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2东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系,充分条件,必要条件教师版


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东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 002A

命题及其关系,充分条件,必要条件(教案)A
一、知识梳理: (阅读教材选修 2-1 第 2 页—第 13 页) 1、 四种命题 (1) 、命题是可以 可以判断真假的语句 ,具有 “若 P,则 q 的形式; (2) 、一般地用 P 或 q 分别表示命题的条件或结论,用 p 或 q 分别表示 P 和 q 的 否定,于是四种命题的形式就是: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题: (3)、四种命题的关系:

两个互为逆否命题的真假是相同的,原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。 2、 充分条件、必要条件与充要条件 (1) “若 p,则 q”为真命题,记 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 (2)如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,记作 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件。 3、 判断充分性与必要性的方法: (一) 、定义法

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东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 002A

(1) ? q 且 q? p ,则 p 是 q 的 、p

充分不必要条件 ;

(2) ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 必要不充分条件 ; 、p (3) ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 ; 、p (4) ? q 且q ? p ,则 p 是 q 的 充要条件 ; 、p (二) 、集合法:利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系,设满足条件 p 的 元素构成集合 A,满足条件 q 的元素构成集合 B; (1) 、若 A? B,则 p 是 q 的 充分条件 若B ? A,则 p 是 q 的必要条件; (2) 、若 A= B,则 p 是 q 的充要条件 ; (3) 、若 A≠ B,且 A? B,则 p 是 q 的充分不必要条件;q 是 p 的必要不充分条件; (4) 、若 A? B,且B ? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ; 二、题型探究 探究一:四种命题的关系与命题真假的判断 例 1;设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数,若 p=q,m=n,则 p+m=q+n”写出它的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 解:逆命题:“已知 p、q、m、n∈ R,若 p+m=q+n,则 p=q,m=n(假). 否命题:“已知 p、q、m、n∈ R,若 p≠q,m≠n,则 p+m≠q+n”(假) 逆否命题:“已知 p、q、m、n∈R,若 p+m≠q+n,则 p≠q 或 m≠n”(真) 注:否命题“若 p≠q, m≠n”应理解为“p≠q 或 m≠n”即是指: ①p≠q, 但 m=n, ②p=q 但 m≠n, 而不含 p≠q 且 m≠n. 因为原命题中的条件: “若 p=q, m=n. ”应理解为“若 p=q 且 m=n, ”而这一语句的否定应该是“p≠q 或 m≠n”. 例 2:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。 (1)等底等高的两个三角形是全等三角形; (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0。 解: (1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高。真命题; 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等。真命题; 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等或不等高。假命题。 (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0。真命题; 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0.真命题; 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0。真命题。

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探究二:充分必要条件的判定 例 3: m ? “

1 ” “直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 是 2
) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

相互垂直”的(

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 答案:B; 解析:当 m ?

1 时两直线斜率乘积为 ?1 从而可得两直线垂直,当 m ? ?2 时两直线一 2 1 是题目中给出的两条直线 2

条斜率为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m ? 垂直的充分但不必要条件。

注:对于两条直线垂直的充要条件① k1 , k2 都存在时 k1.k2 ? ?1 ② k1 , k2 中有一个 不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。 探究三:利用充分、必要条件解决待定系数问题 例 4:已知 p: 1 ?
x?1 3

≤ 2,q:x 2 ? 2X + 1 ? m2 ≤ 0(m > 0),



p



q

的必要

不充分条件,求实数 m 的取值范围。 解:P:-2≤ x ≤ 10; q:1-m≤ x ≤m+1 由题意可知:P 是 q 的充分不必要条件,所以 1 ? m < ?2 1 + m > 10 所以,{m|3<m<9}

探究四:充要条件的探究与证明

例 5 求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.
分析:(1)讨论 a 的不同取值情况; (2)利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答:充分性:当 a=0 时,方程变为 2x+1=0,其根为 x= ? 根; 当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0.其根为 x=-1,
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1 ,方程只有一个负 2

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方程只有一个负根。 当 a<0 时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 一负根。 必要性:若方程 ax +2x+1=0 有且仅有一个负根。 当 a=0 时,适合条件。 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根, 则 Δ =4(1-a)≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一个负根 x=-1.
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1 <0,方程有一正 a

?a ? 1 ? 若方程有且仅有一负根,则 ? 1 ∴a<0 ?0 ?a ?
综上方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a≤0 或 a=1 注:(1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知证明条件成立是必 要性; (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为 它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下 的两次证明; (3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条 件,哪是结论。 三、方法提升 1、判断命题的真假要以真值表为依据,原命题与其逆否命题为等价命题,逆命题与 否命题是同真同假, 2、判断命题充要条件的三种方法 (1) 、定义法 (2) 、等价法: (3) 、利用集合间的包含关系
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3、 (1) 条件已知证明结论成立是充分性, 结论已知证明条件成立是必要性;

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(2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为 它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下 的两次证明; (3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条 件,哪是结论。 四、思想感悟:

。 五、课后作业: 一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括 号内.) 1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的 《相思》诗,在这 4 句诗中,哪句可作为命题(A ) A.红豆生南国 C.愿君多采撷 B.春来发几枝 D.此物最相思

解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文 知识判断这 4 句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假. “红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本 语句是命题; “春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题; “愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题; “此物最相思”是感叹句,故不是命题. 答案:A 2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( A.充分而不必要条件 )

B.必要而不充分条件

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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由|x-1|<2 得-1<x<3.由 x(x-3)<0 得 0<x<3. 因为“-1<x<3 成立”? “0<x<3 成立”, 但“0<x<3 成立”?“-1<x<3 成立”.故选 B. 评析:如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件. 3.“a=1” 是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:当 a=1 时,直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直;当直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直时,有 a=1.故选 C. 评析:如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 4.x <4 的必要不充分条件是( A.-2≤x≤2
2 2

) C.0<x≤2 D.1<x<3

B.-2<x<0

解析:x <4 即为-2<x<2,因为-2<x<2?-2≤x≤2,而-2≤x≤2 不能推出-2<x<2,所 以 x <4 的必要不充分条件是-2≤x≤2.选 A. 5.(2011·天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f( -x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f( x)不是奇函数, 则 f(-x)不是奇函数.”答案:B )
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