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浙江省新昌中学2013学年第一学期期中测试高三数学(理)试题


新昌中学 2013 学年第一学期期中测试
高三数学(理)试题
1 V台体 = h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3
2

V柱体 =Sh

1 V锥体 = Sh 3

S球 =4πR2

V球体 =

4 3 πR 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、在复平面内,复数 (1 ? 3i ) 对应的点位于 A、第一象限 2、设函数 f ( x) ? ? A、 ? 3 B、第二象限 C、第三象限 ( D、第四象限 ( ) )

? ? x, x ? 0 ? ? ? x, x ? 0

,若 f (a) ? f (?1) ? 2, 则 a ? D、 ? 1 )

B、 ? 3

C、 ? 1

3、已知 sin(? ? 2) ? a ,则 sin( A、 ? 1 ? a C、 1 ? a
2 2

?
2

? 2) ? (

B、 ? a D、 a

4 、 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

OA ? a 2 ? OB ? a 2 0 0 9 ? OC , 且 A,B,C 三 点 共 线
(该直线不过点 O) ,则 S 2010 =( A、 2010 B、 2008 ) C、 1005 D、 1010 ( D、0.2 ( ) )

5、已知某程序框图如图所示,则该程序运行后,输出的结果为 A、0.6 B、0.8 C、0.5

6、设 ? , ? , ? 为平面, l , m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分不必要条件为 A、 ? ? ? , ? I ? ? l , m ? l C、 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B、 ? ? ? , ? ? ? , ? I ? ? m D、 n ? ? , n ? ? , m ? ?

7、若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ( ) A、60 种 8、过双曲线 B、63 种 C、66 种 D、65 种

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、 a2 5 ? a2

右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心

率的取值范围为 A、 ( 2, 5) B、 ( 5, 10) C、 (1, 2 )





D、 (5,5 2)

9、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, M , N 是对角线 AC1 上的两点,动点 P 在正方体表 面上且满足 | PM |?| PN | ,则动点 P 的轨迹长度的最大值为 A、3 B、 3 2 C、 3 3 ( D、6 。 则 f (0 ) ? )

10、 设函数 f ( x) 满足: 对任意实数 a, b 都有 f (a ) ? f (b) ? a ? b , 且 f ( f ( f(0 ) ) ) 0? ( ) A、1 B、 ?1 C、0 D、10
2 4 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、若 ( x ?

1 10 ) 展开式中的常数项是 3 x
正视图

3 4 侧视图 2

12、若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是

13、数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n ?1 ?

an ,则 a5 = 1 ? 2a n
俯视图

4 2

14、在 Rt ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是 AB 上的 一个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? 15、函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1 处有极值 10,则 a 的值为
3 2 2

uur uur

uur uur

?x ? y ? 2 ? 0 ? 16、若满足 ? x ? y ? 2 ? 0 的点 P(x, y)构成三角形区域,则实数 k 的范围是 ? kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ?
17、 已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形, 点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 为△SBC 的垂心。若 SA=a, 则此三棱锥体积的最大值是___ _

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18、已知 f ? x ? ? 3 sin ?x cos?x ? 3 cos ?x ? 2 sin ? ?x ?
2 2

? ?

3 (其中 ? ? 0 )的最小正周 ?? 12 ? 2

? ?

期为 ? . (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ? A? ? 1, 求角 C 。

19、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值。 an

20、如图,已知三角形 ?ABC 与 ?BCD 所在平面互相垂直,且 ?BAC ? ?BCD ? 900 ,

AB ? AC , CB ? CD ,点 P , Q 分别在线段 BD, CD 上,沿直线 PQ 将 ? PQD 向上翻折,
使 D 与 A 重合. (Ⅰ)求证: AB ? CQ ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 ACQ 所成的角.

A C Q B
21、已知椭圆 C :

A C D B P Q D

P

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径 2 2 a b

的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过点 M (2, 0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B , 设 P 为椭圆上一点, 且满足 OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点) ,当 AB ?

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

22、设函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? a ln x 1 和 x 0 是函数 f ( x) 的两个不同零点, (Ⅰ) 若 x=2 是函数 f ( x) 的极值点, 且 x0 ? (n, n ? 1) , n ? N , 求n。 (Ⅱ)若对任意 b ? ?? 2,?1? , 都存在 x ? (1, e) (e 为自然对数的底数),使得 f ( x) ? 0 成立,求实数

a 的取值范围。

参考答案:
一、选择题:BDACA 二、填空题 11、210 12、 DCBBC

212? 3

13、

1 9
a3 6

14、4

15、4 三、解答题 18、解: (Ⅰ) f ? x ? ?

16、 k ? 1

17、

3 3 ? ? 3 sin ? x ? ?1 ? cos 2? x ? ? 1 ? cos 2 ? ??x ? ? ? 2 2 12 ? 2 ?

?

3 3 ?? ? sin 2?x ? cos 2?x ? cos? 2?x ? ? ? 1 2 2 6? ?

?? ? ? 2 sin? 2?x ? ? ? 1 3? ?

Q T ? ? , ? ? 0,?T ?

2? ? ? ,? ? 1 2?
……7 分

?? ? 5? ? ? ? ? f ?x ? ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 故递增区间为 ?k? ? , k? ? k?Z 3? 12 12 ? ? ? ?
(Ⅱ) f ? A? ? 2 sin? 2 A ?

? ?

??

?? ? ? ? 1 ? 1 ? sin? 2 A ? ? ? 0 3? 3? ?
?2A ?

3 3 ? 2? 又 a ? b,? A ? B, 故 A ? 舍去,? A ? . 6 3
3 3


Q?

?

? 2A ?

?

?

5? 3

?

? 0或2A ?

?

??

即A ?

?
6

或A ?

2? 3

2 a b ? 3? , ?B ? 或B ? 得 sin B ? , ? 2 sin A sin B 4 4

若B ?

?
4

,则 C ?

7? . 12

若B ?

? 3? ,则 C ? . 12 4

…………14 分

注意:没有说明 " Q ?
2

?
3

? 2A ?

?
3
② ③

?

5? "扣两分 3


19、解: (Ⅰ)取 n=1,得 a2 a 1 ? s 2 ? s1 ? 2a1 ? a2 , 取 n=2,得 a 2 ? 2a1 ? 2a 2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0,

(2)若 a2 ? 0,易知a 2 ? a1 ? 1 , 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? 2; …………………6 分 2 ? 1, a 2 ? 2 ? 2;

(Ⅱ)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ? 当 n ? 2时,有(2 ?

2)a n ? s 2 ? s n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1
所以 a n ? a1 ( 2 )
n ?1

所以,an= 2a n ?1 ( n ? 2) 令 bn ? lg

? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n ?1

10 a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n ?1 ? lg n ?1 an 2 2

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 则 b1>b2>b3>…>b7= lg ? lg 1 ? 0 8 1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8= lg ? lg 1 ? 0 2 128 2
所以,数列{bn}是以 ? 所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 2 2

…………………………14 分

20、解:

21、解: (1)由题意知 e ?

c 2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? ? .即 a 2 ? 2b2 , 所以 e ? 2 ? a 2 a a2 2 2 x2 2 2 ? 1,所以 a ? 2 , b ? 1 .故椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 又因为 b ? 2 1?1
………………5 分

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2 1 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? . 2 2 2 8k 8k ? 2 x1 ? x2 ? , x1 ?x2 ? . ………………7 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 5 2 5 20 2 2 2 ∵ AB < ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ?x2 ] ? 3 3 9 4 2 64k 8k ? 2 20 1 2 2 2 2 ? 4? ]? ∴ (1 ? k )[ ,∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 9 4
………………10 分 ∵

OA ? OB ? t OP





( x1 ?

x2 ,

? y1

)y? 2

x ? x2 8k 2 ? (, t ,x x? )1 y t t (1 ? 2k 2 )



y?


y1 ? y2 1 ?4k .∵点 P 在椭圆上, ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )
………………12 分

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ? 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

∴t ?
2

16k 2 8 1 1 8 2 , 因为 ? k ? ,所以 ? t 2 ? 4 , ? 8? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 4 2 3
2 6 2 6 ?t ? 2. 或 3 3
………………15 分

∴ ?2 ? t ? ?

22. 解: (Ⅰ)f ?( x) ? 2 x ?

a a ∵ x ? 2 是函数 f ( x) 的极值点, ∴ f ?(2) ? 4 ? ? b ? 0 .∵1 是函数 f ( x) ?b , x 2

的零点,得 f (1) ? 1 ? b ? 0 ,
a ? ?4 ? ? b ? 0, 由? 解得 a ? 6, b ? ?1 . 2 ? ?1 ? b ? 0,

………2 分
6 ?1 , x

∴ f ( x) ? x2 ? x ? 6ln x , f ?( x) ? 2 x ? 令 f ' ( x) ? 2 x ?
0 ? x ? 2,

6 2 x2 ? x ? 6 (2 x ? 3)( x ? 2) ?1 ? ? ? 0 , x ? (0, ??) ,得 x ? 2 ; x x x

令 f ( x) ? 0 得
'

所以 f ( x) 在 (0, 2) 上单调递减;在 ? 2, ?? ? 上单调递增. 故函数 f ( x) 至多有两个零点,其中 1? (0, 2), x0 ? (2, ??) , 因为 f ? 2 ? ? f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 6 ?1 ? ln 3? ? 0

……4 分

f ? 4 ? ? 6 ? 2 ? ln 4 ? ? 6ln

e2 ? 0 ,所以 x0 ? ? 3, 4 ? ,故 n ? 3 . 4

……7 分

(Ⅱ)令 g (b) ? xb ?x 2 ?a lnx , b ? ? ?2, ?1? ,则 g (b) 为关于 b 的一次函数且为增函数,根据题意,
2 ? x ? a ln x ? 0 对任意 b ? ? ?2, ?1? ,都存在 x ? (1, e) ,使得 f ( x) ? 0 成立,则 g ( b)ma x ? g (? 1) ? x 在

(1, e)上 有解,

令 h( x) ? x 2 ? x ? a ln x ,只需存在 x0 ? (1, e) 使得 h( x0 ) ? 0 即可, 由于 h ' ( x ) = 2 x ? 1 ?

a 2 x2 ? x ? a , ? x x

令 ? ( x) ? 2 x2 ? x ? a, x ? (1, e) , ? ?( x) ? 4x ? 1 ? 0 , ∴ ? ( x) 在(1,e)上单调递增, ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? a , ………10 分

①当 1 ? a≥0 ,即 a≤ 1 时, ? ( x) ? 0 ,即 h?( x ) ? 0 , h( x) 在(1,e)上单调递增,∴ h( x) ? h(1) ? 0 , 不符合题意. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, ? (1) ? 1 ? a ? 0 , ? (e) ? 2e2 ? e ? a

若 a ? 2e2 ? e ? 1 ,则 ? (e) ? 0 ,所以在(1,e)上 ? ( x) ? 0 恒成立,即 h?( x) ? 0 恒成立,∴ h( x) 在(1, e)上单调递减, ∴存在 x0 ? (1, e) ,使得 h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,符合题意. 若 2e2 ? e ? a ? 1 , 则 ? (e ∴在(1, e)上一定存在实数 m, 使得 ? (m) ? 0 , ∴在(1, m)上 ? ( x) ? 0 ) ? 0 , 恒成立,即 h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(1,m)上单调递减,∴存在 x0 ? (1, m) ,使得 h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,符 合题意. 综 上 所 述 , 当 a ? 1 时 , 对 任 意 b ? ? ?2, ?1? , 都 存 在 x ? (1, e) , 使 得 f ( x ) ? 0 成 立. …………15 分


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