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上海市浦东新区2013届高三数学三模试卷(文科,含答案)


浦东新区 2013 年高三综合练习 数学试卷(文科)
一、填空题: (本大题满分 56 分,每小题 4 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应的编 号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ?x ? ?

x ? x 2 的定义域为

.

2.如果 sin ? ? ?

3? 2 2 ??) ? , ? 为第三象限角,则 sin( 2 3

. .

3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项之和 S n 满足 S10 ? S5 ? 20 ,那么 a8 ?

4.设复数 z1 ? 1 ? 5i , z2 ? 3 ? m i , z1 ? z2 ? n ? 8 i ( m , n ? R ) ,则 z1z2 ? __________. 5.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N , P, Q 分别是棱 B1C1 , C1 D1 , D1 A1 , BC 的中点,则异面 直线 MN 与 PQ 所成的角等于__________. 6.在△ ABC 中, A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,且 b cos B 是 a cosC, c cos A 的等差中项,则 角B = .

7.若① a ? b ? 9 ,② a ? b ? 9 ,则同时满足①②的正整数 a, b 有 组.

8.如图,抛物线形拱桥的顶点距水面 4 米时,测得拱桥内水 面宽为 16 米;当水面升高 3 米后,拱桥内水面的宽度为 _________米. 9.如图为某几何体的三视图,则其侧面积为 10.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,

cm2 .

an ? 2 n ?7 (n ? N*, n ? 1) ,则当 a n 取得 a n ?1

最小值时 n 的值是 . 11.设正四面体 ABCD 的棱长为 a , P 是棱 AB 上的任意一点,且 P 到面 ACD, BCD 的距离分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ? d 2 ? .
3 3

12.定义在 R 上的函数 f (x) 同时满足性质:①对任何 x ? R ,均有 f ( x ) ? [ f ( x)] 成立;②对 任 何 x1 , x2 ? R , 当 且 仅 当 x1 ? x 2 时 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 则 f (?1) ? f (0) ? f (1) 的 值 为 . 13.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 1 1
2

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

3 * 根据上述分解规律,则 5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m (m ? N ) 的分解中最小的数是 73,则 m 的值

1/4



.

14.定义:对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 ;不论数 列 ?an ? 是否具有“ P 性质”,如果存在数列 ?bn ? 与 ?an ? 不是同一数 ?an ? 具有“ P 性质” 列,且 ?bn ? 满足下面两个条件: (1) b1 , b2 , b3 ,..., bn 是 a1 , a2 , a3 ,..., an 的一个排列; (2) 数列 ?bn ? 具有“ P 性质” ,则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质” . 给出下面三个数列: ①数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

n 2 ( n ? 1) ; 3

②数列 {bn } :1,2,3,4,5; ③数列 {cn } :1,2,3,4,5,6. 具有“ P 性质”的为 ;具有“变换 P 性质”的为 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 非零向量 a , b , a | ? m , b | ? n , 若向量 c ? ?1 a ? ?2 b , | c | 的最大值为 则 ( | | B. | ?1 | m? | ?2 | n C. | ?1m ? ?2 n | D.以上均不对 16 . 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? ) ?1 m ? ?2 n A.

1 9 (n ? N * ) , 其 前 n 项 和 S n ? ,则双曲线 10 n(n ? 1)
( )

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 n ?1 n
A. y ? ?

2 2 x 3

B. y ? ?

3 2 x 4

C. y ? ?

3 10 x 10

D. y ? ?

10 x 3
( )

17.已知 △ ABC 中, AC ? 2 2 , BC ? 2 ,则角 A 的取值范围是 A. ?

?? ? ? , ?. ?6 3?

B. ? 0,

? ?

??

?. 6?

C. ? 0,

? ?

??
4? ?

D. ?

?? ? ? , ? ?4 2?

18. 在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 450 ,点 P 的斜坐标定义为: 若 OP ? x0 e1 ? y 0 e2 (其中 e1 ,e2 “ 分别为与斜坐标系的

???? ???? F1 (?1,0), F2 (1,0), 且 动 点 M ( x, y) 满 足 MF 1 ? MF 2 , 则 点 M 在 斜 坐 标 系 中 的 轨 迹 方 程 为
) A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

x 轴 , y 轴 同 方 向 的 单 位 向 量 ), 则 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) ” . 若



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三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.本小题满分 12 分(第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x

? m ? 0 ? 的最大值为 2.

(1)求函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域;

π π (2)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 3 , f ( A ? ) ? f (B ? ) ? 4 6 sin Asin B ,角 A,B 所对的边分 4 4
别是 a,b,求

1 1 ? 的值. a b

20.本题满分 14 分(第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 设 a ? 1 ,函数 f (x) 的图像与函数 y ? 4 ? a| x?2| ? 2 ? a x?2 的图像关于点 A(1 , 2) 对称. (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围.

21.本小题满分 14 分(第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 如图 1, OA , OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段 CD 和曲线段 EF 分别是湖泊中 的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA ,OB 平行 的栈桥 MG 、 MK ,且以 MG 、 MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK .建立如图 2 所示的直角坐标系,测得线段 CD 的方程是 x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20),曲线段 EF 的方程是

xy ? 200 (5 ? x ? 40) ,设点 M 的坐标为 ( s, t ) ,记 z ? s ?t .(题中所涉及的长度单位均为米,栈
桥和防波堤都不计宽度) (1)求 z 的取值范围; (2)试写出三角形观光平台 MGK 面积

B

y F

F K M

B E D

D

G C
图2

E

S?MGK 关于 z 的函数解析式,并求出该面
积的最小值

O

C
图1

A

O

A

x

3/4

22.本小题满分 16 分(第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3, 椭圆 C 左右焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 E , ), 2 a b 2 x y ?EF1 F2 为等边三角形.定义椭圆 C 上的点 M ( x0 , y0 ) 的“伴随点”为 N ( 0 , 0 ) . a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 tan ?MON 的最大值; (3)直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,若点 A、B 的“伴随点”分别是 P、Q,且以 PQ 为直径的圆经 过坐标原点 O.椭圆 C 的右顶点为 D,试探究 ΔOAB 的面积与 ΔODE 的面积的大小关系,并证明.

23.本小题满分 18 分(第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 14 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn?1bn?1 ? bn ? n ? 2? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ① 记 cn ? a6n?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ② 若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足的条件. ?n?

4/4

浦东新区 2013 年高三综合练习 数学试卷(文科)参考答案及评分细则
一、填空题: (本大题满分 56 分,每小题 4 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应的编 号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [0,1] ; 2. 9. 4? ;

1 ? ; 3. 4 ; 4. ? 12? 18 i ; 5. 600 ; 6. ; 7.25; 8.8; 3 3 6 10.6 或 7; 11. a ; 12.0 ; 13.9; 14.①、② 3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.B; 16.C; 17.C; 18.D.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.本小题满分 12 分(第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分) 解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .………………………2 分

π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .…………………………………4 分 4
f ( x) 在 [0,

?

π ] 上递增.在 ? , π ? 递减, ?4 ? 4 ? ?

所以函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域为 [? 2 ,2] ;…………………………………5 分

π π (2)化简 f ( A ? ) ? f (B ? ) ? 4 6 sin Asin B 得 4 4
s i n ? s iB? A n 2 6 A i n Bs i n s .……………………………………………………7 分

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab ,……………………………………………9 分 因为△ABC 的外接圆半径为 R ? 3 . a ? b ? 2ab .…………………………11 分 所以

1 1 ? ? 2 …………………………………………………………………12 分 a b

20.本题满分 14 分(第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 解: (1)设点 P( x , y ) 是函数 f (x) 图像上任意一点, P 关于点 A 对称的点为 P?( x ? , y ?) ,则

x ? x? y ? y? ? 1, ? 2 ,于是 x ? ? 2 ? x , y ? ? 4 ? y ,………………2 分 2 2 | x??2| 因为 P?( x ? , y ?) 在函数 g (x) 的图像上,所以 y ? ? 4 ? a ? 2 ? a x??2 ,…4 分
即4? y ? 4?a
|? x|

? 2 ? a ? x , y ? a | x| ? 2 ? a ? x ,
5/4

所以 f ( x) ? a | x| ? 2 ? a ? x .……………………………………………………6 分 (2)令 a x ? t ,因为 a ? 1 , x ? 0 ,所以 t ? 1 ,

2 ? m ,…………………………………………8 分 t 即关于 t 的方程 t 2 ? mt ? 2 ? 0 有大于 1 的相异两实数解. ?h(1) ? 0 ?m ? 作 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 ,则 ? ? 1 ,………………………………………12 分 ?2 ?m 2 ? 8 ? 0 ?
所以方程 f ( x) ? m 可化为 t ? 解得 2 2 ? m ? 3 ;所以 m 的取值范围是 (2 2 , 3) .………………………14 分 21.本小题满分 14 分(第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 解: (1)由题意,得 M (s, t ) 在线段 CD: x ? 2 y ? 20 (0 ? x ? 20) 上,即 s ? 2t ? 20 , 又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、MK, 所以 5 ? s ? 10 ;.…………………………………………………………………2 分.

1 1 z ? s ? t ? s (10 ? s ) ? ? ( s ? 10) 2 ? 50, 5 ? s ? 10 ;………………………4 分 2 2 75 ? z ? 50 ..………………………………………………6 分 所以 z 的取值范围是 2 200 200 ), G ( , t ) ,..…………………………………………8 分 (2)由题意,得 K ( s, s t 1 1 200 200 1 40000 ? s )( ? t ) ? ( st ? ? 400) 所以 S?MGK ? ? MG ? MK ? ( 2 2 t s 2 st
则 S?MGK ?

1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400), z ? ? ,50 ? ,..……………………………10 分 2 z ?2 ?
1 40000 ? 75 ? (z ? ? 400) 在 z ? ? ,50 ? 单调递减,..………12 分 2 z ?2 ?

因为函数 S ?MGK ?

所以当 z ? 50 时,三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米. ..………14 分 22.本小题满分 16 分(第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分)

3 ?3 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? 2 x2 y 2 ? 2 2 2 2 ? ? 1 .········ 分 解: (1)由已知 ? a ? b ? c ,解得 a ? 4, b ? 3 ,方程为 ········ ·······4 4 3 ?c 1 ? ? ?a 2 ?
(2)当 x0 y0 ? 0 时,显然 tan ?MON ? 0 ,由椭圆对称性,只研究 x0 ? 0, y0 ? 0 即可, 设 kOM ?

2k y0 ,于是 kON ? ···················· 分 ···················· ···················5 ? k (k ? 0) x0 3
6/4

2k ?k 2? 3 2? 3 3 tan?MON ? ? ? ?? 2 2k 3 2 2 3 1? ? 2k 3 k
(当且仅当 k 2 ?

3 时取等号)··························8 分 ·························· ·························· 2

(3) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 P ?

? x1 y1 ? ? x2 y2 ? , ?, Q? , ?; ? 2 3? ? 2 3?

1)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ; ?1 ? ? 3 ?4
? ?? ? 48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? ?8km ? 有 ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?

①······················· 分 ······················10 ······················

由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O 可得: 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ; 整理得: (3 ? 4k 2 ) x1x2 ? 4mk ( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 0 ②

2 2 将①式代入②式得: 3 ? 4k ? 2m , ······················12 分 ······················ ·····················

? 3 ? 4k 2 ? 0,? m 2 ? 0, ? ? 48m2 ? 0
又点 O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

m 1? k 2

4 3? m 4 3 3 ? 4k 2 ? m 2 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 1 ? k ? 1? k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 4 3? m ? 1? k 2 2m 2 1 所以 S?OAB ? AB d ? 3 ·························· 分 ·························· ·························14 2
2 2

2) 当直线 l 的斜率不存在时,设方程为 x ? m(?2 ? m ? 2)

7/4

联立椭圆方程得: y ?
2

3(4 ? m2 ) ; 4
2

代入 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 得 3m ?

3(4 ? m2 ) ? 0; 4
1 1 AB d ? m y1 ? y 2 ? 3 2 2

m??

2 5 2 15 y?? 5 , 5

S ?OAB ?

综上: ?OAB 的面积是定值 3 又 ?ODE 的面积也为 3 ,所以二者相等. ···················16 分 ··················· ··················· 23.本小题满分 18 分(第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 14 分) 解: (1)当 n ? 2 时,有

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ?
又 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2)①因为对任意的 n ? N * ,有 bn ? 6 ?

n2 n ? ? 1. 2 2

n2 n ? ? 1 .…………4 分 2 2

bn ? 5 b 1 ? ? n ?1 ? bn ,所以, bn ? 4 bn ? 3 bn ? 2

1 1 cn?1 ? cn ? a6n?5 ? a6n?1 ? b6n?1 ? b6n ? b6n?1 ? b6n?2 ? b6n?3 ? b6n?4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 7 , 2 2
所以,数列 ?cn ? 为等差数列.……………………………………………………8 分 ②设 cn ? a6n?i ? n ? N *? (其中 i 为常数且 i ??1,2,3,4,5,6? , 所以, cn?1 ? cn ? a6n?6?i ? a6n?i ? b6n?i ? b6n?i ?1 ? b6n ?i ? 2 ? b6n ?i ?3 ? b6n ?i ? 4 ? b6n ?i ?5 ? 7 , 即数列 ?a6n?i ? 均为以 7 为公差的等差数列.…………………………………… 10 分
7 7 7 i ? 6k ? ? ai ? i ai ? i a6 k ? i ai ? 7k 6 ? 7 6 ? ? 6 . ? ? 设 fk ? 6k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k

(其中 n ? 6k ? i, k ? 0, i 为 ?1, 2,3, 4,5,6? 中一个常数)

a 7 7 当 ai ? i 时,对任意的 n ? 6 k ? i ,有 n ? ;……………………………… 12 分 6 n 6 7 7 ai ? i ai ? i 7 ?6 6 6 ? ?a ? 7i? 当 ai ? i 时, f k ?1 ? f k ? . ? ? i ? 6 ? k ? 1? ? i 6k ? i ? 6 ? ?6 ? k ? 1? ? i ? ? 6k ? i ? 6 ? ?
7 ?a ? (Ⅰ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递减数列; 6 ? 6k ? i ? 7 ?a ? (Ⅱ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递增数列. 6k ? i ? 6 ?
8/4

?7 ? ?4? ?1 ? ? 1? ? 1 ? ?1 ? ?7 4 1 1 1 ? 综上所述,集合 B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? , , , ? , ? ? . ?6 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3? ? 6 ? ? 2 ? ? 6 3 2 3 6 ? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? n ? 中必有某数重复出现无数次; ?n? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? 6 k ? i ? ? i ? 1, 2,3, 4,5, 6 ? 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最 ? 6k ? i ? ?a ? 多出现一次,所以 数列 ? n? 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数 ?n?

次.………………………………………………………………………………… 18 分

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