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立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习


知识点整理 (一)平行与垂直的判断 (1)平行:设 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . (2)垂直:设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ;线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. (二)夹角与距离的计算 注意:以下公式可以可以在非正交基底下用,也可以在正交基底下用坐标运算

? ?
?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?
?

?

?

? ?

?

?

?

(1)夹角:设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? ?

? ?

? ? a ?b ? ①两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b
a?u ? ②直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u ? ?

?P
h
A?

? n

?O

? ? u?v ③二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . uv

?

(2)空间距离 点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离 h :(定理)如图, 设 n 是是平面 ? 的法向量, AP 是平面 ? 的一条斜线,

?

??? ? ?? ? ? ??? ? | AP ? n | ??? (实质是 AP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值) ② h? |n| ??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ③ 异面直线 l1 , l2 间的距离 d : d ? AB ? ( l1 , l2 的公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点). |n|
题型一:非正交基底下的夹角、距离、长度的计算 例1.如图,已知二面角?-l -?的大小为120 ,点A??,B??,AC?l 于点C,BD?l 于 点D,且AC=CD=DB=1. 求: (1)A、B两点间的距离; (2)求异面直线AB和CD的所成的角 (3)AB与CD的距离.
0

其中 A ? ? 则点 P 到平面 ? 的距离

? l D A C B ?

1

解:设 AC ? a, CD ? b, DB ? c, 则

| a |?| b |?| c |? 1, ? a, b ??? b, c ?? 900 , ? a, c ?? 600 ,
(1)? | AB |?

?a ? b ? c?

2

? a ? b ? c ? 2a ? b ? ?2b ? c ? 2c ? a ? 2 ,

2

2

2

? A、B 两点间的距离为 2. 0 (2)异面直线 AB 和 CD 的所成的角为 60 (3)设与 AB、CD 都垂直的非零向量为 n ? xa ? yb ? zc , 由 n ? AB 得 (xa ? yb ? zc) ? (a ? b ? c) ? 0 ? 3x ? 2y ? 3z ? 0 ①; 由 n ? CD 得 (xa ? yb ? zc) ? b ? 0 ? y ? 0 ②, 令 x=1,则由①、②可得 z=-1,? n ? a ? c ,由法则四可知,AB 与 CD 的距离为

d ?|

n |n|

? AC |?

| n ? AC | |n|

?

| (a ? c) ? a |

?a ? c?

2

?

1 . 2

小结:任何非正交基底下的证明、计算都先设基底,并将条件也用基底表示,特别证明线面平行时,如 AB//平面 PEF 可以将 AB 有基底表示, P E , P F 也用基底表示,最后用待定系数法 AB ? ?PE ? ?PF,将λ 和μ 求出。 例 2。如图,在三棱锥 A—BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= 3 ,BD=CD=1。 另一个侧面 ABC 是正三角形. (1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B—AC—D 的大小; (3)在段线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30°角?若存在,确定点 E 的位置;若不存 在,说明理由. 20.解法一: (1)方法一:作 AH⊥面 BCD 于 H 连 DH.

AB⊥BD ? HB⊥BD,∵AD= 3 ,BD=1
∴AB= 2 =BC=AC ∴BD⊥DC 又 BD=CD,则 BHCD 是正方形, 则 DH⊥BC. ∴AD⊥BC, 方法二:取 BC 的中点 O,连 AO、DO, 则有 AO⊥BC,DO⊥BC. ∴BC⊥面 AOD,∴BC⊥AD (2)作 BM⊥AC 于 M,作 MN⊥AC 交 AD 于 N, 则∠BMN 就是二面角 B—AC—D 的平面角.
2

∵AB=AC=BC= 2 ,∴M 是 AC 的中点,且 MN//CD. 则 BM=

6 1 1 1 3 , MN ? CD ? , BN ? AD ? . 2 2 2 2 2 BM 2 ? MN 2 ? BN 2 6 6 . ? ,? ?BMN ? arccos 2 BM ? MN 3 3

由余弦定理得 cos?BMN ?

(3)设 E 为所求的点,作 EF⊥CH 于 F,连 FD,则 EF//AH, ∴EF⊥面 BCD,∠EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角,则∠EDF=30°, 设 EF=x,易得 AH=HC=1,则 CF=x,FD= 1 ? x 2 .

? tan?EDF ?

EF x 3 2 ? ? , 解得x ? , 则CE ? 2 x ? 1, FD 3 2 1? x2

故线段 AC 上存在 E 点,且 CE=1 时,ED 与面 BCD 成 30°角. 解法二: (1)作 AH⊥面 BCD 于 H,连 BH、CH、DH,则四边形 BHCD 是正方形,且 AH=1, 以 D 为原点,以 DB 为 x 轴,DC 为 y 轴建立空间直角坐标系如图, 则 B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,A(1,1,1).

BC ? (?1,1,0), DA ? (1,1,1), ? BC ? DA ? 0, 则BC ? AD.
(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,

则由n1 ? BC知 : n1 ? BC ? ? x ? y ? 0; 同理由n1 ? CA知n1 ? CA ? x ? z ? 0. 可取n1 ? (1,1,?1).
同理,可求得平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? (1,0,?1) . 由图可以看出,二面角 B—AC—D 的大小应等于 ? n1 , n2 ?

则 cos ? n1 , n2 ? =

n1 ? n2 | n1 || n2 |

?

1? 0 ?1 3? 2

?

6 6 ,即所求二面角的大小是 arccos . 3 3

(3)设 E(x,y,z)是线段 AC 上一点,则 x ? z ? 0, y ? 1, 平面 BCD 的一个法向量为 n ? (0,0,1), DE ? ( x,1, x), 要使 ED 与面 BCD 成 30°角,由图可知 DE与n 的夹角为 60°,

3

所以cos ? DE, n ??

DE ? n | DE || n |

?

1 ? cos60? ? . 2 1 ? 2x 2

x

2 , 则CE ? 2 x ? 1. 2 故线段AC上存在E点, 且CE ? 1时, ED与面BCD成30? 角. 则2 x ? 1 ? 2 x 2 , 解得, x ?
题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题 例 3、如题(18)图,在五面体 ABCDEF 中, AB ∥ DC , ?BAD ? 四边形, FA ? 平面 ABCD , FC ? 3, ED ? 7 .求: (Ⅰ)直线 AB 到平面 EFCD 的距离; (Ⅱ)二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值. 解法一: (Ⅰ)? AB ? DC, DC ? 平面 EFCD , ? AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到 面 EFCD 的距离,过点 A 作 AG ? FD 于 G ,因 ?BAD ?

?
2

, CD ? AD ? 2 ,四边形 ABFE 为平行

?
2

AB ∥ DC ,故

CD ? AD ; 又 ? FA ? 平 面 A B C D, 由 三 垂 线 定 理 可 知 , CD ? FD , 故

C D? 面 F A D ,知 CD ? AG ,所以 AG 为所求直线 AB 到面 EFCD 的距离
在 Rt △ ABC 中, FD ?

FC2 ? CD2 ? 9 ? 4 ? 5 FD2 ? AD2 ? 5 ? 4 ? 1

由 FA ? 平面 ABCD ,得 FA ? AD,从而在 Rt △FAD 中, FA ?

? AG ?

2 5 FA ? AD 2 2 5 。即直线 AB 到平面 EFCD 的距离为 。 ? ? 5 FD 5 5

(Ⅱ)由己知, FA ? 平面 ABCD ,得 FA ? AD,又由 ?BAD ?

?
2

,知 AD ? AB ,故 AD ? 平面 ABFE

? DA ? AE ,所以, ?FAE 为二面角 F ? AD ? E 的平面角,记为 ? .
在 Rt △ AED 中, AE ? 在 Rt △ AEF 中, FE ?

ED2 ? AD2 ? 7 ? 4 ? 3 ,由 ? ABCD 得, FE ? BA ,从而 ?AFE ? AE2 ? AF 2 ? 3 ?1 ? 2
,故 tan ? ?

?
2
z

FE ? 2 FA
F

所以二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值为 2 .

E

??? ? ???? ??? ? 解法二: (Ⅰ) 如图以 A 点为坐标原点, AB, AD, AF 的方向为 x, y, z 的正方向建立
空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 F (0,0, z0 )
x B A

G

??? ? ( z0 ? 0) 可 得 F C? ( 2 , 2 ?, 0 z ,)由

C

D y

??? ? 2 ? 3 ,解得 F (0, 0,1) ? AB ∥ DC , | FC |? 3 .即 22 ? 22 ? z0
DC ? 面 EFCD ,所以直线 AB 到面 EFCD 的距离等于点 A 到面 EFCD 的距离。设 A 点在平面 EFCD 上的射
4

影点为 G( x1 , y1 , z1 ) ,则 AG ? ( x1 , y1 , z1 ) 因 AG ? DF ? 0 且 AG ? CD ? 0 ,而 DF ? (0, ?2,1)

????

???? ????

???? ??? ?

????

??? ? ? ?2 y1 ? z1 ? 0 解得 x1 ? 0 ① ,知 G 点在 yoz 面上,故 G 点在 FD 上. CD ? (?2,0,0) ,此即 ? ? ?2 x1 ? 0 ? ??? ? ???? ??? y 2 4 GF ? DF , GF ? (?x1 , ? y1, ?z1 ?1) 故有 1 ? ? z 1 ?1 ② 联立①,②解得, G (0, , ) . 2 5 5
???? ???? 2 4 ? | AG | 为直线 AB 到面 EFCD 的距离. 而 AG ? (0, , ) 5 5
(Ⅱ)因四边形 ABFE 为平行四边形,则可设 E( x0 ,0,1) 所以 | AG |?

????

2 5 5

??? ? ( x0 ? 0) , ED ? (?x0 2, ?1) .由

??? ? ??? ? 2 ? 22 ? 1 ? 7 ,解得 x 0 ? ? 2 .即 E(? 2,0,1) .故 AE ? (? 2,0,1) | ED |? 7 得 x0
由 AD ? (0, 2,0) , AF ? (0,0,1) 因 AD ? AE ? 0 , AD ? AF ? 0 ,故 ?FAE 为二面角 F ? AD ? E 的平面角,又

????

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | EF | ? ? 2 ? EF ? ( 2,0,0) , | EF |? 2 , | AF |? 1 ,所以 tan ?FAE ? ??? | FA |
例 3、如图,四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 2 , SA=SB= 3 . (1)证明:SA⊥BC; (2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. 求异面直线 DC、SA 的距离.

z S

E C A x
图4

B y

解: (1)作 AE ? BC 于 E 点,则

D

AE ? BE ? AB ? cos ?ABE ? 2 ? cos 45? ? 2
又∵BC=2 2

BE ?


1 BC 2 ,
又∵ ?SEA ? ?SB
?

即 E 点是 BC 的中点.

∴ ?SEB ? ?SEA ? 90 , 又∵侧面 SBC⊥底面 ABCD

即 SE 是 BC 的中垂线. ∴ SE ? 面AC .
5

??? ? ??? ? ??? ? EA , EB , ES (2) 以 E 为原点,分别以向量 的正方向为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图 4 所
示. 容易求得 SE=1,于是 A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),C(0,- 2 ,0),D( 2 ,-2 2 ,0),S(0,0,1),E(0,0,0).

? n 设平面 SAB 的法向量 ? (x, y, z) ,

??? ??? SB=(0, 2,-1) SA ? ( 2,0, ? 1) ∵ , ? ??? ? ?n ? SA ? 2 x - z ? 0 ? ? ??? ? n ? SB ? 2 y - z ? 0 ? n ? ∴ 令 z ? 2 ,得 ? (1,1, 2) . ??? ? SD ? ( 2, ?2 2, ?1) 又∵
设直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 ? ,则

??? ? ? SD ? n 2 2 22 sin ? ? ??? ? ? ? ? 11 11 ? 4 SD ? n

? ? arcsin


22 11 .

题型三、探索性问题 已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1).
AC AD

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? 21.证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC.????????????3 分 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC????. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC.??????8 分 ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
7 AC 7

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD.??????????????????12 分 7

22.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分)
6

如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试 说明理由。

解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,所以 AC ? 平面SBD , 得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 又 OD ?

2a 。

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,
0

即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E 。 4

连 BN 。 在 ? B D N 中 知 BN // PO , 又 由 于 NE // PC , 故 平 面 BEN // 平面PAC , 得 BE // 平面PAC , 由 于

SN:NP ? 2: 1 ,故 SE:EC ? 2: 1.

, OC, OS 分 解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐标原点, OB
别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。 设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0,0,

2 6 6 2 2 2 a, 0, ? a) a), D(? a,0,0) C (0, a, 0) 则: OC ? (0, a, 0) SD ? (? 2 2 2 2 2 2
7

OC ? SD ? 0
故 OC ? SD 从而 AC ? SD

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的一个法向量 OS ?)0, 0, a) ,设 2 2 2

所求二面角为 ? ,则 cos ? ?

OS ? DS OS DS

?

3 0 ,所求二面角的大小为 30 2

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC .

由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量, 且

DS ? (

2 6 2 6 a,0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2

设 CE ? tCS , 则 BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (? 而 BE ? DC ? 0 ? t ?

2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2

1 3

即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC 题型四:翻折问题

1. 故 SE:EC ? 2:

(本题满分 15 分)如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别在线段 AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?
' ' 线 EF 将 V AEF 翻折成 V A EF ,使平面 A EF ? 平面BEF .

2 FD ? 4 .沿直 3

(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长。 解析:本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应 用,同事考查空间想象能力和运算求解能力。 (Ⅰ) 解:取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A H ? EF ,
' ' ' ' '

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .
'

如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,0) , F(4,0,0) ,D(10,0,0).
8
'

?

故 FA =(-2,2,2 2 ) , FD =(6,0,0). 设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0. 取z?
?
'

'

?

? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。

? ? ? n ?m 3 ? ? 又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,故 cos? n, m? ? ? ? ? 。 n ?m 3
所以二面角的余弦值为

3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x,0,0) , 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A ' M ,
2 2 故, (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x) ,得 x ? ? 22 ? (2 2)

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ? 方法二:

21 。 4

(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连结 A ' G, A ' H , GH 。 因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A ' H ? EF 又因为平面 A ' EF ? 平面 BEF , 所以 A ' H ? 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF , 故 A ' H ? AF , 又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB , 所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A ' GH , 所以 ?A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角, 在 Rt ? A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2, A ' G = 2 3
9

所以 cos ?A ' GH ?

3 . 3 3 。 3

故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为 (Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后, C 与 A ' 重合, 所以 CM ? A ' M ,

而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 ,

A ' M 2 ? A ' H 2 ? MH 2 ? A ' H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2
得x?

21 , 4 21 。 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上, 所以 FM ?

1、如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的 中点,AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。 方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与
// // AP, // PC。 DE 所成的角。 设 P 为 AD 的中点, 连结 EP, PC。 因为 FE ? 所以 FA ? EP, 同理 AB ?

又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC,EP ⊥AD。 由 AB⊥AD, 可得 PC⊥AD 设 FA=a, 则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2 a , 故∠CED=60°。 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°

DM ? CE.连结MP,则MP ? CE. (II)证明:因为 DC ? DE且M为CE的中点,所以 又MP ? DM ? M,故CE ? 平面AMD.而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.
( III )

解:设Q为CD的中点,连结 PQ,EQ.因为CE ? DE,所以EQ ? CD.因为 PC ? PD,所以PQ ? CD,故?EQP为二面角A ? CD ? E的平面角 .
由(I)可得, EP ? PQ,EQ ?

6 2 a,PQ ? a. 2 2

10

于是在Rt?EPQ中, cos?EQP ?

PQ 3 ? , EQ 3

方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,

, 点 A 为坐标原点。设 AB ? 1 依题意得 B?1 , 0, 0?, C ?1, 1, 0?, D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?, F?0, 0, 1?,

?1 1? M? , 1, ?. ? 2 2?
(I) 解: BF ? ?? 1 , 0, 1?, DE ? ?0, ?1 , 1?,

于是 cos BF, DE ?

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2
0

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 . (II)证明:由AM ? ? , 1, ?, CE ? ?? 1 , 0, 1?,AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 ,

?1 ?2

1? 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.
而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.
(III) 解:设平面 CDE的法向量为u ? ( x,y,z ),则?

? ?u ? CE ? 0, ? ?u ? DE ? 0.

?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1 ) . ?? y ? z ? 0.
0, 1). 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0,

所以, cos u,v ?

u ? v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . uv 3 3 ?1

2、在四面体 ABCD 中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且 AB=BC=1。 (1)求证:平面 CBD⊥平面 ABD; (2)是否存在这样的四面体,使二面角 C—AD—B 的平面角为 30°?如果存在, 求出 CD 的长;如果不存在,请找出一个角θ ,使得存在这样的四面体,使二面角 C —AD—B 的平面角为θ 。 解: (1)∵AB⊥BC,AB⊥BD

∴AB⊥平面BCD,又AB ? 面ABD
∴面 ABD⊥面 CBD (2)设 CD=x,在面 CBD 内作 CE⊥BD 于 E
11

由(1)知平面 ABD⊥面 BCD,且 BD 为交线 ∴CE⊥平面 ABD 作 EF⊥AD 于 F,连结 CF,则 CF⊥AD ∴∠CFE 为“二面角”C—AD—B 的平面角,且∠CFE=30° 又在 Rt△BCD 中,CE·BD=CB·CD

∴CE ?

1? x x ?1
2

?

x x ?1
2

又∵CD⊥BC,又 BC 为 AC 在面 BCD 上射影 ∴CD⊥AC 则在 Rt△ACD 中,CF·AD=AC·CD

∴CF ?

2x x2 ? 2

x 在Rt?CEF中, sin ∠CFE ? CE ? CF x ?1 ? 2x
2

x2 ? 2 2 · x2 ? 1

?

1 2

x ?2
2

解出 x 2 ? ?3,无实数解。
故不存在这样的四面体,使二面角 C—AD—B 的平面角为 30°

又 sin ∠CFE ?

x2 ? 2 2· x ?1
2

?

1 2

1?

? 2 ? 1 ?? ,1? x ?1 ? 2 ?
2

?? ?? ∴∠CFE ? ? , ? ?4 2?
故θ 可以取 45°~90°之间的任意角。 3、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD,SD=2a, AD ? SD 上的点,且 DE ? ? a(0 ? ? ? 2) (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若

2a 点 E 是

tan ? gtan ? ? 1,求 ? 的值
解: (Ⅰ)证法 1:如图 1,连接 BE、BD,由地面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 ? SD⊥平面 ABCD,? BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影,? AC⊥BE (Ⅱ)解法 1:如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE=

?,

? SD⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, ? SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形,? CD⊥AD,而 SD ? AD=D,CD⊥平面 SAD.
12

连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE, 故∠CDF 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CDF= ? 。

在 Rt△BDE 中,? BD=2a,DE= ? a 在 Rt△ADE 中, ? AD ?

? tan ? ?

DE ? ? BD 2

2a, DE ? ? a,? AE ? a ? 2 ? 2

DF ?
从而

AD ? DE 2? a ? AE ?2 ? 2
tan ? ? CD ?2 ? 2 ? DF ? .

在 Rt?CDF 中,

由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得

?2 ? 2 ? . ?1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2 ? 2 .

由 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 2 ,即为所求.

??? ? ???? ??? ? DA , DC , DS (I) 证法 2:以 D 为原点, 的方向分别作为 x,y,z 轴的正方向建立如
图 2 所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) ,B( 2a , 2a ,0) ,C(0, 2a ,0) ,E(0,0 ? a ) ,

??? ? ??? ? ? AC ? (? 2a, 2a,0), BE ? (? 2a, ? 2a, ?a)
??? ? ??? ? ? AC ? BE ? 2a2 ? 2a2 ? 0 ? ?a ? 0 ,
即 AC ? BE 。 (II) 解法 2: 由(I)得 EA ? ( 2a,0, ??a), EC ? (0, 2a, ??a), BE ? (? 2a, ? 2a, ?a) . 设平面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n ? EA ,n ? EC 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n ? EA ? 0, ? ? 2x ? ? z ? 0, 即? 取z ? 2,得n( ?, ? , 2) 。 ? ? ??? ?n ? EC ? 0, ? ? 2y ? ? z ? 0, ? ??? ? ??? ? 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 DS ? (0,0, 2a)与DC ? . (0,2a,0) ???? ??? ? ??? ? DC ? n ? DS ? BE ? . ?sin ? ? ??? ,cos ? ? ???? ? ? ??? ? ? DS ? BE DC ? n ?2 ? 4 2? 2 ? 2

? 0< ? , ? ?

?
2

,? ? 0,

13

? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ?

?
2

? sin ? ? cos ? ?

? ? ?4
2

?

?
2? ? 2
2

? ?2 ? 2 .

由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 2 ,即为所求。 4、已知在四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB=1, ?BCD ? 45 , ?BAD ? 90° ,将△ABD 沿对角线 BD 折起到如图所
?

示 PBD 的位置,使平面 PBD ? 平面BCD . ⑴求证: CD ? PB ;⑵求二面角 P ? BC ? D 的余弦值大小; ⑶求点 D 到平面 PBC 的距离.

解:(1)折叠前,在直角梯形 ABCD 中,易知∠CBD=∠ADB=45° 又∠BCD=45° ∴∠BDC=90°,即 CD⊥BD

折叠后,在三棱锥 P—BCD 中,CD⊥BD,且平面 PBD⊥平面 BCD,BD 为交线 ∴CD⊥平面 PBD ∴CD⊥PB

(2)取 BD 中点 O,作 OE⊥BC 于 E,连 PO,PE ∵PB=PD ∴PO⊥BD 又平面 PBD⊥平面 BCD,BD 为交线 ∴PO⊥平面 BCD 在平面 BCD 内射影为 OE

由三垂线定理 PE⊥BC ∴∠PEO 是二面角 P—BC—D 平面角

(3)设 D 到平面 PBC 距离为 h

14

或者:由(1)知 PB⊥CD 又 PB⊥PD ∴PB⊥面 PDC ∴面 PDC⊥面 PBC,PC 为交线 过 D 作 DH⊥PC,则 DH⊥面 PBC ∴DH 即为 D 点到面 PBC 的距离

空间距离专题复习 题型一:两条异面直线间的距离 【例 1】 如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2)求 AB 和 CD 间的距离; 【规范解答】 (1)证明:连结 AF,BF,由已知可得 AF=BF. 又因为 AE=BE,所以 FE⊥AB 交 AB 于 E. 同理 EF⊥DC 交 DC 于点 F. 所以 EF 是 AB 和 CD 的公垂线.

3 1 a ,BE= a , 2 2 2 1 2 2 2 2 a. 所以 EF =BF -BE = a ,即 EF= 2 2
(2)在 Rt△BEF 中,BF=

例 1 题图

2 a. 2 【例 2】 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,求异面直线 AB、CD 之间的距离. 设 AB 中点为 E,连 CE、ED. ∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理 DE⊥AB. ∴AB⊥平面 CED.设 CD 的中点为 F,连 EF,则 AB⊥EF. 同理可证 CD⊥EF.∴EF 是异面直线 AB、CD 的距离.
由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段,所以 AB 和 CD 间的距离为

3 1 ∵CE= ,∴CF=FD= ,∠EFC=90°,EF= 2 2

2 ? 3? 1? 2 ? ? ?? . ? ? ? ? 2 ? 2 ?2? ? ?

2

例 2 题图

15

2 . 2 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法: (1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度. (2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离. (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离. 题型二:两条异面直线间的距离 【例 3】 如图(1),正四面体 ABCD 的棱长为 1,求:A 到平面 BCD 的距离; 过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O,连 BO 并延长与 CD 相交于 E,连 AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O 是△BCD 的外心.又 BD=BC=CD,
∴AB、CD 的距离是 ∴O 是△BCD 的中心,∴BO=

2 3 3 2 ? BE= ? . 3 2 3 3
2 2 2

例 3 题图 ? 3? ? ? 6 .∴A 到平面 BCD 的距离是 6 . 又 AB=1,且∠AOB=90°,∴AO= AB ? BO ? 1 ? ? ? 3 ? 3 3 ? ? 【例4】 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=

5 ? ,AB=a,AD=3a 且 sin∠ADC= ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=a, 5 2

求:(1)二面角 P—CD—A 的大小; (2)点 A 到平面 PBC 的距离. 【规范解答】 (1)作 AF⊥DC 于 F,连结 PF, ∵AP⊥平面 ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA 就是二面角 P—CD—A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin

3a 5 ,AD=3a,∴AF= , 5 5

PA a 5 5 5 ? ? ,∴∠PFA=arc tan . AF 3a 3 3 (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB,作 AH⊥PB,则 BC⊥AH,∴AH⊥平面 PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
在 Rt△PAF 中 tan∠PFA=

2 a. 2 【例5】 如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2, CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解法 1: (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. ∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.
∴PB= 2 a,∴AH= ∴DF=C1H=2. ? BF ? BD ? DF ? 2 6. (Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC, 且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC. 在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到面 AEC1F 的距离.
2 2

16



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17. 4 17 ? 12 17 ,

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3 cos MCG ? 3 cosGAB ? 3 ? CM ? CC1 ? CQ ? ? MC1 3? 12 17 122 17 ? 4 33 . 11

32 ?

解法 2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) , A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,4,1) ,C1(0,4,3).设 F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为面 AEC1F 的法向量, 显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)

? x ? 1, ? ?4 y ? 1 ? 0, ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? 即? ?? 1 ? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . ? ?n1 ? AF ? 0, ? 4 ? ???? ? ?? ? CC1 ? n1 4 33 ? ?? ? ? 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 a,则 cos ? ? ???? . 33 | CC1 | ? | n1 |
∴C 到平面 AEC1F 的距离为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ? 【例6】

4 33 4 33 ? . 33 11

正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8,对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。

(1)求点 B1 到直线 AC 的距离.(2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离. 解: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线 定理可得: B1 D ? AC , 所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。 在 Rt?B1 BD 中 BB1 ?

A1

B1

C1

B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .
A D B C

? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21 .

(2)因为 AC 与平面 BD C1 交于AC的中点D, 设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所以 AB1 //平面 C1 BD , 所以 AB1 到平面 BD C1 的距离等于A点到平面 BD C1 的距离,等于C点到平面 BD C1 的距离,也就等于三棱 锥 C ? BDC1 的高,

?VC?BDC1 ? VC1 ?BDC ,

1 1 12 13 12 13 ? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ,? h ? ,即直线 AB1 到平面 BD C1 的距离是 . 3 3 13 13
【解后归纳】 求空间距离注意三点: 1.常规遵循一作二证三计算的步骤; 2.多用转化的思想求线面和面面距离;
17

3.体积法是一种很好的求空间距离的方法. 【范例 4】如图,在长方体 AC1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 解析:法 1 (1)∵AE⊥面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 S ?AD1C ?

D1 A1 D A E B B1

C1

? . 4

C

1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? ? , 而S ?ACE ? ? AE ? BC ? . 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 S?AEC ? DD1 ? S?AD1C ? h,? ? 1 ? ? h,? h ? . 3 3 2 2 3
D1 A1 D A
H

?VD1 ? AEC ?

(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x

C1 B1 C E B

在Rt ?D1 DH中,? ?DHD1 ?

?
4

,? DH ? 1.

? 在Rt ?ADE中, DE ? 1 ? x 2 , ? 在Rt ?DHE中, EH ? x ,
在Rt?DHC中CH ? ?x ? 3 ? 3 , 在Rt?CBE中CE ? x 2 ? 4 x ? 5. x 2 ? 4 x ? 5 ? x ? 2 ? 3.

? AE ? 2 ? 3时, 二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4
法 2:以 D 为坐标原点,直线 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1),D1(0,0, 1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0). (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) , 从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) , AD ,0,1) , 1 ? (?1 设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,
A1 D o D1

?

z
B1

C1

? ?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ?n ? AC ? 0, 则? 也即 ? ,得 ? , ?a?c ?0 a?c ? ? ? n ? AD ? 0 , 1 ?
从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 h ? (3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) , ∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

C E B

y

x

A

| D1 E ? n | |n|

?

2 ?1? 2 1 ? . 3 3

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0 ?? 令 b=1, ∴c=2, a=2-x, a ? b( x ? 2) ? 0. ? ? n ? CE ? 0 , ?

∴ n ? (2 ? x,1,2).依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 2 ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 .
18

∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4
( )

一、基础夯实 1.把边长为 a 的正△ABC 沿高线 AD 折成 60°的二面角,则点 A 到 BC 的距离是 A.a B.

6 3 15 a a a C. D. 2 3 4 2.△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°.△ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A、B、C 的距离都是 14,那么点 P 到平面α 的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α 外一点 P 向α 引两条斜线 PA,PB.A,B 为斜足,它们与α 所成角的差是 45°,它们在α 内的射影长分别是 2cm 和 12cm ,则 P 到α 的距离是 ( ) A.4cm B.3cm 或 4cm C.6cm D.4cm 或 6cm 4.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为 ( ) 2 3 a a C. D.a 2 2 5.在四面体 P—ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直.M 是面 ABC 内一点,且点 M 到三个面 PAB、PBC、PCA 的距离分别为 2、 3、6,则点 M 到顶点 P 的距离是 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图, 将锐角为 60°, 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60°的二面角, 则 AC 与 BD 的距离是 ( )
A. B. A.

1 a 2

3 a 4

B.

3 a 4

C.

3 a 2

D.

6 a 4

第 6 题图

第 7 题图

7.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD=1,设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则有 ( ) A.1<d1<d2 B.d1<d2<1 C.d1<1<d2 D.d2<d1<1 8.如图所示,在平面α 的同侧有三点 A、B、C,△ABC 的重心为 G.如果 A、B、C、G 到平面α 的距离分别为 a、b、c、 d,那么 a+b+c 等于 ( ) A.2d B.3d C.4d D.以上都不对

第 9 题图 第 8 题图
19

9.如图,菱形 ABCD 边长为 a,∠A=60°,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点且 沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起,使 A、C 重合,这时点 A 到平面 EFGH 的距离是 A. (

AE AH CF CG ? ? ? ?2, EB HD FB DG
)

a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

D.

15 a 6
.

二、思维激活 10.二面角α -MN-β 等于 60°,平面α 内一点 A 到平面β 的距离 AB 的长为 4,则点 B 到α 的距离为

11.在 60°的二面角α —l—β 中,A∈α ,AC⊥l 于 C,B∈β ,BD⊥l 于 D,又 AC=BD=a,CD= 2 a,则 A、B 两点间距 离为 . 12.设平面α 外两点 A 和 B 到平面α 的距离分别为 4cm 和 1cm,AB 与平面α 所成的角是 60°,则线段 AB 的长 是 . 13.在直角坐标系中,已知 A(3,2),B(-3,-2)沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为α 的二面角 A—Oy—B 后,∠AOB=90°, 则 cosα 的值是 . 三、能力提高 14.在边长为 a 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABCD,E 是 PA 的中点,求点 E 到平 面 PBC 的距离. 15.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ACB 为直角, 侧面 AB1 与侧面 AC1 所成的二面角为 60°, M 为 AA1 上的点.∠A1MC1=30°, ∠BMC1=90°,AB=a. (1)求 BM 与侧面 AC1 所成角的正切值. (2)求顶点 A 到面 BMC1 的距离.

16.已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 , 且 AA1⊥A1C,AA1=A1C. (1)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小; (2)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; (3)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离. 17.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 与 BC 的中点,EF 与 BD 交于 H. (1)求二面角 B1—EF—B 的大小. (2)试在棱 B1B 上找一点 M,使 D1M⊥面 EFB1,并证明你的结论. (3)求点 D1 到面 EFB1 的距离. 空间的距离习题解答

第 15 题图

第 17 题图

a 15a ?a? 1.D 折后 BC= ,∴点 A 到 BC 的距离为 a 2 ? ? ? ? . 2 4 ?4?
2.A BC= 9 2 ? 152 ? 2 ? 9 ? 15 cos120? ? 21 . ∴△ABC 外接圆半径 R=

2

21 ?7 3, 2 sin120?

∴点 P 到α 的距离为 14 2 ? (7 3 ) 2 ? 7.
20

3.D 设 PO⊥α 垂足为 O,|PO|=xcm ,∠OAP=β ,∠OBP=γ ,那么β -γ =45°,

x x ,tanγ = ,tan (β -γ )=tan 45° 2 12 2 展开左边并整理得:x -10x+24=0,解得 x1=6,x2=4. 4.B P、Q 的最短距离即为异面直线 AB 与 CD 间的距离,当 P 为 AB 的中点,Q 为 CD 的中点时符合题意.
tanβ = 5.A PM= 2 2 ? 32 ? 6 2 ? 7 . 6.C 取 BD 的中点 O 连 AO、OC,作 OE⊥AC 于 E,则 OE 为所求,∴AO=CO=AC= 7.D 点 C 到平面 PAB 的距离 d1=

3a . 2

2 , 2

2 2 ? 3, 点 B 到平面 PAC 的距离 d2= 3 1 1? 2 1?


3 2 ? ? 1 ,∴d2<d1<1. 3 2

b?c d? b?c 2 ? 1 .∴a+b+c=3d. 8.B |MM′|= ,又 b?c 3 2 a? 2
9.A 设 BD 的中点为 O, ∴EO= ? ? ? ? ? ? 2 ?

?a? ?3?

2

?a? ?2?

2

a a 7a 4 2 7a 2 a ,点 A 到平面 EFGH 的距离为 a ? ? . ? cos 60? ? 9 36 2 3 2 6

10.2 作 AC⊥MN 于 C,连 BC,则 BC⊥MN, ∴∠ACB=60°,又 MN⊥平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面α ,作 BD⊥AC 于 D,则 BD⊥α , ∴BD 的长即为所求,得 BD=2. 11. 3a

AB= a 2 ? a 2 ? ( 2a) 2 ? 2 ? a ? a ? cos 60? ? 3a .
10 3 cm 3
第 13 题图解

12.2 3 cm 或

3 ?2 3; sin 60? 5 10 3 ? 当点 A、B 在α 异侧时,AB= sin 60? 3 4 13. 如图,AB″= OA 2 ? OB 2 ? 2(2 2 ? 32 ) ? 26 9 ∵BC⊥y 轴,B′C⊥y 轴, ∴∠B′CB″为二面角 A—Oy—B 的平面角. ∠B′CB″=α ,在△B′CB″中,B′C=B″C=3, 4 B′B″= 26 ? 4 2 ? 10 ,由余弦定理易知 cosα = . 9
当点 A、B 在α 同侧时,AB=
21

14.如图,将点 E 到平面 PBC 的距离转化成线面距,再转化成点面距. 连 AC、BD,设 AC、BD 交于 O,则 EO∥平面 PBC, ∴OE 上任一点到平面 PBC 的距离相等. ∵平面 PBC⊥平面 ABCD, 过 O 作 OG⊥平面 PBC,则 G∈BC, 又∠ACB=60°,AC=BC=AB=a, ∴OC=

3a a ,OG=OC sin60°= . 4 2

点评:若直接过 E 作平面 PBC 的垂线,垂足难以确定.在解答求距离时,要注意距离之间的相互转化有的能起到意 想不到的效果. 15.(1)∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱,∴∠BAC 为二面角 B1—AA1—C1 的平面角, ∴∠BAC=60°. 又∵∠ACB 为直角,∴BC⊥侧面 AC1. 连 MC,则 MC 是 MB 在侧面 AC1 上的射影. ∴∠BMC 为 BM 与侧面 AC1 所成的角. 且∠CMC1=90°,∠A1MC1=30°,所以∠AMC=60°. 设 BC=m,则 AC= 所以 tan∠BMC=

3 2 m ,MC= m, 3 3

3 . 2 3 . 2

即 BM 与侧面 AC1 所成的角的正切值为

(2)过 A 作 AN⊥MC,垂足为 N,则 AN∥面 MBC1. ∵面 MBC⊥面 MBC1,且过 N 作 NH⊥MB,垂足为 H, 则 NH 是 N 到面 MBC1 的距离,也就是 A 到面 MBC1 的距离. ∵AB=a,AC= ∴AN=

a ,且∠ACN=30°, 2

3 a a. 且∠AMN=60°,∴MN= 12 4 3 39 a× a (本题还可用等积法). ∴NH=MNsin∠BMC= 12 52 16.(1)如图所示,作 A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥面 ABC,得 A1D⊥面 ABC ∴∠A1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角 ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C ∴∠A1AD=45°为所求. (2)作 DE⊥AB 垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB, ∴∠A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角.
由已知 AB⊥BC 得 DE∥BC,又 D 是 AC 的中点,BC=2,AC=2 3

第 16 题图解

A1 D = 3 ,故∠A1ED=60°为所求. DE (3)连结 A1B,根据定义,点 C 到面 A1ABB1 的距离,即为三棱锥 C—A1AB 的高 h. 1 1 由 VC—A1AB=VA1-ABC 得 S△AA1Bh= S△ABC·A1D 3 3
∴DE=1,AD=A1D= 3 ,tan∠A1ED=

22

1 1 ? 2 2 ? h ? ? 2 2 ? 3 ,∴h= 3 为所求. 3 3 17.(1)如图连结 B1D1,AC,B1H, ∵底面为正方形 ABCD, ∴对角线 AC⊥BD. 又∵E、F 分别为 AB、BC 的中点 ∴EF∥AC.∴EF⊥BD. 又∵棱 B1B⊥底面 ABCD,EF 面 ABCD,∴EF⊥B1B. 又 B1B∩BD=B,BB1 面 BB1D1D,BD 面 BB1D1D. ∴EF⊥面 BB1D1D. 而 B1H 面 BB1D1D,BH 面 BB1D1D,∴EF⊥B1H,EF⊥BH. ∴∠B1HB 为二面角 B1—EF—B 的平面角.
即 在 Rt△B1BH 中,B1B=a,BH= ∴tan∠B1HB=

第 17 题图解

2 a, 4

B1 B ?2 2. BH

∴∠B1HB=arctan2 2 . ∴二面角 B1—EF—B 的大小为 arctan2 2 . (2)在棱 B1B 上取中点 M,连 D1M, 则 D1M⊥面 EFB1.连结 C1M. ∵EF⊥面 BB1D1D,D1M 面 BB1D1D. ∴D1M⊥EF. 又∵D1C1⊥面 B1BCC1. ∴C1M 为 D1M 在面 B1BCC1 内的射影. 在正方形 B1BCC1 中,M、F 分别为 B1B 和 BC 的中点, 由平面几何知识 B1F⊥C1M. 于是,由三垂线定理可知 B1F⊥D1M, 而 B1F 面 EFB1,EF 面 EFB1,EF∩B1F=F, ∴D1M⊥面 EFB1. (3)设 D1M 与面 EFB1 交于 N 点,则 D1N 为点 D 到面 EFB1 的距离, ∵B1N 面 EFB1,D1M⊥面 EFB1, ∴B1N⊥D1M. 2 在 Rt△MB1D1 中,由射影定理 D1B1 =D1N·D1M, 而 D1B1= 2 a,D1M= B1 D12 ? B1 M 2 ? ∴D1N=

3 a, 2

D1 B12 4 ? a. D1 M 3

即点 D1 到面 EFB1 的距离为

4 a. 3

23



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