可以直接考察二次函数 y=3x +x-8 的图 象与 x 轴交点的个数. [规范板书] 证法一
2

考察一元二次方程 3x +x-8=0.
2

∵ Δ =1 -4×3×(-8)=97>0, ∴ 一元二次方程 3x2+x-8=0 有两个不相等的实数根. ∴ 二次函数 y=3x2+x-8 有两个不同的零点. 2 2 证法二 ∵Δ =1 -4×3×错误!未找到引用源。=97>0, ∴ 二次函数 y=3x +x-8 的图象与 x 轴有两个不同的
交点,即二次函数 y=3x +x-8 有两个不同的零点.
2

[题后反思] 还可以先说明函数的图象是一条开口向上的抛物线,然后由 f(0)=3×0 +0-8=-8<0,得到函数的图
2

象与 x 轴有两个不同的交点,即说明了二次函数 y=3x +x-8 有两个不同的零点.
2

【例 2】

(教材 P92 例 2)判断函数 f(x)=x -2x-1 在区间(2, 3)上是否存在零点.
2 2

(见学生用书课堂本 P62)

[规范板书] 解法一

根据求根公式可得方程 x -2x-1=0 的两个根分别为 x1=1+错误!未找到引用源。,

x2=1-错误!未找到引用源。.
因为 1<错误!未找到引用源。<2,所以 2<1+错误!未找到引用源。<3. 因此,函数 f(x)=x -2x-1 在区间(2, 3)上存在零点.
2

解法二

因为 f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数 f(x)=x -2x-1 在区间[2, 3]上的图象是不间断的,这表明此函数
2

图象在区间(2, 3)上一定穿过 x 轴,即函数在区间(2, 3)上存在零点. [题后反思] 一般地,若函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是一条不间断的曲线,且 f(a)·f(b)<0,则函数 y=f(x) 在区间(a, b)上有零点. 变式 已知二次函数 y=f(x)的零点分别是-2 和 3,且该函数的最大值为 5,求 y=f(x)的表达式. [处理建议] 本题条件中提到了函数的零点,需要先弄清楚零点的定义,然后再合适地设二次函数的解析式,最 后通过待定系数法解决问题. [规范板书] 解 设该二次函数的解析式为 y=a(x+2)(x-3),则该函数图象的对称轴为 x=错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。. 由题意得 f 错误!未找到引用源。=5,即 a 错误!未找到引用源。=5,解得 a=-错误!未找到引用源。.

∴y=-错误!未找到引用源。(x+2)(x-3)=-错误!未找到引用源。x2+错误!未找到引用源。x+错误!未找到
引用源。. [题后反思] 合适地选择二次函数解析式的形式,会大大地减少计算量. 【例 3】 已知函数 f(x)=2x -错误!未找到引用源。x+m 有两个不相等的正零点,求实数 m 的取值范围.(见学生用书课堂本 P62)
2

[处理建议] 本题涉及的函数有两个正零点,学生可能会条件反射地说 Δ >0.讲解本题时可以先让学生自己 思考,然后从学生中找几个有代表性的解答做具体的分析. [规范板书] 解 由题意可得 错误!未找到引用源。即 错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。 解得 0<m<3-2 错误!未找到引用源。或 m>3+2 错误!未找到引用源。. [题后反思] 本题实质上就是一元二次方程的根的分布问题,很多时候会采用函数的零点来描述,要注意概念 的转换,其中写等价组是关键,本题也可以用韦达定理来解决.
*

【例 4】

已知 m, n 是二次函数 y=x +(2-k)x+k +3k+5(k∈R)的两个零点,求 m +n 的最大值和最小值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[处理建议] 本题实质上是对应的一元二次方程 x +(2-k)x+k +3k+5=0 有两个实数根,要求 m +n 的最值,首先 要考虑根与系数的关系,并由此得到以 k 为自变量的 m +n 的函数解析式. [规范板书] 解 由题意可知方程 x +(2-k)x+k +3k+5=0(k∈R)有两个实根,所以 Δ =(2-k) -4(k +3k+5)=-3k 2 2 2 2 2 2

16k-16≥0,解得-4≤k≤-错误!未找到引用源。. 又 m+n=-(2-k), mn=k +3k+5,所以

m +n =(m+n) -2mn=(k-2) -2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19. 2 2 2 而 f(k)=-(k+5) +19 在 k∈错误!未找到引用源。上是单调减函数,因此,当 k=-4 时,m +n 取最大值 18;当 k=-错
2 2 2 2

误!未找到引用源。时,m +n 取最小值错误!未找到引用源。.
2 2

[题后反思] 这实质上是一个与一元二次方程的根有关的问题,必须先确定 k 的取值范围,构造以 k 为变量的 函数,然后通过函数的值域求最大值和最小值.

四、 课堂练习
1. 二次函数 y=x -5x-6 的零点为-1 和 6.
2

2. 已知关于 x 的一元二次方程 2x +px+15=0 对应的函数有一个零点是-3,则此函数的另一个零点是-错误!未找
2

到引用源。. 3. 证明:(1) 函数 y=x +5x+3 有两个不同的零点;
2

(2) 函数 f(x)=x -2x-3 在区间(1, 2)上有零点.
4

证明 (1)考察方程 x +5x+3=0,因为 Δ =5 -3×4=13>0,所以方程 x +5x+3=0 有两个不相等的实根,故函数 y=x +5x+3
2 2 2 2

有两个不同的零点; (2)因为 f(1)=-4<0, f(2)=9>0,所以函数 f(x)=x -2x-3 在区间(1, 2)上有零点.
4

4. 若二次函数 f(x)的顶点为 A(1, 16),其图象在 x 轴上截得的线段长为 8,则 f(x)=0 的两根为-3 和 5.

五、 课堂小结
关于二次函数零点的研究,需要系统地联系三个二次(二次函数,一元二次方程,一元二次不等式)问题,其中二 次函数是核心,二次函数的图象能把一些抽象的函数条件具体化,从而帮助我们找到解题思路.

第 16 课时 函数与方程(2)
教学过程
一、 问题情境
对于方程 lgx=3-x,要求出这个方程的解是较为困难的. 我们能否求出这个方程的近似解呢? 让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究. 例如,求方程 x -2x-1=0 的实数根就是求函数 f(x)=x -2x-1 的零点. 根据图象(如图 1),我们发现 f(2)<0,
2 2

f(3)>0.这表明此函数图象在区间(2, 3)上有零点,即方程 f(x)=0 在区间(2, 3)上有实数根. 又因为在区间(2, 3)上
函数 f(x)是单调递增的,所以方程 x -2x-1=0 在区间(2, 3)上有唯一实数根 x1.
2

(图 1)

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1 解 思考 解 如何进一步缩小方程 x -2x-1=0 的实数根 x1 的范围呢?
2

计算得 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。>0,发现 x1∈(2, 2.5)(如图 1),这样可以进一步 你能把 x1 限制在更小的区间内吗? 下面我们利用计算器来求方程 x -2x-1=0 的一个近似解(精确到 0.1). 设 f(x)=x -2x-1,先画出函数图象
2 2

缩小 x1 所在的区间.

的简图(如图 1).

(图 2)

因为 f(2)=-1<0, f(3)=2>0,所以在区间(2, 3)内,方程 x -2x-1=0 有一解,记为 x1.
2

取 2 与 3 的平均数 2.5. 因为 f(2.5)=0.25>0,所以 2<x1<2.5. 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25. 因为 f(2.25)=-0.4375<0,所以 2.25<x1<2.5. 如此继续下去,得

f(2)<0, f(3)>0? x1∈(2, 3), f(2)<0, f(2.5)>0? x1∈(2, 2.5), f(2.25)<0, f(2.5)>0? x1∈(2.25, 2.5), f(2.375)<0, f(2.5)>0? x1∈(2.375, 2.5), f(2.375)<0, f(2.4375)>0? x1∈(2.375, 2.4375).
因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为 2.4,所以此方程的近似解为 x1≈2.4.

利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解. 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法. (二) 理解概念 1. 运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间. 2. 二分法是一种操作,其实是在不断地做同样的一个操作,渗透了算法的循环结构思想. (三) 巩固概念 问题 2 解 二分法的一般操作流程是什么? 给定精度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点的近似值的步骤如下:

(1) 确定区间[a, b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精度 ε ; (2) 求区间(a, b)的中点 x1; (3) 计算 f(x1):

① 若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; ② 若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a, x1)); ③ 若 f(x1)·f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1, b));
(4) 判断是否达到精度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点值 a(或 b);否则重复步骤(2)(4). 由函数的零点与相应方程的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.

三、 数学运用
【例 1】 的近似解. [规范板书] 解 分别画出函数 y=lgx 和 y=3-x 的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此, 这个点的横坐标就是方程 lgx=3-x 的解.由函数 y=lgx 与 y=3-x 的图象可以发现,方程 lgx=3-x 有唯一解,记为 x1, 并且这个解在区间(2, 3)内.设 f(x)=lgx+x-3,利用计算器计算得 (教材 P94 例 1)利用计算器,求方程 lgx=3-x 的近似解.(精确到 0.1) (见学生用书课堂本 P63) [处理建议] 求方程 lgx=3-x 的解,可以转化为求函数 f(x)=lgx+x-3 的零点,故可以利用二分法求出题中方程

f(2)<0, f(3)>0? x1∈(2, 3), f(2.5)<0, f(3)>0? x1∈(2.5, 3), f(2.5)<0, f(2.75)>0? x1∈(2.5, 2.75), f(2.5)<0, f(2.625)>0? x1∈(2.5, 2.625), f(2.5625)<0, f(2.625)>0? x1∈(2.5625, 2.625).

(例 1)

因为 2.5625 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6,所以原方程的近似解为 x1≈2.6. [题后反思] 发现计算的结果约稳定在 2.58717.根据精度要求,可以来确定是否要继续算中点的函数值. 【例 2】 (教材 P96 例 3)求方程 2 +x=4 的近似解.(精确到 0.1)
x x x

(见学生用书课堂本 P64)

[处理建议] 首先利用函数 y=2 与 y=4-x 的图象,估计出方程 2 =4-x 的解所在的区间.然后,运用二分法求出 题中方程的近似解. [规范板书] 解 方程 2 +x=4 可以化为 2 =4-x.
x x x x

分别画出函数 y=2 与 y=4-x 的图象(如图).由图象可以知道,方程 2 +x=4 的解在区间(1, 2)上.对于区间(1, 2), 利用二分法就可以求得它的近似解为 x≈1.4.

(例 2)

[题后反思] 二分法是一种操作性极强的操作方法,主要是掌握其思想方法,为以后的算法学习打下基础. 【例 3】 (教材 P95 例 2)作出函数 y=x 与 y=3x-1 的图象,并写出方程 x =3x-1 的近似解.(精确到 0.1)(见学生用书课堂本 P64)
3 3 3

[处理建议] 本题其实就是求函数 y=x 和 y=3x-1 图象交点的横坐标.

(例 3)

[规范板书] 解

作出函数 y=x 与 y=3x-1 的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等. 因此,这 3
3 3 3

个交点的横坐标就是方程 x =3x-1 的解. 由图象可以知道,方程 x =3x-1 的解分别在区间(-2, -1),(0, 1)和(1, 2)上. 那么,对于区间(-2, -1), (0, 1)和(1, 2)分别利用二分法就可以求得它精确到 0.1 的近似解为 x1≈-1.9, x2≈0.3, x3≈1.5. [题后反思] 函数的图象必须精确地画出,这样才能从图象上观察出解所在的大致区间,进而进行二分法的操 作.
*

【例 4】

已知函数 f(x)=a +错误!未找到引用源。(a>1).
x

(1) 求证:f(x)在(-1, +∞)上为单调增函数. (2) 若 a=3,求方程 f(x)=0 的正根.(精确度为 0.1) [规范板书] 证明 (1) 任取 x1, x2∈(-1, +∞),且 x1<x2,则 x2-x1>0, ∵ a>1, ∴ 错误!未找到引用源。>1,且 错误!未找到引用源。>0.

∴ 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。-1)>0.
又∵ x1+1>0, x2+1>0, ∴ 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。>0. 于是 f(x2)-f(x1)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。>0,即 f(x2)>f(x1).故 f(x)在(-1, +∞)上为单调增函数. (2) 由(1)知,当 a=3 时,f(x)=3 +错误!未找到引用源。在(-1, +∞)上为单调增函数,故在(0, +∞)上单调递增.
x

因此方程 f(x)=0 的正根仅有一个. 由于 f(0)=-1<0, f(1)=错误!未找到引用源。>0, ∴取(0, 1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区 间 (0, 1) (0, 0.5) (0.25, 0.5) (0.25, 0.375) 中 点 0.5 0.25 0.375 0.3125 中点函数值 0.732 -0.084 0.322 0.124

由于|0.3125-0.25|=0.0625<0.1, ∴ 原方程的近似解可取为 0.3125. [题后反思] 求函数零点的近似值时,由于所选的初始区间不同,最后得到的结果可能不同,只要它们符合所给 定的精确度,就是正确的.用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆: “函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然;要求方程近似解,先看零点的区间,每次 区间分为二,先后两端近零点.”

四、 课堂练习 1. 设 x0 是方程 lnx=-x+4 的解,则 x0 所在的区间为(2, 3).(取两个相邻整数之间) 2 2. 估算方程 5x -7x-1=0 的正根所在的区间是(1, 2).(取两个相邻整数之间) 2 3. 估算方程 3x -7x-11=0 的负根所在的区间是(-2, -1).(取两个相邻整数之间) 4. 利用计算器,求方程 lg3x=-x+2 的近似解.(精确到 0.1) 提示 x≈1.4. 五、 课堂小结
本节课学习了用二分法求方程的近似解,它体现了函数的零点与方程的根之间的关系,让学生进一步理解了函 数与方程的思想.

第 17 课时

函数与方程(3)

教学过程

一、 问题情境
若一个二次函数的零点都是正数,是不是简单地用 Δ 和 0 的关系来比较?还需要哪些条件?如果需要把二次 函数的零点限制在特定的范围,需要考虑哪些要素?能否探究出解决该类问题的基本思路?

二、 数学建构
问题 能否根据条件画出合适的图象,并写出等价条件?
a>0 时的图象
一元二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)实数根分布表 a<0 时的图象 充要条件

根的情况 两个根都小于 m

错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用

源。
错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用

两个根都大于 n 一个根大于 m,另 一根小于 m 在区间(m, n)内有 且仅有一个根 在区间(m, n)之外 有两个根 在区间(m, n)内有 两个根

源。
(x1-m)(x2-m)<0 ? af(m)<0

f(m)f(n)<0

探究一元二次方程根的分布时要注意三个条件:①判别式;②对称轴位置;③端点的函数值的符号.

三、 数学运用
【例 1】 已知关于 x 的方程 x +(m-3)x+m=0,分别求适合下列条件的实数 m 的取值范围: (1) 方程的一个根大于 2,另一个根小于 2; (2) 方程的两个根都小于-2; (3) 方程的一个根在(-2, 0)内,另一个根在(0, 4)内; (4) 方程的两个根都在(0, 2)内. (见学生用书课堂本 P65) 2 [处理建议] 引导学生结合二次函数 f(x)=x +(m-3)x+m 的图象进行分析. 2 [规范板书] 解 设 f(x)=x +(m-3)x+m.
2

(1) 原条件等价于 f(2)<0,即 4+2(m-3)+m<0,解得 m<错误!未找到引用源。. (2) 原条件等价于错误!未找到引用源。解得 9≤m<10. (3) 原条件等价于错误!未找到引用源。解得-错误!未找到引用源。<m<0. (4) 原条件等价于错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。<m≤1. [题后反思] 可以借助图象研究函数零点(方程根)的问题;对于一元二次方程的实根分布情况要掌握. 变式 当关于 x 的方程的根满足下列条件时,求实数 a 的取值范围: 2 2 (1) 方程 x -ax+a -7=0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2; 2 (2) 方程 ax +3x+4a=0 的两个根都小于 1; 2 2 (3) 方程 7x -(a+13)x+a -a-2=0 的一个根在区间(0, 1)上,另一个根在区间(1, 2)上; 2 (4) 方程 x +ax+2=0 的两个根中至少有一个根小于-1. [处理建议] 可将方程的左端设为相应的函数,然后结合二次函数的图象,确定关于 a 的不等式(组). 2 2 [规范板书] 解 (1) 设 f(x)=x -ax+a -7,其图象为开口向上的抛物线.若要使其图象与 x 轴的两个交点在点 2 (2, 0)的两侧,只需 f(2)<0,即 4-2a+a -7<0,∴ -1<a<3. (2) ① 当 a=0 时,x=0,满足题意.

② 当 a≠0 时,设 f(x)=ax2+3x+4a.若要使方程的两个根都小于 1,只要错误!未找到引用源。 ? 错误!未找
到引用源。 ? 0<a≤错误!未找到引用源。. 综上所述,0≤a≤错误!未找到引用源。. (3) 设 f(x)=7x -(a+13)x+a -a-2,则方程的一个根在(0, 1)上,另一根在(1, 2)上等价于错误!未找到引用源。
2 2

∴ 错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未找到引用源。 ∴ -2<a<-1 或 3<a<4. 2 (4) 设 f(x)=x +ax+2.

① 若方程的两个根都小于-1,则有错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用源。 ? 2 错误!未找到
引用源。≤a<3.

② 若方程的两个根一个大于-1,另一个小于-1,则有 f(-1)=3-a<0, ∴ a>3. ③ 若方程的两个根一个等于-1,另一个小于-1,由根与系数的关系知另一个根必为-2, ∴-a=-1+(-2), ∴ a=3. 综上所述,a≥2 错误!未找到引用源。.
[题后反思] 二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带,函数综合题往往以二次函数为载体,通常考查函数 的值域、奇偶性、单调性及一元二次方程实根分布、一元二次不等式的解集等问题,考查形式灵活多样,考查思想 涉及数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等,高考在此设计的难度远远高于课本要求.在学习时一方 面要加强训练,另一方面要提高分析问题、解决问题的能力. 【例 2】 已知方程错误!未找到引用源。=b (a>0 且 a≠1)有正实数根,求实数 b 的取值范围.(见学生用书课堂本 P66)
-2x

[处理建议] 方程中未知数 x 均在指数上,只要两边同取对数,就可以将指数“搬”下来. [规范板书] 解 loga 错误!未找到引用源。=logab
-2x

? x -2x+1=-2xlogab ? x +(2logab-2)x+1=0,根据题
2 2

意知错误!未找到引用源。 ∴ logab≤0. 当 a>1 时,0<b≤1;当 0<a<1 时,b≥1. 2 [题后反思] 实系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个根 x1, x2.

① 两根均为正 ? 错误!未找到引用源。 ② 两根均为负 ? 错误!未找到引用源。 ③ 一正一负 ? x1x2<0(这时 ac<0,已经内含了 Δ =b2-4ac>0 的条件). 因此,对于正根和负根的研究,也可以借助韦达定理. 2 变式 1 已知函数 f(x)=kx +(k-3)x+1 的图象与 x 轴在原点的右侧有交点,试确定实数 k 的取值范围. [处理建议] 这是个存在性问题,只要函数 f(x)有正零点存在即可. [规范板书] 解 (1) 当 k=0 时,f(x)=-3x+1,其图象与 x 轴的交点为错误!未找到引用源。,符合题意. (2) 当 k≠0 时,f(0)=1. ① k<0 时,f(x)的图象是开口向下的抛物线,它与 x 轴有两个交点,且分别位于原点的两侧,符合题意; ② k>0 时,f(x)的图象是开口向上的抛物线,根据题意得错误!未找到引用源。解得 0<k≤1. 综上所述,k 的取值范围为(-∞, 1]. 2x x 变式 2 已知函数 f(x)=ke +(k-3)e +1 有零点,试确定实数 k 的取值范围. x 2 2 [处理建议] 换元处理.令 t=e >0,以 t 为变量,原函数就化为 y=kt +(k-3)t+1,原来的问题就转化成 y=kt +(k3)t+1 有正零点,和变式 1 的本质是一样的.需要注意的是,换元处理后,新元 t 的范围要准确求出,这样才能等价. x 2 [规范板书] 解 令 t=e >0,则原函数化为 f(t)=kt +(k-3)t+1. (1) 当 k=0 时,f(t)=-3t+1,它的零点为错误!未找到引用源。,符合题意. (2) 当 k≠0 时,f(0)=1. ① 当 k<0 时,f(t)的图象是开口向下的抛物线,它有两个零点(一正一负),符合题意; ② 当 k>0 时,f(t)的图象是开口向上的抛物线,根据题意得错误!未找到引用源。解得 0<k≤1. 综上所述,k 的取值范围为(-∞, 1]. * 2 【例 3】 若关于 x 的方程 lg(x +20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一的实根,求实数 a 的取值范围. [处理建议] 本题是一个对数方程,在去掉对数符号时,必须考虑其等价性,就是真数要大于 0.
[规范板书] 解 原方程等价于 错误!未找到引用源。即 令 f(x)=x +12x+6a+3.
2

(1) 若抛物线 y=f(x)与 x 轴相切,则 Δ =144-4(6a+3)=0, ∴ a=错误!未找到引用源。.将 a=错误!未找到引 用源。代入②式,得 x=-6,不满足①式,∴ a≠错误!未找到引用源。. (2) 若抛物线 y=f(x)与 x 轴相交,因为其对称轴为 x=-6(如图),故交点的横坐标有且仅有一个满足①式的充要 条件是错误!未找到引用源。解得-错误!未找到引用源。≤a<-错误!未找到引用源。.

(例 3)

综上所述,当-错误!未找到引用源。≤a<-错误!未找到引用源。时,原方程有唯一的实根. [题后反思] 在解题过程中,要画出相应的图象,然后从图象中找到等价条件.

四、 课堂练习 2 1. 若方程 2x +(a+1)x+2a-3=0 的一个根小于-1,另一个根大于 0,则实数 a 的取值范围是 a<错误!未找到引用源。.
2. 已知方程 x -kx+2=0 在区间(0, 3)上只有一个解,则实数 k 的取值范围是 k>错误!未找到引用源。.
2 2

3. 判断方程 x -(2a+2)x+2a+5=0(其中 a>2)在区间(1, 3)上是否有解. 2 解 有解.因为 a>2,所以 f(1)=4>0, f(3)=-4a+8<0,由根的存在性定理知方程 x -(2a+2)x+2a+5=0(其中 a>2)在区间(1, 3)上有解. 2 4. 若方程 2ax -x-1=0 在区间(0, 1)上恰有一个解,则实数 a 的取值范围是 a>1.

五、 课堂小结
对于一元二次方程的根的研究,需要系统地联系三个二次(二次函数,一元二次方程,一元二次不等式)问题,其 中二次函数是核心.对于根的分布问题,需要熟练地画出与之相对应的二次函数的图象,写出等价条件,进而解决问 题.

第 18 课时 函数模型及其应用(1)

教学过程
一、 问题情境
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,是研究变量之间依赖关系的有效工具,利用函数模型可以处理 生产、生活中许多实际问题. 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用 128 万元购买土地 10000m ,该中心每块球场的建设面积为 1000m ,球
2 2

场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关.当该中心建球场 x 块时,每平方米的平均建设费用(单 位:元)可近似地用函数 f(x)=400 错误!未找到引用源。来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费 用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场? 生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题,如何处理这些问题呢?

二、 数学建构
回到上面的情境,题目中涉及多个数据,提到一个函数,解题时可以先粗读也就是通读一遍题目,大致了解一下 题意;然后第二遍读题,整理各个数据,理清其间关系,建立函数模型;最后研究这个函数的单调性,求出最小值.需要 注意的是建立函数模型的同时要求出这个函数的定义域.

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P98 例 1)某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机的 (见学生用书课堂本 P67) 可变成本为 3000 元,每台计算机的售价为 5000 元.分别写出总成本 C(单位:万元)、单位成本 P(单位:万元)、销售 收入 R(单位:万元)以及利润 L(单位:万元)关于总产量 x(单位:台)的函数关系式. [处理建议] 本题给出了几个变量之间的关系,理清后构造出相应的函数,值得注意的是应用题要关注函数的 定义域.本题中销售利润 L(x)=销售收入 R(x)-总成本 C(x),其中总成本 C(x)=固定成本+可变成本. [规范板书] 解 总成本与总产量的关系为 C=200+0.3x, x∈N .
* * *

单位成本与总产量的关系为 P=错误!未找到引用源。+0.3, x∈N . 销售收入与总产量的关系为 R=0.5x, x∈N . 利润与总产量的关系为 L=R-C=0.2x-200, x∈N .
*

[题后反思] 理清各个变量之间的关系后,本题的解题思路非常清晰,函数关系也比较简单,把题意数字化后, 比较容易处理. 【例 2】 已知将进货单价为 8 元的商品按 10 元/个销售时,每天可卖出 100 个.若将这种商品的销售单价每 设销售单价应涨价 x 元,则实际销售单价为(10+x)元,由题意得最大利润为 y=(10+x)(1002

涨 1 元,则日销售量就减少 10 个.为了获得最大利润,则此商品的销售单价应定为多少元?最大利润是多少元?(见学生用书课堂本 P68) [规范板书] 解 10x)-8(100-10x)=-10(x-4) +360(0≤x<10),故当 x=4 时,ymax=360. 答:当此商品的销售单价定为 14 元时,可获得最大利润为 360 元. [题后反思] 读懂题意是解决应用问题的关键.对于应用问题,一定要让学生自己弄懂题意,列出函数关系式, 切不可越俎代庖.还需注意提醒学生写上自变量的适用范围,即函数的定义域. 变式 随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a(140<2a<420,且 a 为偶数) 人,每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元, 但公司需支付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的错误! 未找到引用源。,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

[处理建议]
2

本题中的数据较复杂,经过梳理后可以弄清其间关系,合适地构造变量也是解应用题的一个关键. 设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=-错误!未找到引

[规范板书] 解

用源。[x -2(a-70)x]+2ab,依题意有 2a-x≥错误!未找到引用源。·2a, x>0, ∴ 0<x≤错误!未找到引用源。. 又 140<2a<420, 70<a<210. (1) 当 0<a-70≤错误!未找到引用源。,此时 70<a≤140 时,当 x=a-70 时, y 取到最大值; (2) 当 a-70>错误!未找到引用源。,此时 140<a<210 时,当 x=错误!未找到引用源。时,y 取到最大值. 综上所述,当 70<a≤140 时,应裁员(a-70)人;当 140<a<210 时,应裁员错误!未找到引用源。人. [题后反思] 在应用题的解题过程中,自变量的范围也就是函数的定义域是比较容易忽略的,本题最后转化成 了一个动轴的二次函数问题.
*

【例 3】

某学校要建造一个面积为 12000m 的运动场.如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、 BC
2

为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8m 的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平 方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元.由于条件的限制,运动场的宽度(图中半圆的直径 AD)要求不超过 80m 且不少于 60m,要使运动场的造价最低,应如何设计运动场?并求出该运动场的最低造价.(长度精确到米,造价 精确到元)

(例 3)

[处理建议] 解决这一实际问题的关键,是选择恰当的自变量,建立运动场造价的目标函数,将问题转化为求函 数的最小值问题,从而利用相关函数知识求解. [规范板书] 解 设半圆的半径 OA=rm,运动场造价为 y 元,则 r∈[30, 40].
2 2

塑胶跑道面积 S=π [r -(r-8) ]+8×错误!未找到引用源。×2=错误!未找到引用源。+8π r-64π . 运动场造价 y=150×错误!未找到引用源。+30×错误!未找到引用源。=360000+120 错误!未找到引用 源。+8π r -7680π . 易证,此函数是 r∈[30, 40]上的单调减函数. 所以当 r=40 时,运动场造价最低,最低造价为 y=360000+120 错误!未找到引用源。-7680π ≈744510(元). 此时,直道 AB=错误!未找到引用源。≈87(m). 故设计的运动场直道长 AB 为 87m,弯道直径为 80m 时,运动场的造价最低,最低造价为 744510 元. [题后反思] (1) 解应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案. (2) 函数 f(x)=x+错误!未找到引用源。是一种重要函数,根据函数单调性的定义,不难得到:

① 当 a>0 时,f(x)在区间(-∞, -错误!未找到引用源。]和[错误!未找到引用源。, +∞)上是单调增函数,在
区间[-错误!未找到引用源。, 0)和(0, 错误!未找到引用源。]上是单调减函数;

② 当 a<0 时,f(x)在区间(-∞, 0)和(0, +∞)上都是单调增函数.[1]

四、 课堂练习 1. 做匀加速直线运动的物体,其速度公式为 v=v0+at(其中 v 为物体运动 t 时的速度,v0 为物体运动的初速度,a 为 物体运动的加速度).现有一物体以 5m/s 的初速度做匀加速直线运动,经过 3s 后其速度达到 17m/s,则其运动的加 2 速度为 4m/s . 2. 生产一定数量某种产品的全部支出称为生产成本,它可表示为该产品生产数量的函数.现知道一企业生产这种
产品的数量为 x 件时的成本函数是 C(x)=200+10x+错误!未找到引用源。x (单位:元),若每售出一件这种产品的收
2

入是 200 元,那么生产并销售这种产品 200 件时,该企业所得的利润可达到 17800 元. 3. 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,若生产量每增加一单位产品,则成本增加 1 万元.又知总收入

R(单位:万元)是单位产品数量 Q 的函数,且 R=4Q-错误!未找到引用源。Q2,则总利润 L 的最大值是 250 万元,此时
单位产品的生产数量为 300.

五、 课堂小结

本节课主要研究了求解实际应用题,其一般步骤为:通读题意,提取信息,构造模型,解决问题.解题过程中的难 点在于建立合适的数学模型,由于应用题往往涉及的数据较多,因此需要仔细的读题,采集数据,分析题意,确定模型.

第 19 课时 函数模型及其应用(2)
教学过程
一、 问题情境
在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题.例如:如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,则关于时 间 x 的总产值 y 可以用公式 y=N(1+p) 表示.
x

二、 数学建构
问题 1 某公司拟投资 1000 万元,有两种获利的方案可供选择:一种是年利率为 10%,按单利计算,5 年后收回
4 5 6

本金和利息;另一种是年利率为 9%,按每年复利一次计算,5 年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比 另一种投资 5 年可多得利息多少元?(参考数据:1.09 ≈1.4116, 1.09 ≈1.5386, 1.09 ≈1.6771) 题目中涉及两种投资方式回报的比较,生活中常常出现.两种投资方式一种涉及单利,一种涉及复利(即利滚 利),可分别根据单利与复利的计算方法计算出本息和,再进行比较,判断优劣. 具体解答如下:本金 1000 万元,年利率为 10%,按单利计算,5 年后收回的本息和是 1000×(1+10%×5)=1500(万 元);本金 1000 万元,年利率为 9%,按每年复利一次计算,5 年后收回的本息和是 1000×(1+9%) =1538.6(万元).因此,
5

按年利率为 9%的每年复利一次计算要比按年利率为 10%的单利计算更有利,5 年后多得利息 38.6 万元.

三、 数学运用
【例 1】 (教材 P98 例 2)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 T0,经 过一定时间 t 后的温度是 T,则

T-Ta=(T0-Ta)·错误!未找到引用源。,
其中 Ta 表示环境温度,h 称为半衰期. 现有一杯用 88℃热水冲的速溶咖啡,放在 24℃的房间中,如果咖啡降温到 40℃需要 20min,那么降温到 35℃时, 需要多长时间?(结果精确到 0.1) 体数据对号入座后,并不难得到答案. [规范板书] 解 由题意知 40-24=(88-24)·错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。,解得 h=10. 故 T-24=(88-24)·错误!未找到引用源。. 当 T=35 时,代入上式,得 35-24=(88-24)·错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。,两边取对数,用计算器求得 t≈25.4. 因此,约需要 25.4min,可降温到 35℃. [题后反思] 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题,需由已知条件先确定函数关系式,然后再求解.本 题的实质为已知自变量的值,求对应的函数值的数学问题.由于运算比较复杂,要求学生能够借助计算器进行计算. 【例 2】 现有某种细胞 100 个,其中有占总数错误!未找到引用源。的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞
10

(见学生用书课堂本 P69)

[处理建议] 题目中给出了一个关系式,同时给出了若干个变量之间的关系,看似有点复杂,但用后面给出的具

分裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 10 ?(参考数据:lg3≈0.477, lg2≈0.301)(见学生用书课堂本 P70) [处理建议] 现有细胞 100 个,可以先逐个研究 1h、 2h、 3h、 4h 后的细胞总数,找到规律后寻找出相应的 函数关系式. [规范板书] 解 1h 后,细胞总数为错误!未找到引用源。×100+错误!未找到引用源。×100×2=错误! 未找到引用源。×100; 2h 后,细胞总数为错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×100+错误!未找到引用源。×错误!未 找到引用源。×100×2=错误!未找到引用源。×100; 3h 后,细胞总数为错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×100+错误!未找到引用源。×错误!未 找到引用源。×100×2=错误!未找到引用源。×100;

4h 后,细胞总数为错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×100+错误!未找到引用源。×错误!未 找到引用源。×100×2=错误!未找到引用源。×100; 可见,细胞总数 y 与时间 x(h)之间的函数关系式为 y=100×错误!未找到引用源。, x∈N .
*

由 100×错误!未找到引用源。>10 ,得错误!未找到引用源。>10 ,两边取以 10 为底的对数,得 xlg 错误!
10 8

未找到引用源。>8, ∴ x>错误!未找到引用源。. ∵ 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≈45.45,

∴ x>45.45.
答:约经过 46h,细胞总数将超过 10 .
10

[题后反思] 本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数 y 与时间 x(h)之间的函数关系式;解类似 a >b 这类不等
x

式,通常在不等式的两边同时取对数,然后利用对数函数的单调性求解.这种通过观察几个特殊值的特征,从而归纳 出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”,在数学中会经常用到. 【例 3】 (教材 P99 例 3) 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最
* 2

多生产 100 台报警系统装置,生产 x 台(x∈N )的收入函数为 R(x)=3000x-20x (单位:元),其成本函数为

C(x)=500x+4000(单位:元),利润是收入与成本之差.
(1) 求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (2) 利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值? 函数,一个是一次函数,一个是二次函数,处理起来并不困难,关键是读懂题意. [规范板书] 解 由题意知,x∈[1, 100],且 x∈N .
* 2 2

(见学生用书课堂本 P70)

[处理建议] 题中提到两个函数,比较直接,带领学生读懂题意后就能写出要研究的函数 MP(x);本题涉及两个

(1) P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x -(500x+4000)=-20x +2500x-4000,

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x. (2) P(x)=-20 错误!未找到引用源。+74125,当 x=62 或 x=63 时,P(x)的最大值为 74120(元).
因为 MP(x)=2480-40x 是单调减函数,所以当 x=1 时,MP(x)的最大值为 2440(元). 因此,利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最大值. [题后反思] 本题中边际利润函数 MP(x)在 x=1 时取得最大值,这说明生产第二台与生产第一台的总利润差最 大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x 是单调减函数,这说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相 比在减少. 通过上述几个例子,我们可以看出,解决实际问题通常按 实际问题 → 建立数学模型 → 得到数学结果 → 解决实际问题 的步骤进行,其中建立数学模型是关键.
*

【例 4】

某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营

状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).

(例 4)

已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售 q(百件)与销售价 p(元/价)之间的关系用右图中的一条折 线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应交付的其他费用为每月 13200 元. (1) 若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (2) 若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务?此时每件消费品的价格定为多少元? [规范板书] 解 (1) 设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名,则 S=q(p-40)×100-600m-13200. 又由图可知 q=错误!未找到引用源。所以,S= 错误!未找到引用源。 由已知,当 p=52 时,S=0,即(-2p+140)(p-40)×100-600m-13200=0,解得 m=50.即此时该店有 50 名职工.

(2) 若该店只安排 40 名职工,则月利润 S=错误!未找到引用源。 当 40≤p≤58 时,求得 p=55 时,S 取最大值 7800 元;当 58<p≤81 时,求得 p=61 时,S 取最大值 6900 元. 综上,当 p=55 时,S 有最大值 7800 元. 设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意有 12n×7800-268000-200000≥0.解得 n≥5. 所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. [题后反思] ①本题有效信息必须从图象上去读取,由于给出的图象是两段线段,故建立的函数关系式为分段 函数,分段函数应特别注意函数关系与定义域间的对应;②对于分段函数的最值问题,应先在各自的定义域上求出 各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值.

四、 课堂练习 1. 复利就是把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息(就是人们常说的“利滚利”).设本金 x * 为 p,每期利率为 r,存期为 x,则到期后本金与利息和为 y=p(1+r) , x∈N . 2. 单利就是在计算每一期的利息时,本金还是第一期的本金.设本金为 p,每期利率为 r,存期为 x,则到期后本金与 * 利息和为 y=p(1+rx), x∈N . 3. 某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质减少到原来的 5%以下, 则至少需要过滤的次数为 14.(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771)

(第 4 题)

4. 有一批材料可以建成 200m 的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔 成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积为 2500m .(围墙厚度不计)
2

五、 课堂小结
建立函数模型就是将实际应用问题转化成数学问题,是数学化解决实际应用问题的关键,一般通过对函数性质 的研究来解决数学问题,从而达到解决实际应用问题的目的.

第 20 课时
教学过程
一、 知识梳理 1. 初等基本函数

本章复习

2. 函数的应用

提醒:要充分注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法解题.

二、 数学应用
(一) 指数、对数的运算 【例 1】 化简下列各式: (1) 错误!未找到引用源。÷错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。(a>0, b>0); (2) lg5(lg8+lg1000)+错误!未找到引用源。+lg 错误!未找到引用源。+lg0.06.(见学生用书课堂本 P72) [规范板书] 解 (1) 原式=错误!未找到引用源。÷错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。·错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·错 误!未找到引用源。=a. (2) 原式=lg5(3lg2+3)+3lg 2-lg6+lg6-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1.
2

[题后反思] 在指数运算过程中,注意运算顺序,并能灵活运用乘法公式;正确使用分数指数幂、对数的运算法 则是解决指数式运算和对数式运算的正确保障. 变式 计算:(1) log2.56.25+lg0.001+ln 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。;
0

(2) 错误!未找到引用源。-(2009) -错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。. [规范板书] 解 源。. (二) 对数函数与二次函数的复合问题 【例 2】
2

(1) 原式=2+(-3)+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。×3=1.

(2) 原式=错误!未找到引用源。-1-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用

求函数 f(x)=错误!未找到引用源。-2 错误!未找到引用源。x +5 在[2, 4]上的最大值和最小值.(见学生用书课堂本 P72) 设 t=lo 错误!未找到引用源。x, ∵ x∈[2, 4], ∴ t∈错误!未找到引用源。,则 f(t)=t 2

[处理建议] 先换元,再转化为二次函数在给定区间上的值域问题. [规范板书] 解
2

4t+5=(t-2) +1. ∴ 当 t=-1 时,f(t)max=10;当 t=-错误!未找到引用源。时,f(t)min=错误!未找到引用源。. [题后反思] ①求形如 y=f(logax)的函数的值域时,常采用换元法,令 t=logax,根据定义域先求出 t=logax 的值 域,再求 y=f(t)的值域.②求形如 y=logaf(x)的函数的值域时,一般先结合真数 f(x)>0 求出定义域,然后根据定义域 求出 y=f(x)的值域,再根据 a 的取值确定 y=logaf(x)的值域. 变式 求函数 y=log4(3x+1)+错误!未找到引用源。log2(x+1), x∈[0, 1]的值域. [处理建议] 紧紧扣住对数函数的单调性处理与对数函数有关的值域问题. [规范板书] 解

y=log4(3x+1)+错误!未找到引用源。log2(x+1)=log4(3x+1)+log4(x+1)=log4(3x2+4x+1).
2

∵ t=3x2+4x+1=3 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。在[0, 1]上单调递增,∴ t∈[1, 8].
又∵ y=log4t 是单调增函数,∴ y=log4(3x +4x+1)在 x∈[0, 1]上单调递增.

∴ y∈[log41, log48],即函数的值域为 0, 错误!未找到引用源。 .
(三) 三个“二次”的运用 【例 3】 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1, 3). (见学生用书课堂本 P72) (1) 若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求函数 f(x)的解析式; (2) 若函数 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

[处理建议] 注意二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系. [规范板书] 解 由题可知不等式 f(x)+2x>0 的解集为(1, 3),故可设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, ∴
2 2

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.
(1) 若 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,则方程 ax -(2+4a)x+9a=0 有两个相等的实根,∴ Δ =[-(2+4a)] -4a×9a=0, 即 5a -4a-1=0,解得 a=1 或 a=-错误!未找到引用源。. ∵a<0, ∴ a=-错误!未找到引用源。, ∴ f(x)=-错误!
2

未找到引用源。x -错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。.
2

(2) ∵ f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。,且 a<0, ∴ f(x)max=-错误!未
2

找到引用源。. 由题意可得错误!未找到引用源。解得 a<-2-错误!未找到引用源。或-2+错误!未找到引用源。<a<0.

∴当函数 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围为 a<-2-错误!未找到引用源。或-2+错误!未找到引用
源。<a<0. [题后反思] 对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系要熟练掌握,增强对知识内部结 构联系的理解与运用是提高数学思维能力的有效途径. 变式 已知 x1, x2 是函数 f(x)=ax +bx+1(a, b∈R, a>0)的两个零点,函数 f(x)的最小值为-a,记 P={x|f(x)<0,
2

x∈R}.
(1) 试探求 x1, x2 之间的等量关系(不含 a, b). (2) 当且仅当 a 在什么范围内时,函数 g(x)=f(x)+2x(x∈P)存在最小值? (3) 若 x1∈(-2, 2),试确定实数 b 的取值范围. [规范板书] 解 (1) 由题意得错误!未找到引用源。=-a,得 b -4a=4a , ∴ x1, 2=错误!未找到引用源。=错
2 2 2

误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ |x1-x2|=2. (2) 由 f(x)<0,得错误!未找到引用源。<x<错误!未找到引用源。.g(x)=ax +(b+2)x+1,其对称轴为 x=-错误! 未找到引用源。,若函数 g(x)存在最小值,则错误!未找到引用源。<-错误!未找到引用源。<错误!未找到引用 源。, ∴ a>1. (3) ∵ x1∈(-2, 2),∴ -2<错误!未找到引用源。<2 或-2<错误!未找到引用源。<2, ∴ -1<错误!未找到 引用源。<3 或-3<错误!未找到引用源。<1,从而有-3<错误!未找到引用源。<3, |b|<6a, b <36a . ∵ b =4a+4a ,
2 2 2 2

∴ 4a+4a2<36a2, ∴ a>错误!未找到引用源。, ∴ b2=4a+4a2>4 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴实数 b 的取值范围为错误!未找到引用源。∪错误!未找到引用源。.
(四) 函数的应用问题
*

【例 4】

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200m 的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限
2

制,长、宽都不能超过 16m,假设池外周壁建造单价为 400 元/m,中间两条隔墙建造单价为 248 元/m,池底建造单价 为 80 元/m(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

(例 4)

(1) 试写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)之间的函数关系式,并指出其定义域; (2) 污水处理池的长和宽应为多少时,总造价最低?并求出最低总造价. [处理建议] 先分池外周壁造价、中间两条隔墙造价、池底建造造价三部分,然后再加在一起. [规范板书] 解 (1) 设污水处理池长为 xm,由题意可得 y=400 错误!未找到引用源。+248×错误!未找到 引用源。×2+80×200,即 y=800 错误!未找到引用源。+16000.

∵ 0<x≤16 且 0<错误!未找到引用源。≤16, ∴ 12.5≤x≤16, ∴ 该函数的定义域为[12.5, 16].
(2) 由(1)可以证明当 12.5≤x≤16 时,函数 y=800 错误!未找到引用源。+16000 为单调减函数(略).

∴ 当 x=16 时,错误!未找到引用源。=12.5, ymin=45000(元).
故当污水处理池的长为 16m、宽为 12.5m 时,总造价最低为 45000 元. [题后反思] (1) 解应用问题,首先应通过审题,分析原型结构,深刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾,提出 必要的假设,将应用问题转化为数学问题求解,然后,经过检验,求出应用问题的解. (2) 函数 f(x)=x+错误!未找到引用源。是一种重要函数,根据函数单调性的定义,不难得到:

① 当 a>0 时,f(x)在区间(-∞, -错误!未找到引用源。]和[错误!未找到引用源。, +∞)上是单调增函数,在
区间[-错误!未找到引用源。, 0)和(0, 错误!未找到引用源。]上是单调减函数;

② 当 a<0 时,f(x)在(-∞, 0)和(0, +∞)上都是单调增函数.

三、 补充练习 1. 计算:错误!未找到引用源。-lg5+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=0.
提示 原式=错误!未找到引用源。-lg5+1-lg2-错误!未找到引用源。=1-(lg5+lg2)=0. 2. 设 a=错误!未找到引用源。, b=0.3 , c=log0.30.2,则 a, b, c 的大小关系是 c>a>b.
0.5

提示 ∵1>错误!未找到引用源。>0.3 , log0.30.2>log0.30.3=1, ∴ c>a>b.
0.5

3. 函数 y=错误!未找到引用源。的值域为(-∞, 0)∪[1, +∞). 提示 由 y=3 (x≥0)可得 y≥1,由 y=-x +2x(x<0)可得 y<0,故所求函数的值域为(-∞, 0)∪[1, +∞).
x
2

四、 课堂小结
本章研究了几类特殊的函数(指数函数、对数函数、幂函数)的图象、性质及其应用,主要通过数形结合的方 法来研究函数的性质,在利用函数的图象探索函数性质的同时,利用函数的性质又可以作出函数的图象.运用函数 解决实际应用问题的关键是建立合适的数学模型.


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