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幂函数课件


我们先看下面几个具体问 题:
(1)如果正方形的边长为a,

想一想

这些函数有什么 那么正方形的面积 共同的特征? S=a2,这里S是a的函数;

(2) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积

(3) 如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 1 形的边长

V=a3,这里V是a的函数;

a?S

2

,这里a是S的函数;

它们有以下共同特点:
(1)都是函数; (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂; 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自 变量,α是常数.

注意: 幂函数中α的可以为任意实数.

1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2

(4) y ? x

1 2

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

2.若函数y=f(x)的图象过点 (2, 2) ,则函数

y? x 的解析式为__________

在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x, y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象. 几何画板演示

幂函数的性质
函数 性质

y=x R R 奇 增

y=x2 R [0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)

y=x3 R R 奇 增
(1,1)

y?x

1 2

y=x-1
| ? R且x ? 0? ?xx ?y|y ? R且y ? 0?

定义域 值域 奇偶性 单调性

[0,+∞) [0,+∞)

非奇非 偶

(1,1)

奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)

公共点 (1,1)

幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点(1,1) (2) 如果α>0,

在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a<0, 在区间(0,+∞)上是 (3) 当α为奇数时, 幂函数为 偶函数 当α为偶数时, 减函数

幂函数为 奇函数;

例1

比较下列各组数的大小;

(1)(?? ) 和(-3)
3

3

(2)3
注意:

?5 2
1.4

和 3.1

?5 2

(3) 3 和 5

1.5

?利用幂函数的增减性比较两个数的大小. ?当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小

练习 (1) 1.5 和 1.7 (2) 4.1 和 3.8
2 5 1 3 1 3

1 5

例2.证明幂函数 f ( x) ? 函数.

x 在[0,+∞)上是增

证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2

?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 ? x1 ? x2

因为x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ),即幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数.

小结
(1) 幂函数的定义;
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自 变量,α是常数.

(2) 幂函数的性质; (3) 利用幂函数的单调性判别大小

复习参考题P90~P91 A组 10题 B组 3 题

1 对于函数f ( x) ? a ? x (a ? R) 2 ?1 (1)探索函数f ( x)的单调性; (2)是否存在实数a使函数f ( x)为奇函数 ?


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