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解析几何题怎么解


解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题 考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中 的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置 关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以 AB 为直腰作 直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、 Q 两点,建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解: 通过读图, 看出 A' , B ' 点的坐标.
‘ (1 ) 显然 A' ?1,1 ? t ? , B ?? 1, 1 ? t ?,于是 直线 A?B?

的方程为 y ? ?tx ? 1 ; (2)由方程组 ? 解出

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,
2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

P (0,1) 、 Q (

(3) k PT ?

1? 0 1 ?? , 0?t t

k QT

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1 ? t ? ? ? . 2 2t t t (1 ? t ) ?t 1? t2

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知, 由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光 线通过点 Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例 2 已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y a2 b2

轴分别交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 讲解:从直线 l 所处的位置, 设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得
b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 .

化简后,得关于 x 的一元二次方程

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.

于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ① 在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

m y ? ? x?? , k?? , ? ? k x ? 令顶点 P 的坐标为(x,y), 由已知,得 ? 解得? ? ? y ? m. ?m ? y. ? ? ? ?
2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. x2 y 2 2 2 方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2 y 2

例 3 已知双曲线

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距 2 3 a b

离是

3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的 圆上,求 k 的值. 讲 解 : ∵ ( 1 ) c ? 2 3 , 原 点 到 直 线 AB : x ? y ? 1 的 距 离 a b a 3
d ? ab a ?b
2 2

? 3.

ab ? c

3 . 2 .

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,



15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且 ∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最大 值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程. 讲解:(1)设
cos ?F1 PF2 ?

| PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , | F1 F2 |? 2c

, 对 ?PF1 F2 , 由余弦定理, 得

r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ?1 r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( ) 2

? 1 ? 2e 2 ? 0 ,

解出

e?

2 . 2

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? c) ………………① 椭圆方程为 由e ? 2 .
2

x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) a2 b2



a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 .

x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 于是椭圆方程可转化为 ………………② 将①代入②,消去 y 得 x 2 ? 2k 2 ( x ? c) 2 ? 2c 2 ? 0 , 整理为 x 的一元二次方程,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 .

则 x1、x2 是上述方程的两根.且

| x2 ? x1 |?

2 2c 1 ? k 2 , 1 ? 2k 2
2 2c(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

| AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |?

AB 边上的高 h ?| F1 F2 | sin ?BF1 F2 ? 2c ?
S? 1 1? k 2 |k| 2 2c( ) 2c 2 1 ? 2k 2 1 ? k 2

|k| 1? k 2

,

也可这样求解:

S?

1 | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 | 2

? c? | k | ? | x1 ? x2 |

? 2 2c 2 ? 2 2c 2

1? k 2 | k | k2 ?k4 2 ? 2 2 c 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4 1

? 2c 2 . 1 4? 4 k ?k2 ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得 2 2 y?? c, | AB |? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 1

由①②知 S 的最大值为 2c 2

由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

a 2 ? 12 2

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为: x ? my ? c …………① (这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 2 2

a

b

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ……② . 2 把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy? c 2 ? 0 于是 y1 , y2 是上述方程的两根.
由e ?
| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? m 2 | y 2 ? y1 |

? 1 ? m2

4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m ?2
2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

AB 边上的高 h ?

2c 1 ? m2

,
2c 1 ? m2 ? 2 2c 2 1 ? m2 (m ? 2) 2

2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2

2

2

m ?2

? 2 2c 2

1 1 m ?1? 2 ?2 m ?1
2

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max ? 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 .
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 5 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 AB 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上. (1)求此椭圆的离心率;

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a2 b2

(2 )若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x ? y
2

2

? 4 上,求此椭圆的方程.

? y ? ? x ? 1, ? 讲解:(1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).则由? x 2 得 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ,
根据韦达定理,得

x1 ? x2 ?

2a 2 2b 2 , y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , 1 2 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

∴线段 AB 的中点坐标为(

a2 b2 ). , a2 ? b2 a2 ? b2

由已知得

a2 2b 2 ? ? 0,? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 a2 ? b2 a2 ? b2
2 . 2

故椭圆的离心率为 e ?

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 b ? c, 从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为 F (b,0), 设 F (b,0) 关 于 直 线

l : x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ),则
解得

y0 ? 0 1 x ?b y ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, x0 ? b 2 2 2

3 4 x 0 ? b且 y 0 ? b 5 5 3 2 4 2 2 2 2 由已知得 x 0 ? y 0 ? 4,? ( b) ? ( b) ? 4,? b ? 4 5 5

x2 y2 ? ?1 . 故所求的椭圆方程为 8 4

例6 两点,

已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B
2 2

(1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 讲解:(1)由 | AB |? 射影定理,得

4 2 | AB | 2 2 2 2 1 ,可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? ,由 3 2 3 3

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由 点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,并注意到 y ? 2 ,可得

7 1 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( y ? 2). 4 16
适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

例7

如图,在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

2 。DO⊥AB 于 O 点, 2

OA=OB,DO=2,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2) 过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、 N 且 M 在 D、 N 之间, 设 试确定实数 ? 的取值范围. 讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | = ∴

DM ??, DN

2 2 ? 22 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2
动 点 P 的 轨 迹

C 是 A 椭 O 圆 B .

x
∵a ?

2,

b ? 1,

c ? 1.

∴曲线 E 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 2

2 2 (2)设直线 L 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入曲线 E 的方程 x ? 2 y ? 2 ,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0
设 M1( x1, y1 ),

N ( x2 , y2 ) , 则

? ?? ? (8k ) 2 ? 4(2k ? 1) ? 6 ? 0, ① ? 8k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ② 2k ? 1 ? 6 ? x1 x 2 ? 2 . ? ③ 2k ? 1 ?
i) L 与 y 轴重合时, ? ? ii) L 与 y 轴不重合时, 由①得 又∵ ? ?

| DM | 1 ? | DN | 3

3 k2 ? . 2

x DM x D ? x M ? ? 1, DN x D ? x N x2


∵ x2 ? x1 ? 0, ∴

x2 ? x1 ? 0, ∴0< ? <1 ,

( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ? ? ?2??? ?2 . x1 ? x2 x2 x1 ?
( x ? x2 ) 2 x1 ? x 2
2



64k 2 ? ? 6(2k 2 ? 1)
∴ 6 ? 3( 2 ?

32 3(2 ? 1 ) k2

而k ? ∴ 4?

3 , 2

1 ) ? 8. k2

32 1 3(2 ? 2 ) k
1

?

16 , 3
16 , 3 1 10 , 3

∴ 4???

?

?2?

2???

?

?

? ?0 ? ? ? 1, ? 1 ? ?? ? ? 2, ? ? 1 10 ? ?? ? , ? ? 3 ?

?

1 ? ? ? 1. 3

∴ ? 的取值范围是 ? ,1? . ?3 ? 值得读者注意的是,直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.

?1 ?

例 8

直 线 l 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 , 且 与 抛 物 线 相 交 于

A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点. (1)求证: 4x1 x2 ? p 2 ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) .
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x1 x2 ? P .

2

4

若 l 不垂直于 x 轴,可设 y ? k ( x ? P ) ,代入抛物线方程整理得
2

x 2 ? P(1 ?

2P P P2 . ) x ? ? 0 , 则 x x ? 1 2 4 4 k2

2

综上可知

4x1 x2 ? p 2 .
2 2

( 2 ) 设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d , 则 CD 的 垂 直 平 分 线 l ? 的 方 程 为
2p 2p

y?

c?d c?d c ?d ?? (x ? ) 2 2p 4p
2 2

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得 2 2p 2 4p 2 2 2 (c ? d )(2 p ? c ? d ) ? 0 ? p ? 0

? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 .

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y ? 2 px 只相交于原点. 而 l 与抛物线有两个不同的
2

交点,因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化, 你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累, 能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本! 例 9 某工程要将直线公路 l 一侧的土石, 通过公路上的两个道口 A 和 B, 沿着道路 AP、 BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最 省工? 讲解: 以直线 l 为 x 轴, 线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系, 则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, ? | AB |? 50 7 ,
2 2 ∴M 在双曲线 x ? y ? 1 的右支上. 252 252 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处, 曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及, 其实在课本中还可找到典型的 范例,你知道吗? 解析几何解答题在历年的高考中常考常新 , 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用 活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数 学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.


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