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河南省2016年中考数学试卷及答案解析(Word版)


2016 年河南省普通高中招生数学试题及答案解析
一、选择题(每小题 3 分,共 24 分)
1 1.- 的相反数是( ) 3 1 1 A. B. C.-3 D.3 3 3
【答案】:B 【解析】:根据相反数的定义,很容易得到-

1 1 的相反数是 ,选 B。 3 3

2.某种细胞的直径是 0.00000095 米,将 0.00000095 用科学计数法表示为 ( ) A.9.5×10-7
【答案】:A 【解析】: 科学记数法的表示形式为 a ?10 的形式,其中 1 ? a < 10 ,n 为整数。确定 n
n

B. 9.5×10-8

C.0.95×10-7

D. 95×10-8

的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同。当原数绝对值>1 时,n 是正数; 当原数的绝对值<1 时,n 是负数。 将 0.00000095 -7 用科学记数法表示 9.5×10 ,选 A。

3.下面几何图形是由四个相同的小正方体搭成的, 其中主视图和左视图相同 的是( )

A
【答案】:C

B

C

D

【解析】:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的前面看得到的视图,左视图是从物 体的左面看得到的视图,找到主视图和左视图相同的是 ,选 C。

4.下列计算正确的是( A. 8 - 2 = 2

) C.3a4-2a2=a2 D.(-a3)2=a5

B.(-3)2=6

【答案】:A 【解析】:根据有理数的定义幂的运算性质,运算正确的是 A,选 A。

k 5.如图,过反比例函数 y= (x>0)的图像上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连 x

接 AO,若 S△AOB=2,则 k 的值为(



A. 2
【答案】:C

B.3

C.4

D.5
k (x>0)的图像上 x

y A

【解析】:本题考查了反比例函数 y=

一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连接 AO,已知△AOB 的面积求 k 的方法是:

k 1 ? xy ? 2 ,∴k=4.故选 C. 2 2

O

B 第5题

x

6.如图, 在△ABC 中, ∠ACB=900, AC=8, AB=10,DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E,则 DE 的长是( A.6 B.5 C.4 D.3 )

A D C E B

【答案】:D 【解析】:本题考查了直角三角形中勾股定理的应用及垂直平分线的性

1 质,先求 BC=6,再得到 DE∥BC,且 DE 等于 BC 的一半,即 ×6 2

第6题

=3,故选 D。 7.下面记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最好几次选拔赛成绩的平均数 与方差: 平均数 (cm) 方差 甲 185 3.6 乙 180 3.6 丙 185 7.4 丁 180 8.1

根据表中数据, 要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该 选择( A.甲
【答案】:A 【解析】:本题考查了平均数与方差对运动员发挥稳定性的因素,方差越小越稳定,故选 A。

) B.乙 C.丙 D.丁

8.如图,已知菱形 OABC 的顶点是 O(0,0),B(2,2),若菱形绕点 O 逆 时针旋转,每秒旋转 45 ,则第 60 秒时,菱形的对角 线交点 D 的坐标为( A.(1,-1) C.( 2 ,0)
【答案】:B 【解析】:本题考查了中点坐标的求法及旋转的知识,每秒旋
0 0

0



y 2 A 1 O D C

B

B.(-1,-1) D.(0,- 2 )

1 2 x 第8题

转 45 ,8 秒旋转一周,60 秒÷8=7 周余 4 秒,正好又转 180 ,由第一象限转到第三象限,

前后是中心对称,点 D 坐标是(1,1),所求坐标是(-1,-1),故选 B。

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9.计算:(-2)0- 3 8 =
【答案】: -1 【解析】:本题考查了零次幂和立方根,(-3) =1, 3 8 =2,因此原式=1-2=-1, 填 -1。
0



10.如图, 在
0

?

ABCD 中, BE⊥AB 交对角线 AC 于点 。

D E A
1 2

C

E,若∠1=20 ,则∠2 的度数为
【答案】:110 。
0

【解析】:本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质及三角 形外角定理,由平行四边形得∠CAB=∠1=20 ,由 BE⊥AB,
0

0

第10题B
0 0

得∠AEB=90 ,根据三角形外角等于不相邻的两个内角和得∠2=∠CAB+∠AEB=200+90 =110 , 填 110 。
0

11.若关于 x 的一元二次方程 x2+3x-k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值 范围是
【答案】:110 。 【解析】:本题考查了一元二次方程根的判别式,△=b2-4ac=9+4k,因为方程有两个不相等 的实数根,所以△>0,即 9+4k>0,解得 k>0



9 9 ,填:k>- 。 4 4

12.在“阳光体育”活动时间,班主任将全班同学随机分成了四组进行活动, 该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是
【答案】:



1 。 4 1 4

【解析】:本题考查了概率问题,P(相同)=

13.已知 A(0,3),B(2,3)是抛物线 y=-x2+bx+c 上两点,该抛物线的顶 点坐标是 。

【答案】:(1,4)。 【解析】 : 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法及已知二次函数解析式求顶点 的方法,所求 y=-x +2x+3,顶点坐标是(1,4),填(1,4)
2

? 14.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=900,以点 A 为圆心, OA 的长为半径作 OC
交? AB 于点 C,若 OA=2,则阴影部分的面积是 。

【答案】: 3 ? π 【解析】:本题考查了扇形的面积、圆的有关知识及等边三角形 的面积的计算方法,连接 OC,AC,△OAC 是等边三角形,扇形 OBC 的圆心角是 30 , 阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积减去弓形 OC 的面积;扇形 OBC 的面积是
0

1 3

B

C

30 π ? 22 1 = π ,弓形 OC 的面积是 3 360

O

第14题

A

1 2 1 60 π ? 22 3 2 2 ? 2 = π ? 3 ,阴影部分的面积= π -( π ? 3 )= 3 ? π , 3 3 3 3 360 4

1 填 3? π 3

15.如图,已知 AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点 E 为射线 BC 上的一个动点,连接 AE,将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 B/处,过点 B/作 AD 的垂线,分别交 AD、BC 于点 M、N,当点 B/为线段 MN 的三等份点时,BE 的长为 .

A

M B/

D

A

M B/

D

B
【答案】:

EN
3 2 3 5 或 2 5

C

B

EN

C

【解析】:本题分两种情况:(1)若 B/N=2MB/,因为 AB=3,B 为线段 MN 的三等份点,则
/

MB/=1, Rt△AMB/,AM= 32 ?12 =2 2 ;B/N=2,可证△AMB ~B NE,
/ /

AM AB / ? ,设 B/ N B/ E

BE=EB =x, AB =3,

/

/

2 2 3 3 2 / ? ,解得 x= ;(2)若 MB/= 2B/N,因为 AB=3,B 为线段 2 x 2
/

MN 的三等份点,则 MB/=2, Rt△AMB/,AM= 32 ? 22 = 5 ; B/N=1,可证△AMB ~

AM AB / / / B NE, / ? / ,设 BE=EB =x, AB =3, BN BE
/

5 3 3 5 3 2 3 5 ? ,解得 x= ;填 或 。 1 x 5 2 5

三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 75 分) 16.(8 分)先化简,再求值

? ?x ? 1 x 2 ?1 ? x ? , 其中 x 的值从不等式组 ? 的整数解中选取。 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? x ? x ? x ? 2x ? 1 ?2x ? 1<4
解:原式= =

? x+1?? x-1? ?x 2 ? ???????????????3 分 2 x ? x+1? ? x+1?
? x x+1 x ? =? ????????????????5 分 x+1 x-1 x-1

? ?x ? 1 5 解? 得-1≤x≤ , 2 ?2x ? 1<4
∴不等式组的整数解为-1,0,1,2. ????????????7 分 若分式有意义,只能取 x=2,∴原式=2 =-2 2 ?1

??????8 分

17.(9 分)在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步数,记录如下: 5640 8430 7638 8753 6430 8215 6834 9450 6520 7453 7326 9865 6798 7446 6830 7290 7325 6754 8648 7850

对这 20 名数据按组距 1000 进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计 图表: 步数分布统计图
频数分布直方图

组别 A B C D E

步数分组 5500≤x<6500 6500≤x<7500 7500≤x<8500 8500≤x<9500 9500≤x<10500

频数 2 10 m 3 n

频数 10 8 6 4 2 A B C D E 组别

根据以上信息解答下列问题 (1)填空:m= ,n= ;

(2)请补全条形统计图. (3)这 20 名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在 组;

(4)若该团队共有 120 人,请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数。
解:(1)4,1. ????????????????????????2 分 (2)正确补全直方图 4 和 1. ?????????????????4 分 (3)B; (4)120× ???????????????????????????6 分

4 ? 3 ?1 =48(人) 20

答:该团队一天行走步数不少于 7500 步的人数为 48 人。 ???????9 分

18.(9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=900,点 M 是 AC 的中点,以 AB 为 直径作⊙O 分别交 AC、BM 于点 D、E (1)求证:MD=ME (2)填空:①若 AB=6,当 AD=2DM 时,DE= ②连接 OD,OE,当∠A 的度数为
(1) 证明:在 Rt△ABC 中, ∵点 M 是 AC 的中点, ∴MA=MB,∴∠A=∠MBA. ???????2 分

; 时,四边形 ODME 是菱形。

A D O E B C M

∵四边形 ABED 是圆内接四边形,
∴∠ADE+∠ABE=180 , 又∠ADE+∠MDE=180 ,∴∠MDE=∠MBA.
0 0

同理可证:∠MED=∠A, ????????????????????4 分 ∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME????????????????????5 分 (2)①填 2;?????????????????????????? 7 分 解答:由 MD=ME,又 MA=MB, ∴DE∥AB;

MD DE MD 1 DE 1 ? ? ,∴ ? ,∴DE=2 ,又 AD=2DM,∴ MA AB MA 3 6 3

②填 60;?????????? 9 分
解答:当∠A=60 时, △AOD 是等边三角形,这时 ∠DOE=60 , △ODE 和△MDE 都是等边三角形,且全等。 四边形 ODME 是菱形。
0 0

A D O E B C M

19.(9 分)如图,小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆 顶部 A 点的仰角为 370,旗杆底部 B 的俯角为 450,升旗时,国旗上端悬挂在距地 面 2.25 米处, 若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶 端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin370≈0.60,con370 ≈0.80,tan370≈0.75)
解:过点 C 作 CD⊥AB 于 D,则 DB=9,??? 1 分 在 Rt△CBD 中,∠BCD=45 ,∴CD=BD=9??? 3 分 在 Rt△ACD,∠ACD=37 , ∴AD=CD×tan37 ≈9×0.75=6.75???? 6 分 ∴AB=AD+BD6.75+9=15.75, ?????? 7 分 (15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒) 答:国旗以 0.3 米/秒的速度匀速上升。?? 9 分
0 0 0

A

D

370 450

C

B

20.(9 分)学校准备购进一批节能灯,已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节 能灯共需 26 元,3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元. (1) 求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元; (2) 学校准备购进这两种节能灯共 50 只,并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由。
解:(1)设一只 A 型节能灯售价 x 元,一只 B 型节能灯售价 y 元????1 分 由题意 ?

? x+y=26 ? x=5 ,解得 ? ??????????????????3 分 ?3x+2y=29 ? y=7

所以一只 A 型节能灯售价 5 元,一只 B 型节能灯售价 7 元??????4 分 (2)设购进 A 型节能灯 m 只,总费用为 W 元, W=5m+7×(50-m)=-2m+350 ????????????????5 分 ∵k=-2<0,∴W 随 m 的增大而减小, 当 m 取最大值时,w 最小。????????????????6 分 又∵m≤3(50-m),解得:m≤37.5, 又 m 为正整数,∴当 m=37 最大时,w 最小=-2×37+350=276???8 分 此时 50-37=13. 所以最省钱的购买方案是购进 37 只 A 型节能灯, 13 只 B 型节能灯?9 分

21.(10 分)某班“数学兴趣小组”对函数 y=x -2 x 的图象和性质进行了探 究,探究过程如下,请补充完整。 (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应数值如下表:
x y ? ? -3 3 -

2

5 2 5 4

-2 m

-1 -1

0 0

1 -1

2 0

5 2 5 4

3 3

? ?

其中 m=



(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出来函数 图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分。 (3)观察函数图象,写出两条函数的性质。

(4)进一步探究函数图象发现: ①函数图象与 x 轴有 ②方程 x2-2 x =2 有 个交点, 所以对应的方程 x2-2 x =0 有 个实数根。 。 个实数根。

③关于 x 的方程 x2-2 x =a 有 4 个实数根,a 的取值范围是
y 4 3 2 1 O -3 -2 -1 -1 -2
解:(1)0 (2)正确补全图象。

y 4 3 2
x 1 2 3

O -3 -2 -1

1 -1 -2 1 2 3

x

(3) (可从函数的最值,增减性,图象对称性等方面阐述,答案不唯一,合理即可) (4)① 3,3 ;② 2;③ -1<a<0 (本题一空 1 分,(3)中每条 2 分)

22.(10 分)(1)问题如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b。 填空:当点 A 位于 得最大值,且最大值为 (用含 a,b 的式子表示) (2)应用 点 A 为线段 B 除外一动点, 且 BC=3,AB=1.如图 2 所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由 ②直接写出线段 BE 长的最大值. (3)拓展 时线段 AC 的长取

A a B 图1 b C

E

A D B 图2 C

如图 3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0), 点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠BPM=900.请直接写出线段 AM 长的 最大值及此时点 P 的坐标。

y M A O P 图3
(2)①DC=BE,理由如下 ∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60 ,
0

y

B x
O

A

B x

备用图

解:(1)CB 的延长线上,a+b;???????????????2 分

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ?????5 分 ∴△CAD≌△EAB(SAS),∴DC=BE ????????????6 分

②BE 长的最大值是 4. ???????????????????8 分 (3)AM 的最大值为 3+ 2 2 ,点 P 的坐标为(2- 2 , 2 )??10 分 【提示】如图 3,构造△BNP≌△MAP,则 NB=AM,由(1)知,当点 N 在 BA 的延长线上时, NB 有最大值(如备用图)。易得△APN 是等腰直角三角形,AP=2,∴AN= 2 2 ,∴ AM=NB=AB+AN=3+ 2 2 ; 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,PE=AE= 2 ,又 A(2,0)∴P(2- 2 , 2 )

y M A O P N 图3 B x

M y P N O E A 备用图
4 x+n 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 C(0,4) 3

x B

23.(11 分)如图 1,直线 y=抛物线 y=

2 2 x +bx+c 经过点 A,交 y 轴于点 B(0,-2).点 P 为抛物线上的一个动 3

点,过点 P 作 x 轴的垂线 PD,过点 B 作 BD⊥PD 于点 D,连接 PB. (1)求抛物线的解析式. (2)当△BDP 为等腰直角三角形时,求线段 PD 的长.
y C

y C

y C

O P B 图1 D

A

x

P/ O D/ P D 图2

A

x

O

A

x

B

B 备用图

(3)如图 2,将△BDP 绕点 B 逆时针旋转,得到△BD/P/,且∠PBP/=∠OAC, 当点 P 的对应点 P/落在坐标轴上时,请直接写出 P 点的坐标.
解:(1)由 y=当 y=0 时,得-

4 4 x+n 过点 C(0,4),得 n=4,则 y=- x+4 3 3

4 x+4=0,解得:x=3, 3

∴点 A 坐标是(3,0)???????????????????1 分 ∵y=

2 2 x +bx+c 经过点 A(3,0), B(0,-2) 3

2 2 4 ? ? ?0 ? ? 3 ? 3b+c ?b ? ? ∴? ,解得: ? 3 3 ? ? ?2 ? c ? ? c ? ?2
2 2 4 x - x-2?????????????????3 分 3 3 2 2 4 (2)∵点 P 的横坐标为 m,∴P(m, m - m-2),D(m,-2)????4 分 3 3
∴抛物线的解析式是 若△BDP 为等腰直角三角形时,则 PD=BD; ①当点 P 在直线 BD 上方时,PD=

2 2 4 2 2 4 m - m-2+2= m - m, 3 3 3 3

(ⅰ)若 P 在 y 轴左侧,则 m<0,BD=-m; ∴

2 2 4 1 m - m=-m,解得:m= 或 m=0(舍去)?????????????5 分 3 3 2

(ⅱ)若 P 在 y 轴右侧,则 m>0,BD=m;

2 2 4 7 m - m=m,解得:m= 或 m=0(舍去)?????????????6 分 3 3 2 2 2 4 2 2 4 ②当点 P 在直线 BD 下方时,PD=-2-( m - m-2) =- m + m,则 m>0,BD=m; 3 3 3 3 2 2 4 1 ∴- m + m=m,解得:m= 或 m=0(舍去)???????????7 分 3 3 2 7 1 综上:m= 或 m= 。 2 2 7 1 即当△BDP 为等腰直角三角形时, PD 的长为 或 。 2 2
∴ (3) P(- 5 ,
/

25 11 4 5?4 ?4 5 ? 4 )或 P( 5 , )或 P( , ) 8 32 3 3
/

【提示】∵∠PBP =∠OAC,OA=3,OC=4;∴AC=5,∴sin∠PBP =
/ / /

4 / 3 ,cos∠PBP = , 5 5

①当点 P 落在 x 轴上时,过点 D 作 D N⊥x 轴于 N,交 BD 于点 M, ∠DBD =∠ND P =∠PBP ,
/ / / /

如图 1,ND -MD =2,

/

/

3 2 2 4 4 即 ×( m - m)-(- m)=2 5 3 3 5
如图 2,ND -MD =2, 即
/ /

y P

3 2 2 4 4 ×( m - m)-(- m)=2 5 3 3 5

P/

N

O A B 图1

x

解得:P(- 5 ,

4 5?4 ) 3

D M D/

?4 5 ? 4 或 P( 5 , ) 3
②当点 P 落在 y 轴上时, 如图 3,过点 D 作 D M⊥x 轴交 BD 于点 M, 过点 P 作 P N⊥y 轴,交 MD 的延长线于点 N, ∠DBD =∠ND P =∠PBP ,
/ / / / / / / / / /

y

4 2 2 4 3 ∵PN=BM,即 ×( m - m)= m 5 3 3 5 25 11 ∴P( , ) 8 32

O

P/ N D/ B P M D 图2

x A

y P/ O N D/ P A B 图3 D x

M


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