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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】3.1 第二课时


第二课时

第二课时
【学习要求】 1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数
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及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 【学法指导】 通过类比实数可用数轴上的点来表示,认识复数用点和向量表 示的合理性,体会数形结合思想在理解复数中的作用.复数的 几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础,所 以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用.

填一填· 知识要点、记下疑难点

第二课时

1.复数的几何意义
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(1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面,x 轴叫 做 实轴 ,y 轴叫做 虚轴 .实轴上的点都表示实数;除 了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数与点、向量间的对应 ①复数 z=a+bi(a,b∈R) ②复数 z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点 Z(a,b);

OZ=(a,b) 平面向量__________.



填一填· 知识要点、记下疑难点

第二课时

2.复数的模 → → 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ,则OZ的模 a2+b2 叫做复数 z 的模,记作|z|,且|z|=_________. 3.共轭复数 当两个复数实部 相等 ,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数, 复数 z 的共轭复数用 z 表示, 即 z=a+bi,那么 z = a-bi ,当复数 z=a+bi 的
z= z 虚部 b=0 时,有______,也就是说,任一实数的共 轭复数仍是 它本身 .

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研一研· 问题探究、课堂更高效

第二课时

探究点一
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复数与复平面内的点

问题 1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样 来表示呢?
答 任何一个复数 z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一 一对应, 因此, 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立 一一对应.

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第二课时

小结
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建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x

轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴. 显然, 实轴上的点都表示实数; 除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

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问题 2

判断下列命题的真假:

①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
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④在复平面内, 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 答 根据实轴的定义,x 轴叫实轴,实轴上的点都表示

实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的 点(2,0)表示实数 2,因此①③是真命题;根据虚轴的定 义,y 轴叫虚轴,显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上, 如纯虚数 5i 对应点(0,5), 但虚轴上的点却不都是纯虚数, 这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复 数是 z=0+0i=0 表示的是实数,故除了原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题.

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第二课时

例1

在复平面内, 若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i

对应的点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围.


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复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的实部为 m2-m-2,

虚部为 m2-3m+2. (1)由题意得 m2-m-2=0.
解得 m=2 或 m=-1.
?m2-m-2<0 ? (2)由题意得? 2 ?m -3m+2>0 ?



?-1<m<2 ? ∴? ?m>2或m<1 ?

,∴-1<m<1.

(3)由已知得 m2-m-2=m2-3m+2, 故 m=2.

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第二课时

小结
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按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对

应关系, 每一个复数都对应着一个有序实数对, 只要在复平面 内找出这个有序实数对所表示的点, 就可根据点的位置判断复 数实部、虚部的取值.

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第二课时

跟踪训练 1 实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6) +(m2-2m-15)i: (1)对应的点在 x 轴上方; (2)对应的点在直线 x+y+4=0 上.
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解 (1)由 m2-2m-15>0,得 m<-3,或 m>5, 所以当 m<-3,或 m>5 时,复数 z 对应的点在 x 轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 5 得 m=1,或 m=-2,所以当 m=1,或 m=-2时, 复数 z 对应的点在直线 x+y+4=0 上.

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探究点二

复数与向量

问题 1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系?

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当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,

从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.

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第二课时

问题 2 怎样定义复数 z 的模?它有什么意义?

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→ 复数 z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量OZ=(a,b)

的模,记作|z|或|a+bi|.

|z|=|a+bi|= a2+b2可以表示点 Z(a,b)到原点的距离.

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第二课时

例 2 已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围.
解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R),
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∴|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(- 7, 7).
方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4 知,

z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以 4 为半径的圆内(不包括边界),

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第二课时

由 z=3+ai 知 z 对应的点在直线 x=3 上, 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由图可知:- 7<a< 7.
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小结

利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满

足的条件,是一种复数问题实数化思想;根据复数模的意 义,结合图形,可利用平面几何知识解答本题.

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1 跟踪训练 2 求复数 z1=3+4i,z2=- - 2i 的模及共 2 轭复数.

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|z1|= 3 +4 =5,|z2|=

2

2

12 3 2 ?-2? +?- 2? =2.

1 z1 =3-4i, z2 =- + 2i. 2

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第二课时

跟踪训练 3 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2;(2)|z|≤3.


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方法一

→ (1)复数 z 的模等于 2,这表明向量OZ的长度等于

2,即点 Z 到原点的距离等于 2,因此满足条件|z|=2 的点 Z 的 集合是以原点 O 为圆心,以 2 为半径的圆.

(2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 3 为半 径的圆及其内部.

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第二课时

方法二

设 z=x+yi(x,y∈R).

(1)|z|=2,∴x2+y2=4,
∴点 Z 的集合是以原点为圆心, 2 为半径的圆. 以
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(2)|z|≤3,∴x2+y2≤9. ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 3 为半径的圆 及其内部.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

第二课时

1.在复平面内,复数 z=i+2i2 对应的点位于( B )
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A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

解析 ∵z=i+2i2=-2+i,
∴实部小于 0,虚部大于 0, 故复数 z 对应的点位于第二象限.

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第二课时

2 2.当 <m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内 3 对应的点位于 A.第一象限
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( D ) B.第二象限 D.第四象限

C.第三象限

解析 复数 z 在复平面内对应的点为 Z(3m-2,m-1). 2 由3<m<1,得 3m-2>0,m-1<0. 所以点 Z 位于第四象限.故选 D.

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第二课时

→ 3.在复平面内,O 为原点,向量OA对应的复数为-1 +2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对称点为 B,则向 → 量OB对应的复数为 ( B )
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A.-2-i C.1+2i

B.-2+i D.-1+2i

解析 ∵A(-1,2)关于直线 y=-x 的对称点 B(-2,1),
→ ∴向量OB对应的复数为-2+i.

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第二课时

4.在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 mi 的点在直

9 线 y=x 上,则实数 m 的值为________.
解析
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∵z=(m-3)+2 mi 表示的点在直线 y=x 上,

∴m-3=2 m,解之得 m=9.

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第二课时

1.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一
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一对应, 复数和复平面内以原点为起点的向量一一 对应; 2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化 为复数的实虚部的问题, 也可以结合图形利用几何 关系考虑.


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