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2.2 等差数列 第1课时 课件(人教A版必修5)


第二章 数列

§2.2

等差数列

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第二章 数列

第1课时

等差数列的概念与通项公式

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第二章 数列

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第二章 数列

1.等差数列的定义
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于 同一常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数 叫 做

等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式 是an= a1+(n-1)d
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.

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3.等差中项

(1)如果三个数 x,A,y 组成等差数列,那么A叫做x和y的等
差中项.
x+y (2)如果A是x和y的等差中项,则A= . 2

4.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列,首项a1公差d,则an=f(n)=a1+(n- 1)d=nd+(a1-d). (1)点(n,an)落在直线 y=dx+(a1-d) 上; (2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d .
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1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为

(
A.2 C.-2 B.3 D.-3

)

解析:可得an+1-an=-2或a2-a1=(3-4)-(3-2)=-2. 答案:C

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2 .已知等差数列 {an}中,首项 a1 = 4 ,公差 d =- 2 ,则通项

公式an等于(
A.4-2n

)
B.2n-4

C.6-2n

D.2n-6

解析:通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n. 答案:C

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3.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( ) B.- D.2 1 2

A.-2 1 C. 2

? ?a1+6d-2?a1+3d?=-1, 解析:由题意得? ? ?a1+2d=0,

1 解得d=- . 2

答案:B
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4.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,
? ?a1+2d=7, 则由已知得? ? ?a1+4d=a1+d+6, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=2.

所以a6=a1+5d=13.

答案:13

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5.在数列{an}中,an=4n-1,求证:数列{an}是等差数列.

证明:∵an+1-an=[4(n+1)-1]-(4n-1)=4, ∴数列{an}是等差数列.

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[例1] 由.

判断下列数列是否为等差数列,如果不是,请说明理

(1)0,-3,-6,-9,-12,?; (2)1,-1,1,-1,1,-1,?;

(3)6,6,6,6,?;
(4)6,5,3,1,-1,-3,?.
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[分析 ]

验证从第二项起,每一项与其前一项的差是否等于

同一个常数.
[解 ] (1)该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同

一个常数-3,所以是等差数列;
(2)因为-1-1=-2,1-(-1)=2,不是同一个常数,所以该 数列不是等差数列; (3) 该数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数0,所以是等差数列;

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(4)因为5-6=-1,而从第3项起,每一项与它的前一项的差
等于同一个常数-2 ,所以该数列不是等差数列,但可以说从第 2

项起是一个等差数列.
[点评] 等差数列的定义要求从第2项起,每项与其前一项的

差等于同一个常数,本题易把第 (4) 问中的数列判断成是等差数 列.

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迁移变式1 判断下列各数列是否为等差数列:

(1)1,2,4,6,8,?;
(2)2,4,6,8,?; (3)0,0,0,0,?; (4)1,2,4,7,11. 解: (1)∵2 - 1 = 1,4 - 2 = 2,6 - 4 = 2 ,故该数列不是等差数

列.
(2)4-2=6-4=8-6=2,是等差数列. (3)0-0=0-0=?=0,是等差数列. (4)2-1=1,4-2=2,?,不是等差数列.
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[例 2]

已知数列 {an} 的通项公式 an = pn2 + qn(p , q∈R ,且 p ,

q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.

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[分析]

由题目可获取以下主要信息:

①数列的通项公式an的表达式;
②在表达式中含有参数p,q. 解答本题可充分利用等差数列的定义判定或利用 an+ 1- an = an-an-1(n≥2)进行判断.

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[解]

(1)欲使{an}是等差数列,

则 an + 1 - an = [p(n + 1)2 + q(n + 1)] - (pn2 + qn) = 2pn + p + q 应
是一个与n无关的常数,

所以只有2p=0,
即p=0时,数列{an}是等差数列. (2)因为an+1-an=2pn+p+q, 所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q. 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数, 所以{an+1-an}是等差数列.
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迁移变式2

已知数列{an},满足a1=2,an+1=

2an ,数 an+2

1 列{ }是否为等差数列?说明理由. an 1 解:数列{ }是等差数列, an

2an 理由如下:∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 ∴ = = + , 2 an an+1 2an 1 1 1 1 ∴ - = , an+1 an 2 1 1 1 1 即{ }是首项为 = ,公差为d= 的等差数列. an a1 2 2
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[例3]

已知数列{an}是等差数列,且a5=11,a8=5,求an.

[分析] 由于数列{an}是等差数列,只要确定它的首项a1及公
差d的值,将其代入通项公式中,构造方程组即可求解.

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[解]

解法1:设{an}的首项为a1,公差为d,

则a8=a5+3d,即5=11+3d,∴d=-2.
∵a5=a1+(5-1)d,∴11=a1+4×(-2),

∴a1=19.
∴an=19+(n-1)(-2). 即an=-2n+21(n∈N*).

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解法2:设an=a1+(n-1)d,
? ?a5=a1+?5-1?d, 则? ? ?a8=a1+?8-1?d, ? ?a1=19, 解得? ? ?d=-2. ? ?11=a1+4d. 即? ? ?5=a1+7d.

∴an=-2n+21(n∈N*).

解法3:设an=an+b,
? ?a5=5a+b, 则? ? ?a8=8a+b, ? ?a=-2, 解得? ? ?b=21. ? ?11=5a+b, 即? ? ?5=8a+b.

∴an=-2n+21(n∈N*).
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迁移变式3 (1)求等差数列8,5,2?的第20项;

(2) -401 是不是等差数列- 5 ,- 9 ,-13,?的项?如果是,
是第几项?

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解:(1)由题意可知:a1=8,d=5-8=2-5=-3,

∴该数列通项公式为:an=8+(n-1)×(-3),即:
an=11-3n(n≥1).当n=20时,

则a20=11-3×20=-49.
∴这个数列的第20项为-49. (2)由题意可知:a1=-5,d=-9-(-5)=-4, ∴该数列通项公式为:an=-5-4(n-1)=-4n-1. 令-401=-4n-1,解之得n=100. ∴-401是这个数列的第100项.
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[例 4]

有一批电视机原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家

家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,
买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价 均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75% 销售.某单位需购买一批此类电视机,则去哪一家商场购买花费 较少?

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[分析 ]

两家商场销售电视机的方法都符合等差数列的规律,

因此可以用等差数列的知识去解题.要注意等量关系:费用=台
数×销售价.

[解]

设某单位需购买电视机n台.

在甲商场购买时,所买电视机的售价构成等差数列{an}. an=780+(n-1)(-20)=-20n+800, 由an=-20n+800≥440,得n≤18, 即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元; 购买台数不少于18台时,每台售价440元.
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到乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).

比较在甲、乙两家家电商场的费用:
(800-20n)n-600n=20n(10-n).

当n<10时,(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少;
当 n = 10 时, (800 - 20n)n = 600n ,到甲、乙商场购买花费相 同; 当10<n≤18时,(800-20n)n<600n,到甲商场购买花费较少; 当n>18时,440n<600n,到甲商场购买花费较少.

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第二章 数列

答:当购买电视机台数少于 10台时,到乙商场购买花费较少;

当购买电视机 10台时,到两家商场购买花费相同;当购买电视机
台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.

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迁移变式4 我国历史上对数列概念的认识起源于公元前几

百年.在公元前一百年成书的《周髀算经》里提到:在周城的平
地立八尺高的周髀(表竿),日中测影,在二十四节气中,冬至影长

1丈3尺5寸,以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算),请问9尺5寸
应是二十四节气中哪一节?
解:用{an}表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列, 则a1=135,an=95以及公差d为-10, an-a1 ∴由an=a1+(n-1)d,得n= +1=5.所以是二十四节 d 气中的雨水.
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1.在学习等差数列的定义时,应注意如下问题

学习等差数列定义时需注意以下三点:
(1) 注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件.这一条件有两 层意义,其一,第一项前面没有项,无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合;其二,必须从第2项起保证使数列中各项均与其 前面一项作差.如若不然,从第3项(或第4项,?)起作差,则势必 遗漏前若干项.
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(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求,
它的含义也有两个,其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面

的项,其二是强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求.这一要求可理解为 每一项与前面一项的差是常数且是同一个常数,否则这个数列不 能称为等差数列.

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第二章 数列

2.判断一个数列是等差数列的常用方法

证明一个数列是等差数列常用的方法有:
(1)定义法:利用an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)等价于{an}

是等差数列.
(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N+)等价于{an}是 等差数列. (3)an=kn+b(k,b为常数,n∈N+)等价于{an}是等差数列.

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