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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 文


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第一章 集合与常 用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 文

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p? q,且 q? p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q? p,且 p (5)如果 p

q,则 p 是 q 的必要不充分条件; p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.

q,且 q

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)“x +2x-3<0”是命题.( ? ) π π (2)命题“α = ,则 tan α =1”的否命题是“若 α = ,则 tan α ≠1”.( ? ) 4 4 (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ ) (4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) ) )
2

(5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √

(6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √

1.(2015?山东改编)若 m∈R, 命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是
1

2

____________________________________. 答案 若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0 解析 原命题为“若 p,则 q”,则其逆否命题为“若綈 q,则綈 p”. ∴所求命题为“若方程 x +x-m=0 没有实根,则 m≤0”. 2.已知命题 p:若 x=-1,则向量 a=(1,x)与 b=(x+2,x)共线,则在命题 p 的原命题、 逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________. 答案 2 解析 向量 a,b 共线?x-x(x+2)=0?x=0 或 x=-1, ∴命题 p 为真,其逆命题为假,故在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题的个数为 2. 3.记不等式 x +x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为__________. 答案 (-∞,-3] 解析 不等式 x +x-6<0 的解集为 A=(-3,2),函数 y=lg(x-a)的定义域为 B=(a,+ ∞).由“x∈A”是“x∈B”的充分条件,得实数 a 的取值范围为(-∞,-3]. 1 4.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的____________条件.
2 2 2 2

a

答案 既不充分也不必要 1 1 解析 当-1<a<0,-1<b<0 时,由 0<ab<1 得到 b> ;当 a>0,b<0 时,由 b< 得到 ab<0,因

a

a

1 此“0<ab<1”是“b< ”的既不充分也不必要条件.

a

5.(教材改编)下列命题: ①x=2 是 x -4x+4=0 的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sin α =sin β 是 α =β 的充要条件; ④ab≠0 是 a≠0 的充分不必要条件. 其中为真命题的是________(填序号). 答案 ②④
2

题型一 命题及其关系 例 1 (1) 命 题 “ 若 x , y 都 是 偶 数 , 则 x + y 也 是 偶 数 “ 的 逆 否 命 题 是

______________________.
2

(2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题 真假性的判断依次如下,正确的是________(填序号). ①真,假,真 ③真,真,假 ②假,假,真 ④假,假,假

答案 (1)若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 (2)② 解析 (1)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否 定表达是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶 数”. (2)先证原命题为真:当 z1,z2 互为共轭复数时,设 z1=a+bi(a,b∈R),则 z2=a-bi,则 |z1|=|z2|= a +b , ∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取 z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|, 但是 z1,z2 不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假”这一性质, 当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. π 1 (1)命题“若 α = ,则 cos α = ”的逆命题是________. 3 2 (2)命题“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是____________________________. 1 π 答案 (1)若 cos α = ,则 α = 2 3 (2)若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0
2 2 2 2 2 2

π 1 1 π 解析 (1)命题“若 α = ,则 cos α = ”的逆命题是“若 cos α = ,则 α = ”. 3 2 2 3 (2)“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0”. 题型二 充分必要条件的判定 例 2 (1)(2015?四川)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3 >3 >3”是“loga3<logb3”的 ____________条件. (2)“a>0,b>0”是“ + ≥2”的____________条件. 答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要
a b
2 2 2 2

b a a b

解析 (1)根据指数函数的单调性得出 a,b 的大小关系,然后进行判断. ∵3 >3 >3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不一定得到 3 >3 >3,
3
a b a b

1 1 a b 例如当 a= ,b= 时,loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1.故“3 >3 >3”是“loga3<logb3” 2 3 的充分不必要条件. (2)若 a>0,b>0,则根据基本不等式可得 + ≥2;反之, + ≥2,则 ab>0,不一定有 a>0,

b a a b

b a a b

b a b>0.故“a>0,b>0”是“ + ≥2”的充分不必要条件. a b
思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p? q,q? p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性, 把判断的命题转化为其逆否命题进行 判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的某种条 件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的某种条件. (1)(2015?陕西)“sin α =cos α ”是“cos 2α =0”的____________条件. π (2)(2015?石家庄模拟)若命题 p: φ = +kπ , k∈Z, 命题 q: f(x)=sin(ω x+φ )(ω ≠0) 2 是偶函数,则 p 是 q 的________条件. 答案 (1)充分不必要 (2)充要
2 2

解析 (1)∵sin α =cos α ? cos 2α =cos α -sin α =0;cos 2α =0?cos α =±sin α ? / sin α =cos α . π (2)当 φ = +kπ ,k∈Z 时,f(x)=±cos ω x 是偶函数,所以 p 是 q 的充分条件;若函数 2

f(x)=sin(ω x+φ )(ω ≠0)是偶函数,则 sin φ =±1,即 φ = +kπ ,k∈Z,所以 p 是 q 的必要条件,故 p 是 q 的充要条件.
题型三 充分必要条件的应用 例 3 已知 P={x|x -8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,求 m 的取值范围. 解 由 x -8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P. 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ∴0≤m≤3. ? ?1+m≤10, ∴当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3].
2 2

π 2

4

引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ? ?1+m=10,

∴?

?m=3, ? ? ?m=9,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若 x∈綈 P 是 x∈綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,∴P? S 且 S ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
? ?1-m≤-2, ∴? ? ?1+m>10

P.

或?

? ?1-m<-2, ? ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)方程 ax +2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是__________. (2)已知条件 p:2x -3x+1≤0,条件 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要 不充分条件,则实数 a 的取值范围是________.
2 2 2

? 1? 答案 (1)a≤1 (2)?0, ? ? 2?
解析 (1)当 a=0 时,原方程为一元一次方程 2x+1=0,有一个负实根. 当 a≠0 时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是 Δ =4-4a≥0,即 a≤1. 设此时方程的两根分别为 x1,x2, 2 1 则 x1+x2=- ,x1x2= ,

a

a

a≤1, ? ? 当只有一个负实根时,?1 <0 ? ?a a≤1,

? a<0;

? 2 ? - <0,? 0<a≤1. 当有两个负实根时,? a >0 ?1 ? a
5

综上所述,a≤1.
? 1 ? (2)命题 p 为?x| ≤x≤1?, ? 2 ?

命题 q 为{x|a≤x≤a+1}. 1 綈 p 对应的集合 A={x|x>1 或 x< }, 2 綈 q 对应的集合 B={x|x>a+1 或 x<a}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,

a+1>1, ? ? ∴? 1 a≤ ? ? 2
1 ∴0≤a≤ . 2

a+1≥1, ? ? 或? 1 a< , ? ? 2

1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)已知 p:(a-1) ≤1,q:? x∈R,ax -ax+1≥0,则 p 是 q 成立的____________ 条件. (2)已知条件 p:x +2x-3>0;条件 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的 取值范围是_________________________________. 解析 (1)由(a-1) ≤1 解得 0≤a≤2,∴p:0≤a≤2. 当 a=0 时,ax -ax+1≥0 对? x∈R 恒成立;
? ?a>0, 当 a≠0 时,由? 2 ?Δ =a -4a≤0, ?
2 2 2 2 2

得 0<a≤4,

∴q:0≤a≤4. ∴p 是 q 成立的充分不必要条件. (2)由 x +2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,等价于 q 是 p 的充分不必要条件. ∴{x|x>a}?{x|x<-3 或 x>1},∴a≥1. 答案 (1)充分不必要 (2)[1,+∞)
2

温馨提醒 (1)本题用到的等价转化 ①将綈 p,綈 q 之间的关系转化成 p,q 之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题,经常被用到.

6

[方法与技巧]

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定 义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命 题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:即利用 A? B 与綈 B? 綈 A;B? A 与綈 A? 綈 B;A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系, 对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A? B,则 p 是 q 的充分 条件或 q 是 p 的必要条件;若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的充要 条件. [失误与防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若 p, 则 q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分不必要条件是

q”等语言.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是“__________________”. 答案 若一个数的平方是正数,则它是负数 解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.(2015?天津改编)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的________________条件. 答案 充分不必要 解析 由|x-2|<1 得 1<x<3,所以 1<x<2? 1<x<3;但 1<x<3 1<x<2.

3.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命 题、否命题、逆否命题 3 个命题中,真命题的个数是________.

7

答案 1 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则函数 y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个. 4. 设 x= 条件. 答案 充要 解析 ?a+2b??2a+b? 2?a +b ?+5ab 4ab+5ab xy= = ≥ =ab,其中等号成立的充要 9 9 9
2 2

a+2b
3

2a+b , y= .命题 p: a≠b; 命题 q: ab<xy,则命题 p 是命题 q 成立的________ 3

条件是 a=b,因此 a≠b 是 ab<xy 的充要条件. 5 .设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC ,BD ,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的 ______________条件. 答案 充分不必要 解析 因为菱形的对角线互相垂直, 所以“四边形 ABCD 为菱形”? “AC⊥BD”, 所以“四边 形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件; 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形, 所以 “AC⊥BD” 要条件. 综上,“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. “四边形 ABCD 为菱形”,所以“四边形 ABCD 为菱形”不是“AC⊥BD”的必

? π? 6 . (2015? 福 建 改 编 )“ 对 任 意 x∈ ?0, ? , ksin xcos x < x” 是 “k < 1” 的 2? ?
________________条件. 答案 必要不充分 解析 2x ? π? ? π? ? x∈ ?0, ? , ksin xcos x < x ?? x∈ ?0, ? , k < ,令 f(x) = 2x - sin 2? 2? sin 2x ? ?

? π? 2x.∴f′(x)=2-2cos 2x>0,∴f(x)在?0, ?为增函数,∴f(x)>f(0)=0. 2? ?
2x ∴2x>sin 2x,∴ >1,∴k≤1. sin 2x 7. “a≠5 且 b≠-5”是“a+b≠0”的______________条件. 答案 既不充分也不必要 解析 “a≠5 且 b≠-5”推不出“a+b≠0”, 例如 a=2, b=-2 时, a+b=0; “a+b≠0” 推不出“a≠5 且 b≠-5”,例如 a=5,b=-6.故“a≠5 且 b≠-5”是“a+b≠0”的既不 充分也不必要条件.

8

?log2x,x>0, ? 8.函数 f(x)=? x ?-2 +a,x≤0 ?

有且只有一个零点的充要条件是__________.

答案 a≤0 或 a>1 解析 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2 +a(x≤0) 没有零点?函数 y=2 (x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 9.“若 a≤b,则 ac ≤bc ”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个 数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 10. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x -2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x -2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1},又{x|x -2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
? ?-1≤m-1, ∴? ?m+1<3, ?
2 2 2 2 2

x

x

或?

? ?-1<m-1, ?m+1≤3, ?

∴0≤m≤2.

11.给定两个命题 p、q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的________条件. 答案 充分不必要 解析 若綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q? 綈 p 但綈 p? / q,其逆否命题为 p? 綈 q 但綈

q? / p,所以 p 是綈 q 的充分不必要条件.
12.下列命题: ①若 ac >bc ,则 a>b; ②若 sin α =sin β ,则 α =β ; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④ 解析 对于①,ac >bc ,c >0,∴a>b 正确; 对于②,sin 30°=sin 150°? / 30°=150°, 所以②错误; 对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a? a=0 且 A1C2≠A2C1,所以③正确; ④显然正确. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 13.给出下列三个命题:
9
2 2 2 2 2

①“a>b”是“3 >3 ”的充分不必要条件; ②“α >β ”是“cos α <cos β ”的必要不充分条件; ③“a=0”是“函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为________. 答案 ③ 解析 “a>b”是“3 >3 ”的充要条件,①错误;“α >β ”是“cos α <cos β ”的既不充
3 2 3 2

a

b

a

b

分也不必要条件,②错误;“a=0”是“函数 f(x)=x +ax (x∈R)为奇函数”的充要条件, ③正确.故正确命题的序号为③. 14.(2015?湖北改编)设 a1,a2,?,an∈R,n≥3.若 p:a1,a2,?,an 成等比数列;q:(a1 +a2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=(a1a2+a2a3+?+an-1an) ,则 p 是 q 的__________条件. 答案 充分不必要 解析 若 p 成立,设 a1,a2,?,an 的公比为 q,则(a1+a2+?+an-1)(a2+a3+?+an)=a1(1 +q +?+q
2 2 2n-4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)?a2(1+q +?+q
2n-4 2

2

2

2n - 4

)=a1a2(1+q +?+q

2

2

2

2n-4 2

) ,(a1a2+a2a3+?+an-1an)

2

=(a1a2) (1+q +?+q

2

) ,故 q 成立,故 p 是 q 的充分条件.取 a1=a2=?=an=0,则 q

成立,而 p 不成立,故 p 不是 q 的必要条件.即 p 是 q 的充分不必要条件. 15.如果对于任意实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1 成立”的______________条件. 答案 充分不必要 解析 若[x]=[y],则|x-y|<1;反之,若|x-y|<1,如取 x=1.1,y=0.9,则[x]≠[y], 即“[x]=[y]”是“|x-y|<1 成立”的充分不必要条件.
? 1 x ? 16.已知集合 A=?x| <2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充分不 ? 2 ?

必要条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)
? 1 x ? 解析 A=?x| <2 <8,x∈R?={x|-1<x<3}, ? 2 ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A?B,∴m+1>3,即 m>2. 17.设 a,b 为正数,则“a-b>1”是“a -b >1”的________条件. 答案 充分不必要 解析 ∵a-b>1,即 a>b+1. 又∵a,b 为正数, ∴a >(b+1) =b +1+2b>b +1, 即 a -b >1 成立, 反之, 当 a= 3, b=1 时, 满足 a -b >1, 但 a-b>1 不成立.所以“a-b>1”是“a -b >1”的充分不必要条件.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10

18.下列结论正确的是________. ①“λ =0”是“λ a=0”的充分不必要条件;②在△ABC 中,“AB +AC =BC ”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件;③若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 全不为零”的充要条 件;④若 a,b∈R,则“a +b ≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件. 答案 ①④ 解析 由 λ =0 可以推出 λ a=0,但是由 λ a=0 不一定推出 λ =0 成立,所以①正确. 由 AB +AC =BC 可以推出△ABC 是直角三角形,但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角 是直角,所以②不正确. 由 a +b ≠0 可以推出 a,b 不全为零, 反之,由 a,b 不全为零可以推出 a +b ≠0, 所以“a +b ≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件,而不是“a,b 全不为零”的充要条件, ③不正确,④正确.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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