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未来脑2015必考点临考押题-理科数学-2015.5.17


未来脑 2015 必考点临考押题(3)
导数与定积分

未来脑 2015 年必考点临考押题中密押的必考点、考查角度、题序、必考题型、试题难度 等要素,预计将与 2015 高考真题高度匹配。 提示:适用于新课标全国卷。 按时间上线,敬请关注明天押题。 【2015 预测】
密押必考点 ①导数的几何意义,导数在研究函数、不等式中的应用; ②定积分. 密押考查数学 思想与方法 密押考查形式 ①导数的几何意义-求切线方程,选择题; ②定积分-求曲边梯形的面积,选择题; ③导数在研究函数、不等式中的应用,填空题. 密押题序 ①导数的几何意义预计第 3-4 题; ②定积分预计第 9-10 题. ③导数的应用预计第 16 题. 密押题型 密押难度 15 年考查导数的应用概率较大,填空题. 导数的几何意义与定积分较易,导数的应用较难. ①分类讨论思想;②数形结合思想;

【临考支招】 细心查看试卷中过去常出错的地方。对每一个错误,认真加以分析,看看是由于基本概念不清、解题 方法错误,还是粗心大意、考虑问题不缜密所致。再一次查漏补缺,尤其是那些因为粗心大意做错的地方, 更应仔细看,从中汲取教训。例如,已知直径为 6,计算时按 r=6 来算;忘记等比数列求和时公比 q=1 的 特殊情形;用斜率解题时不考虑斜率不存在的情形;忽略零向量与任何向量都垂直也都平行等。 考点提分练习题: 一、选择题 1. (试题编号:258585)函数在处的切线方程是 A. C. D. B.

2. (试题编号:233210)曲线 在点处的切线为,则直线上的任意点 P 与圆上的任意点 Q 之间的最近距

离是

A.

B.

C.

D.2

3. (试题编号:247902)若点 P 是函数上任意一点,则点 P 到直线的最小距离为

A.

B.

C.

D.3

4. (试题编号:298770)由曲线,直线轴所围成的图形的面积为

A.

B.4

C.

D.6

5. (试题编号:238952)已知函数,若,则=

A.

B.

C.

D.

6. (试题编号:287132)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部

分的概率为

A.

B.

C.

D.

7. (试题编号:314344)设,若,则

A.-1

B.0

C.1

D.256

8. (试题编号:298554)定义在 R 上的函数满足:的导函数,则不等式(其中 e 为自然对数的底数)的解

集为 A. C. B. D.
2

9. (试题编号:322544)已知函数 f(x)=, g(x)=x ?4x?4,设 b 为实数,若存在实数 a 使 f(a)+g(b)=0,则 b 的

取值范围 A.[?1,5] C. D. B.( ?1,5)

10. (试题编号:314372)设函数,其中, ,存在使得成立,则实数 a 的值为

A. 二、填空题

B.

C.

D.1

11. (试题编号:219685)若函数有六个不同的单调区间,则实数的取值范围是 12. (试题编号: 262133) 设曲线与轴、 轴、 直线围成的面积为, 若在上单调递减, 则实数的取值范围是 13. (试题编号:271717)已知函数的定义域为,部分对应值如下表:

x

?1

0

4

5

f ( x)

1

2

2

1

的导函数的图象如图所示,

①数是周期函数; ②函数在[0,2]上是减函数; ③如果当时,的最大值是 2,那么的最大值是 4; ④时,函数有 4 个零点; ⑤数的零点个数可能为 0,1,2,3,4。 关于的命题,正确命题的序号是_____________(写出所有正确命题的序号).
14. (试题编号:61348)若实数 a、b、c、d 满足+(c-d+4) =0,则(a-c) +(b-d) 的最小值为__________
2 2 2

15. (试题编号:314737)对于三次函数(a),定义:设是函数 y=f(x)的导数 y=的导数,若方程=0 有实

数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次 函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件,计算=____________

参考答案 1.A 【解析】本题考查导数的几何意义及切线方程的求解,先根据导数求出切线斜率,再利用点斜式写出结论即 可.∵,∴切线的斜率,切点坐标,∴切线方程为,即.故选 A. 2.A

? (1) ? 2 , 【解析】 本题考查切线方程、 直线与圆的位置关系。 由题意知:y ? x ? 1 , ∴ y ? 2 x ,k ? y ?
2

得切线 l : 2 x ? y ? 0 ;而 x

2

? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 表示以 (?2,0) 为圆心,以1 为半径的圆,圆心 (?2,0) 到 l

d ?
的距离

4 5 2 2 5 ∴直线 l 上的任意点 P 与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 上的任意点 Q 之间的最近距离是

4 5 ?1 5 。选 A 。

3.A 【解析】 本题考查导数的几何意义。 当过点 P 的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行时点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的

1 f ' ( x) ? 2 x ? , x ? 0. f ' ( x0 ) ? 1 得 x =1, x 最小距离。 由 0

f ' (1) ? 1. 所以点 P(1,1)。此时点 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d= 2 。所以选 A。
4.C 【解析】本题考查定积分的几何意义.由题意得与相交于点(4,2);所以

2 3 1 S ? ? ( x ? (x ? 2) dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x) 0 3 2
4

4 0

?

16 3 .选 C.

5.A 【解析】本题考查函数求值与定积分。 f (0) ? 2 ? 1 ? 2 , f ( f (0)) ? f (2) ? 4 ? 2a ? 4a ,解得:a ? 2 ;
0

? 所以
6.C

2

1

2 dx ? 2 ln x x

2 1

? 2 ln 2
。选 A。

【解析】本题考查几何概型的计算,定积分在求面积中的应用.根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 阴影部分由函数 y=x 与 y =

x 围成,面积为在正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为

1 6 =1 1 6 .
7.B 【解析】本题考查定积分,二项式定理.由题意得;所以;令 x=0,可得;令 x=1,可得;所以.选 B. 8.B 【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.令,可得;而即,所以,即在 R 上单增;而,由函数的单调性可 得的解为,即不等式的解集为.选 B. 9.A 【解析】本题主要考查导数的应用及分段函数、二次函数的值域问题,从中体会数形结合的思想.依题知: 当时,,令解得,当时, ,当时,,所以,所以;当时,,所以,综上可知函数 f(x)的值域为. b 为实数,若存在实数 a 使 f(a)+g (b)=0,则的取值范围为,由 g(x)=x2?4x?4 可得,解得,故选 A. 10.A 【解析】本题考查函数与方程,导数的几何意义,距离公式. 函数可看作:动点与点的距离的平方;而点

P 在直线上, 点 Q 在直线上;问题转化为直线上的点到曲线上距离的最小值; , 求导可得 2, 解得 x=1, , M(1,0); 所以点 M 到直线的距离 d=即为直线与曲线之间最小的距离;所以;由题意知:存在使得,所以;即,解 得 a=. 选 A. 11.(2,3) 【解析】 本题主要考查函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性, 并运用二次函数判断函数的根的情况,

难度较大。依题知函数 f ( x) 是 x ? R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,
2 2

f ( x) ?

1 3 a 2 x ? x ? (3 ? a ) x ? b 3 2 ,所

以 f ' ( x) ? x ? ax ? 3 ? a 。因为函数 f ( x) 有六个不同的单调区间,则 f ( x) 在 x ? (0,??) 有三个单调区 间, 所以 f ' ( x) ? 0 在 x ? (0,??) 有两个不等实根, 所以, 解得 2 ? a ? 3 , 所以 实数 a 的取值范围是 (2,3)

12.

1 b ? ? 2 cos 2 xdx ? sin 2 x 12 ? 2 0 【解析】本题考查定积分,导数在研究函数中的应用。由题意得 ;所以
12 0

?

?

2 2 2 g `( x) ? ? 2 x ? k ? 0 k ? ? 2x ? 2x ? 2 ? 2 ? 0 g ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? kx , x x 在恒成立, 即 在恒成立; 而x ,
所以 k ? 0 。所以实数的取值范围是。 13.② ⑤ 【解析】本题考查函数的图像与性质,导数在研究函数中的应用。对① ,由于 x 在[ ?1,5 ]之外函数 f ( x) 无意 义,不是周期函数;对② ,由导数可知,函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数,正确;对③,根据对应值表知, f ( x) 在[ ?1,5 ]上的最大值是 2.如果当 x ? [?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 可以是 5,故错;对④,表中没有 给出 f (2) 的值, 故当 1 ? a ? 2 时, 函数 y ? f ( x) ? a 的零点的个数不确定.故错.对⑤, 结合图形可知, 正确。 所以正确命题的序号是②⑤。 14.18 【解析】本题主要考查函数与导数,函数的最值,不等式等知识,考查考生的化归与转化能力.由题可得 b=-a2+3ln a,d=c+4.设 g(x)=x+x2-3ln x(x>0),则 g '(x)=1+2x-=,当 x∈(0,1)时,g(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时,g(x)单调 递增,故 g(x)≥g(1)=2.则(a-c)2+(b-d)2=(c-a)2+≥=≥=18. 15. 2014 【解析】本题主要考查函数的对称中心.该试题是个新定义试题,根据题意,先求解,因为,故可知再求解 的导函数,即=0,得到 x= ,且 f()=1,故可知它的对称中心为(),而利用其对称性可知, ,则可知共有 1007 个 2,

因此结果为 2014.


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