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高三文科数学每周练习试卷(含答案)


高三文科数学每周练习试卷(含答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x, y ? R ,则复数 x ? yi ? ( A.2 B.3 C.4 ) D.5

2.设函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 A,值域为 B,则 A A. (0, ??) B. (1, ??)

B =(

) D. (??,1) )

C. (0,1)

3.设首项为 1 ,公比为错误!未找到引用源。的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( A. Sn ? 2an ? 1 B. Sn ? 3an ? 2 C. Sn ? 4 ? 3an D. Sn ? 3 ? 2an

4.通过某雷达测速点的机动车的时速频率分布直方图如图 所示,则通过该测速点的机动车的时速超过 60 的概率是( A.0.038 B.0.38 C.0.028 D.0.28 )

5. 将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图

象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, A.

3 ) ,则 ? 的值可以是( 2



5? 5? ? B. C. 3 6 2 6.“ ? ? 1 ”是“函数 f ( x) ? cos?x 在区间 ?0,? ? 上是单调递减”的(

D.

? 6

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.运行如图的程序框图,若输出的结果是 s ? 1320 ,则判断框中可填入( )

A. k ? 10?

B. k ? 10?

C. k ? 9 ? )

D. k ? 8?

8.在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

x2 y 2 9 设 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 , PF2 ? F 1F 2 , a b

?PF1F2 ? 30 ,则 C 的离心率为(
A.



3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

10.若存在正数 x 使 2x ( x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是( A. (??, ??) B. (?2, ??) C. (0, ??)

) D. (?1, ??)

二、填空题:本大题共 5 小题.考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 11.已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
12.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是

13.若关于

x、 y

?x ? y ? 5 ? 0 ? y?a 的不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ? 0? x?2 ?

14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程是 ?

? ? x ? 2 2 cos ? ? ? y ? 2 2 sin ?

. ( ? 为参数) ,以坐标原点O

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos? ? 2 ,则在曲线 C 上到直线

l 的距离为 2 的点有_________个
15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB=4,C 为圆周上一点,AC=3, CD 是⊙ O 的切线,BD⊥CD 于 D,则 CD=

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? (0, )) 2

?

的部分图象如图所示,其中点 P 是图象的一个最高点 (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 已知 ? ? (

?
2

, ? ) 且 sin ? ?

5 ? ,求 f ( ) . 2 13



17.(本小题满分 12 分) 某学校餐厅新推出 A,B,C,D 四款套餐,某一天四款套餐销售情况的条形 图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问 卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计,统计结 果如下面表格所示: 满意 A 套餐 B 套餐 C 套餐 D 套餐 50% 80% 50% 40% 一般 25% 0 50% 20% 不满意 25% 20% 0 40%

70

60
50 40

30 20 10 0

A

B

C

D

种类

(Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的调查问卷被选中的概率; (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出 2 人进行面 谈,求这两人中至少有一人选择 的是 D 款套餐的概率.

BC ? 5 , AB / / DC , AB ? AD , PD ? 面ABCD , 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,

DC ? 3 , AD ? 4 , ?PAD ? 60 .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺寸,并画出 演算过程) ; (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

19.(本小题满分 14 分)数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S n ? an ? ? (I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N ? ) 2 2

20.( 本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 椭圆上. (1) 求椭圆 C 的方程;

3 3 ,且点(1, )在该 2 2

(2) 如图,椭圆 C 的长轴为 AB,设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PH 丄 x 轴,H 为垂足,点 Q 满 足 PQ ? HP ,直线 AQ 与过点 B 且垂直于 X 轴的直线交于点 M, BM ? 4BN BM = 4BN .求证: ?OQN 为 锐角.

21.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ln( x ? 1) , g ( x) ?

1 2 ax ? bx (a, b ? R) . 2

(1) 若 b ? 2且h( x) ? f ( x ?1) ? g ( x) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围; (2) 若 a ? 0, b ? 1 ,求证:当 x ? (?1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立 (3) 利用(2)的结论证明:若 x ? 0, y ? 0 ,则 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln

x? y 2

参考答案
1. D 11.-2 2.D 12. 3.D 4.B 5.B 14.3 6.A 15. 7.B 8.C 9.D 10.D

1 3

13. [5,7)

3 7 4

16.解:(1)由函数最大值为 2 ,得 A=2 。……………………………………………………….1 分 由图可得周期 T ? 4[ 由

2?

? (? )] ? ? ,……………………………………………………….2 分 12 6
……………………………………………………….3 分

?

?

?

? ? ,得 ? ? 2 。

又? ?

?
12

? ? ? 2 k? ?


?

得? ?

?
3

, k ? Z ,及 ? ? (0, ) ,…………………………………………….4 分 2 2
……………………………………………………….5 分

?

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 。 3

?

……………………………………………………….6 分

( ,?),且sin? = (2)由? ?

?

? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) ,………………………………….10 分 2 2 3 3 3 5 ? 12 3 . …………………………………12 分 ? 13
17.解: (Ⅰ)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生共有 200 人, 其中选 A 款套餐的学生为 40 人, 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 20 ? 设事件 M =“同学甲被选中进行问卷调查”, 则 P( M ) ?

?

2

?

?

5 12 ,得cos? =- 1 ? sin 2 ? ? ? ,…………………….8 分 13 13

?

?

40 ? 4 份. 200

…………….(2 分)

4 ? 0.1 . 40

……………………………………………………….(5 分) …………….(6 分)

答:若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 . 其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个 .

(II)由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5. ………………………….(7 分) 记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b; 对 D 款套餐不满意的学生是 c,d. ………………………………………………….(8 分) 设事件 N=“从填写不满意的学生中选出 2 人,至少有一人选择的是 D 款套餐” 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件, 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, 则 P( N ) ? ………………………(10 分)

5 . 6

………………………………………………………(12 分)

18.解法一: (Ⅰ )在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE ? AB ,垂足为 E , 由已知得,四边形 ADCE 为矩形, AE ? CD ? 3 在 Rt ?BEC 中,由 BC ? 5 , CE ? 4 ,依勾股定理得: BE ? 3 ,从而 AB ? 6 又由 PD ? 平面 ABCD 得, PD ? AD 从而在 Rt ?PDA 中,由 AD ? 4 , ?PAD ? 60? ,得 PD ? 4 3 正视图如右图所示: (Ⅱ )取 PB 中点 N ,连结 MN , CN 在 ?PAB 中, M 是 PA 中点,

1 AB ? 3 ,又 CD AB , CD ? 3 2 ∴MN CD , MN ? CD ∴ 四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM CN
∴MN

AB , MN ?

又 DM ? 平面 PBC , CN ? 平面 PBC ∴DM 平面 PBC (Ⅲ ) VD? PBC ? VP? DBC ? S?DBC ? PD 又 s? PBC ? 6 , PD ? 4 3 ,所以 VD? PBC ? 8 3 解法二: (Ⅰ )同解法一 (Ⅱ )取 AB 的中点 E ,连结 ME , DE 在梯形 ABCD 中, BE CD ,且 BE ? CD ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 ∴DE BC ,又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ∴DE 平面 PBC ,又在 ?PAB 中, ME PB

1 3

ME ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC ∴ME 平面 PBC .又 DE ME ? E , ∴ 平面 DME 平面 PBC ,又 DM ? 平面 DME ∴DM 平面 PBC
(Ⅲ )同解法一 19.解:(1) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , ………………………………(2 分) ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,…………………(4 分)

1 2

3 2

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 ,
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

……………………(6 分)

所以数列 ?bn ? 是首项为 (2)由 (1)得 nbn ? 所以 ① Tn ?

1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .………(7 分) 2 2 ?2?

n

n . 2n

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n , 2 2 2 2

……………(9 分) ……………(12 分)

?1? 1? ? ? ?2? ? n ? 2? n? 2 . Tn ? 1 2n 2n 1? 2
20.解: (1)设椭圆 C 的方程为 又 a ? b ? c ,∴ 4b ? a .
2 2 2
2 2

n

………………(14 分)

x2 y 2 c 3 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? 2 a b a 2
????????????????2 分

,

3 ∵椭圆 C 经过 (1, ) ,代入椭圆方程有 2
解得 b ? 1 .
2

3 1 ? 4 ? 1, 4b 2 b 2
????????????????5 分

∴a ? 4,
2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????????6 分 ????????????????7 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? (?2 ? x0 ? 2) , ∵ A ? ?2,0? , ∵ PQ ? HP , ∴ Q ? x0 , 2 y0 ? , ∴直线 AQ 的方程为 y ?
2 y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

????????????????9 分

? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ?. ? x0 ? 2 ?

∵ B ? 2,0 ? , BM ? 4BN , ∴ N ? 2,

? ?

y0 ? ?. x0 ? 2 ?

? ?2 y0 (1 ? x0 ) ? ∴ QO ? ? ? x0 , ?2 y0 ? , QN ? ? 2 ? x0 , ?. x0 ? 2 ? ?

∴ QO ? QN ? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? (?2 y0 ) ?

?2 y0 (1 ? x0 ) 4 y 2 (1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2

x0 2 ? y0 2 ? 1 , ∵ 4
2 ∴ 4 y02 ? 4 ? x0

∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ∵ ?2 ? x0 ? 2 , ∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ? 0 . 又 O 、 Q 、 N 不在同一条直线, ∴ ?OQN 为锐角.

????????????????12 分

???????????????????14 分

21.解:(1)当 b ? 2 时, h ? x ? ? ln x ? ∴ h?( x ) ?

1 2 ax ? 2 x 2
…………………………1 分

1 ? ax ? 2 . x

∵ h( x) 有单调减区间,∴ h?( x) ? 0 有解,即 ∵ x ? 0 ,∴ ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解。 (ⅰ)当 a ? 0 时符合题意;

1 ? ax 2 ? 2 x ?0 x
…………………………2 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,△ ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 。 ∴ a 的取值范围是 (?1, ??) 。 (2)当 a ? 0 , b ? 1 时,设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x , ∴ ? ?( x) ? …………………………4 分

1 ?x ?1 ? 。 x ?1 x ?1

…………………………5 分

∵ x ? ?1 , 讨论 ? ?( x ) 的正负得下表:

…………………………6 分

∴当 x ? 0 时 ? ( x) 有最大值 0. 即 ? ( x) ? 0 恒成立。 ∴当 x ? (?1, ??) 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立。 (3)∵ x ? 0 , y ? 0 , ∴ x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln …………………………8 分

x? y 2
…………………………10 分

? x(ln x ? ln

x? y x? y ) ? y (ln y ? ln ) 2 2

? x ln

2x 2y x? y x? y ? y ln ? ? x ln ? y ln x? y x? y 2x 2y y?x x? y ) ? y ln(1 ? ) 2x 2y
…………………………12 分

? ? x ln(1 ?

由(2)有 ? x ln(1 ?

y?x x?y y?x x?y ) ? y ln(1 ? ) ? ?x? ? y? ?0 2x 2y 2x 2y
x? y 2
…………………………14 分

∴ x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln .


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