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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第5篇 等比数列与等差数列的综合应用学案 理


第三十五课时 等差数列与等比数列的综合 课前预习案
考纲要求 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. 基础知识梳理 1、等差数列的性质 (1) an ? am ? (n ? m)d , d ? ; ,若 2m ? p ? q ,则 ; 数列;

(2)在等差数列中,若 m ? n ? p ? q ,则

(3)若 ?an ? ,?bn ? 为等差数列,公差分别为 d1 , d 2 ,则数列 ? pan ? ,?an ? q? ,?an ? bn ? 为

(4)在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?m , an ? 2 m ,…为等差数列,公 差为 ; (5)等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也为等差数列,公差为 ;

(6)通项公式是 an ? An ? B ? A ? 0? 是一次函数的形式;前 n 项和公式 S n ? An2 ? Bn? A ? 0? 是不含常 数项的二次函数的形式。 (注当 d ? 0 时,S n=na1, a n=a1) (7)若 a1 ? 0 , d ? 0 , Sn 有最 值,可由不等式组 ?

? an ? 0, 来确定 n ; ? an ?1 ? 0.

若 a1 ? 0 , d ? 0 , Sn 有最 2、等比数列的性质 (1) am ? an q m ? n , q ? ? m ? n am ;
an

值,可由不等式组 ?

? an ? 0 来确定. ?an?1 ? 0

(2)在等比数列中,若 p ? q ? m ? n ,则

;若 2m ? p ? q ,则



(3) 若 ?an ? , 且公比分别为 p ,q , 则数列 ?man ? (m ? 0) ,? ?bn ? 均为等比数列,

?1? ?a ? an ? bn ? ,? n ? , ? ?, ? an ? ? bn ?

?| an |? 也为等比数列,且公比分别为



(4)在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?m , an ? 2 m ,…为等比数列,公 比为 ; .

(5)等比数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n ,…也为等比数列,公比为

1

预习自测 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( A.3 B.4 C.5 D.6 ).

2.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( ). A.135 B.100 C.95 D.80

3.(2013·深圳模拟)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为( ) 9 4 3 2 5 3
n-2

S4 S2

S6 S4

A.

B.

C.

D.4 1 - ,则实数 t 的值为( ). 5 D. 1 5

4.(2013·日照模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5 4 5

A.4

B.5

C.

课堂探究案 典型例题 考点 1 性质的综合应用 【典例 1】数列 ?a n ?的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, an?1 ? 2S n ? 1(n ? 1) (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求

Tn .
【变式 1】已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项成等比数列, 则这个等比数列的公比是 考点 2 求数列通项及前 n 项和

【典例 2】等比数列 {an } 的前项和 Sn,公比 q ? 1 ,已知 1 是 等比中项. (1)求 S2 和 S3 的值; (2)求此数列的通项公式; (3)求此数列的前 n 项和 Sn .

1 1 S 2 和 S 3 的等差中项,6 是 2 S 2 和 3S3 的 3 2

2

【变式 2】 已知数列 {an } 为等差数列, 且 a1 ? 1 , ?bn ? 为等比数列,数列 ?an ? bn ? 的前三项依次为 3,7,13. 求:(1)数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

考点 3

数列与解析几何、不等式的综合应用

【典例 3】设曲线 y ? x 2 ? x ? 2 ? ln x在x ? 1 处的切线为 l ,数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?m (其中常数 m 为 正奇数) ,且对任意 n ? N ,点 (n ? 1, an?1 ? an ? a1 ) 均在直线 l 上。 (1) 求出 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan (n ? N ? ) ,当 an ? a5 恒成立时,求出 n 的取值范围,使得 bn?1 ? bn 。 【变式 3】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对一切正整数 n,点(Sn,n)都在函数 f ?x ? ? log2 ?x ? 4? ? 2 的图象上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? a n ? log 1
2
?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn. an

当堂检测 1. 若一个等差数列前 3 项的和为 34, 最后三项的和为 146, 且所有项的和为 390 ,则这个数列有 2.已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5a7 ? 81 ,则 a4 ? a6 ?
*

项; .

3.等差数列前 m 项和是 30 ,前 2 m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是



课后拓展案 A 组全员必做题

1.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , 若 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,则 S4 ? ( A. 7 B. 8 C. 16 D.15 .



2.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0, a1 ? 4d . 若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k=

3

3.数列 ?an ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列,且 4a1 , a5 , ? 2a3 成等差数列,则其公比为( A. 1 B. ? 1 C.



1或 ?1

D.

2


4.等差数列 ?an ? 中, d ? 2 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8 D. ? 10

2 2 5.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ? 0, an ?1 ? an ? 1(n ? N*) ,那么使 an ? 5 成立的 n 的最大值为(



A.4

B.5

C.24

D. 25

B 组提高选做题 1.已知数列{ an }, 若点 (n, an ) ( n ? N * ) 在经过点 (5,3) 的定直线 l 上, 则数列{ an }的前 9 项和 S9 =( A. 9 B. 10 C. 18 D.27 ,若数列 ?bn? 为等比数列,其前 n )

2.等差数列 ?an ? 中,则 a3 ? a 4 ?a5 ? 12, 则 4a3 ? 2a6 ?
*

项 和 Sn , 若 对 任 意 n ? N , 点 (n ,Sn ) 均 在 函 数 y ? b x ? r (b ? 0且b ? 1 ,b, r 为 常 数 ) 图 象 上 , 则 r= .

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,且 2Sn ? 2 ? an . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ? an ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

4.(2013 山东理科)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 项和 Rn . 第三十五课时 等差数列、等比数列的综合应用 参考答案 预习自测 1.【答案】B

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n n 2

4

【解析】将两个已知式作差得 3a3=a4-a3,则公比 q= =4. 2.【答案】A 【解析】由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,…,a7+a8 仍然成等比数列, 公比 q=

a4 a3

a3+a4 60 3 = = , a1+a2 40 2
4-1

∴a7+a8=(a1+a2)q 3.【答案】A

?3?3 =40×? ? =135. ?2?
S4 S2 S4-S2 =3,则 S6-S4=5S2, S2

【解析】由等差数列的性质可知 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,由 =4,得

S6 9 所以 S6=9S2, = . S4 4
4.【答案】B 1 1 4 【解析】∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t,a3=S3-S2=4t, 5 5 5

?4 ?2 ?1 1? ∴由{an}是等比数列,知? t? =? t- ?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. ?5 ? ?5 5?
典型例题 【典例 1】 (1) an ? 3n?1 ; (2) n ? 2n .
2

【变式 1】3 【典例 2】 (1) S2 ? 2, S3 ? 3 ; (2) an ? ( ? ) 【变式 2】 (1) an ? 2n ?1, bn ? 2n . (2) Sn ? n2 ? 2n?1 ? 2 . 【典例 3】 (1) an ? n2 ? n ? nm ; (2) n ? 7 . 【变式 3】 (1) an ? 2n?1 ; (2). Tn ? n ? 2 n?2 当堂检测 1.13 2.9 3.210 A 组全员必做题 1.D
5

1 2

n ?3

; (3) [1 ? ( ? ) ] .
n

8 3

1 2

2.3 3.C 4.B 5.C B 组提高选做题 1.D 2.24 -1

3.(1) an ?

2 n2 ? n ? 2 1 T ? ? n; ; ( 2 ) n 3n 2 3
4 3n ? 1 ? . 9 9 ? 4n ?1

4.(1) an ? 2n ? 1; (2) Rn ?

6


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