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2015西城区高三二模数学(文)试题及答案


北京市西城区 2015 年高三二模试卷


第Ⅰ卷(选择题

学(文科)
共 40 分)

2015.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} ,集合 B ? {x | x≤3} ,则 A (A) (?1,3) (B) (1,3]

B?(

) (D) [?1,3]

(C) [1,3)

2. 已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) ,b ? (2,3) ,c ? (?2, k ) , 若 (a ? b)//c , 则实数 k =( (A) 4 (C) 8 (B) ?4 (D) ?8



3. 设命题 p :函数 f ( x) ? e x?1 在 R 上为增函数;命题 q :函数 f ( x) ? cos 2 x 为奇函数. 则 下列命题中真命题是( (A) p ? q ) (C) (?p) ? (?q) (D) p ? (?q )

(B) (?p) ? q

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ?{1, 2,3} , 则输出的 s 属于( (A) {1, 2} (B) {1, 3} (C) {2, 3} (D) {1, 3, 9} )

5. 一个几何体的三视图中,正(主)视图和 侧(左)视图如图所示,则俯视图可以为(



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(A)

(B)

(C)

(D)

6. 某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y(万元)与 x 满足函数关系

y ? 4 x2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x 为(
(A) 3 (B) 4 (C) 5 ) (D) 6



7. “ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1为双曲线”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 8. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB =

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2, BC = AA1 = 1 ,点 P 为对角线 AC1 上的动点,点 Q 为底面


ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 B1P + PQ 的最小值为(
(A) 2 (C) (B) 3 (D) 2

3 2

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数

共 110 分)

10i ? ____. 3?i

10. 抛物线 C:y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程是____;以 C 的焦点为圆心,且与直线 l 相切的圆的 方程是____.

?1 x ? 1, ? , 11.设函数 f ( x) ? ? x 则 f [ f (2)] ? ____;函数 f ( x) 的值域是____. ? ?? x ? 2, x≤1.
12.在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 2 , 则 A ? ____; ?ABC 的面积为____.

? y≥x, 5 ? 13. 若 x, y 满足 ? y≤2 x, 若 z ? x ? my 的最大值为 ,则实数 m ? ____. 3 ? x ? y≤1, ?
14. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 2, 射线 OP 从 OA 出发, 绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD , O 为 AD 的中点, 在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ?[0, π]) , OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面
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积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论: 1 ○ 2 ○ 3 ○
π 3; f( )? 3 2
π 函数 f ( x) 在区间 ( , π ) 上为减函数; 2 π 任意 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 . 2

其中所有正确结论的序号是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 2x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调增区间. 16. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 1 ? Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 为等差数列,且 b1 ? a1 ,公差为
a2 . 当 n≥3 时,比较 bn ?1 与 1 ? b1 ? b2 ? a1

? bn 的大小.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE ,

AB ? 平面 ADE , CD ? DA ? 6 ,

AB ? 2 , DE ? 3 .
(Ⅰ)求 棱 锥 C ? A D E 的体积; (Ⅱ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 平面 BCE ?若存在,求出

EF ED

的值;若不存在,说明理由.

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18. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销 售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视 机的“星级卖场” . (Ⅰ)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (Ⅱ)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为 26.7,求 a>b 的概率; (Ⅲ )若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时,s 2 达到最小值. (只 需写出结论) (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn

的平均数)

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 E: 圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 A 为椭圆 E 的左顶点,点 B 为椭 a 2 b2

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q . 若以 PQ 为直径的圆经 过点 F1 ,证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.

20. (本小题满分 13 分) 1? x 已知函数 f ( x ) ? ,其中 a ? R . 1 ? ax 2 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
4 1

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对任意的 x ,都有 ?m ≤ f ( x) ≤ m 成立; (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解?当 a ? ? 时的
2 1

情形又如何?(只需写出结论)
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