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广州市七区2010-2011学年高一第二学期期末教学质量监测(数学)


广州市七区 2010-2011 学年高一第二学期期末教学质量监测 数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题 20 小题,共 4 页,满分 150 分.考试用 时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面、第 5 面用黑色字迹的钢笔或签字笔填 写自己的考生号、姓名、座位号,再用 2B 铅笔把对应号码的标号涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也不超出 能指定的区域,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 5.本次考试不允许使用计算器.

第一部分

选择题(共 50 分)

一、选择题: (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1.若 sin ? ? A.

? 6

1 ,则下列角中符合条件的是 ? ? ( 2
B.

) D.

? 4

C.

? 3

? 2

2.不等式 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 的解集为 ( A. x x ? ?2或x ? 1

) B. ?x ?2 ? x ? 1? D. ?x ?1 ? x ? 2?

?

? ?
1900 年 2

C. x x ? ?1或x ? 2

?

3.历届奥运会召开时间表如下: 年份 届数 1896 年 1 1904 年 3 … … 2008 年

n

则 n 的值为 ( ) A.27 B.28 C.29 D.30 4.不等式 x ? 2 y ? 1 ? 0 表示的平面区域在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的( A.左上方 B.左下方 C.右上方 D.右下方



5. Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,如果 S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 的值是 ( A.12 B.36 C.24 D.48



6. 已知点 P (3, y ) 在角 ? 的终边上,且满足 y ? 0, cos ? ? A. ?

3 4

B. ?

4 3
1

C.

4 3

3 ,则 tan ? 的值等于( 5 3 D. 4



7. 已知 sin(? ?

?

1 ? ) ? , 则 cos( ? ? ) 的值等于( 4 3 4
B.



A.

2 2 3
x 2a ? 2a x

1 3
1 x

C. ?

2 2 3

D. ?

1 3

8. 下列各式中最小值等于 2 的是( A.

) C. x 2 ? x ? 3 D. 3x ? 3? x ) D. PA ? PB ? PC ? 0

B. x ? ( x ? 4)

9. 设 p 是 ?ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

B. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

C. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

10. 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? ( A. C. )

?
2

) 的部分图象如图所示, 则

? ? =1 ? =

? =2

?= ? 6

6

B. D.

? =1 ? =2

? =?? 6 ? =?? 6

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11. 已知 tan ? ? 2, tan ? ? 3 ,则 tan(? ? ? ) ? 12. 等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 6, 则公比 q ? 13. 若向量 a ? (4,1) b ? (2, x ? 1),

a / / b ,则 x =

14. 已 知 a, b , c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 若 a ? 1, b ? 3 ,

A ? C ? 2 B ,则 sin C =

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? 3sin 2 x ? sin x cos x (1)求 f ( ) 的值;

?

6

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值.

2

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 6 . (1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 某工厂生产 A、B 型两类产品,每个产品需粗加工和精加工两道工序完成. 已知粗加 工做一个 A、B 型产品分别需要 1 小时和 2 小时,精加工一个 A、B 型产品分别需要 3 小 时和 1 小时;又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂生产一 个 A、B 型产品分别获利润 200 元和 300 元,试问工厂每天应生产 A、B 型产品各多少个, 才能获得利润最大?

18. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ?x? ? x 2 ? 2?10 ? 3n?x ? 9n 2 ? 61n ? 100,其中 n ? N .
*

(1)设函数 y ? f ?x ? 的图象的顶点的横坐标构成数列 ?an ? ,求证:数列 ?an ? 为等差数列; (2)设函数 y ? f ?x ? 的图象的顶点到 y 轴的距离构成数列 ?d n ?,求数列 ?d n ?的前 n 项和

Sn .

19. (本小题满分 14 分) 已知向量 p ? (a ? c, b), q ? (a ? c ,b ? a ) 且p ? q ? 0 ,其中角 A, B , C 是 ?ABC 的 内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? cos B 的取值范围.

3

20. (本小题满分 14 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9

a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ? ? 的前 n 项和,且满足 bn ?

………………………

Sn 2 (n ? 2) . Sn ? 2 1 1 1 (1)证明: ? ? (n ? 2) ; Sn Sn?1 2
(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比

为同一个正数.当 a94 ? ?

9 时,求上表中第 k (k ? 3) 行所有项的和. 105

4

参考答案
说明: 1、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,各题组可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 D 9 B 10 D

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. ?

1 ; 12. 2 ; 7

13.

3 2

14. 1

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? 3sin 2 x ? sin x cos x (1)求 f ( ) 的值;

?

6

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值. 解: (1) f ( ) ? ? 3 sin ( ) ? sin
2

?

?

?
6

6

6

cos

?
6

----------------

-------1 分

1 1 3 ? ? 3? ? ? ?0 4 2 2
(2) f ( x) ? ? 3sin 2 x ? sin x cos x = ? 3 ?

-----------------------4 分

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

------------7 分

? 3 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
∴ 最小正周期为 T ? 最大值为 1 ?

----------------- -9 分 -------10 分

2? ?? 2
当 { x | x ? k? ?

3 2

?
6

, ( k ? Z )} 取最大值

12 分

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 6 .
2

5

(1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 5x ? 6 . 由 f ( x) ? 0 , 得 x 2 ? 5x ? 6 < 0. -----------3 分 所以 ?3 ? x ? ?2 . 即 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 .

………………6 分 9分

2 (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 R ,则有 ? ? a ? 4 ? 6 ? 0 .

解得 ? 2 6 ? a ? 2 6 ,即实数 a 的取值范围是 (?2 6,2 6 ) . ……………12 分 17. (本小题满分 14 分) 某工厂生产 A、B 型两类产品,每个产品需粗加工和精加工两道工序完成,.已知粗加工 做一个 A、B 型产品分别需要 1 小时和 2 小时,精加工一个 A、B 型产品分别需要 3 小时和 1 小时;又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂生产一个 A、 B 型产品分别获利润 200 元和 300 元,试问工厂每天应生产 A、B 型产品各多少个,才能获 得利润最大? 解:设每天生产 A 型产品 x 个,B 型产品子 y 个, ------1分

?x ? 2 y ? 8 ? 则 ?3 x ? y ? 9 ? x ? 0, y ? 0 ?

-------------5 分

目标函数为:z=2x+3y ---------------6 分 作出可行域: 把直线 l :2x+3y=0 向右上方平移至 l ? 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点 距离最大,此时 z=2x+3y 取最大值 ----------------------11 分 解方程 ?

?x ? 2 y ? 8 得 M 的坐标为(2,3). ?3x ? y ? 9

-------13 分 -----14 分

答:每天应生产 A 型产品 2 个,B 型产品 3 个才能获得最大利润 (画图正确给 10 分) 18. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ?x? ? x ? 2?10 ? 3n?x ? 9n ? 61n ? 100,其中 n ? N .
2 2
*

(1)设函数 y ? f ?x ? 的图象的顶点的横坐标构成数列 ?an ? ,求证:数列 ?an ? 为等差数列; (2)设函数 y ? f ?x ? 的图象的顶点到 y 轴的距离构成数列 ?d n ?,求数列 ?d n ?的前 n 项和

Sn .
解: (1)由二次函数 y ? f ?x ? 的对称轴为 x ? 3n ? 10 得 an ? 3n ? 10
6

---2分

∵ 对 n ? N 且 n ? 2 ,有 an ? an?1 ? 3 ∴ ?an ? 为等差数列。 (2)由题意, d n ? an ,即 d n ? ?

-------5分 ----------6分

?10 ? 3n ?3n ? 10

?1 ? n ? 3? ?n ? 4?

--------8分

∴当 1 ? n ? 3 时, S n ?

7 ? 10 ? 3n 17n ? 3n 2 ?n ? 2 2

------------10分

当 n ? 4 时, S n ? 7 ? 4 ? 1 ? ?? 2 ? 5 ? ? ? 10 ? 3n? ?

3n 2 ? 17n ? 48 2

----13分

?17n ? 3n 2 ?1 ? n ? 3? ? ? 2 ∴ Sn ? ? 2 ? 3n ? 17n ? 48 ?n ? 4? ? 2 ?
19. (本小题满分 14 分)

------------14 分

已知向量 p ? (a ? c, b), q ? (a ? c, b ? a) 且p ? q ? 0 ,其中角 A, B , C 是 ?ABC 的 内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? cos B 的取值范围. 解: (1)由 p ? q ? 0 得 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0

-----------2 分 ------------3 分

? a 2 ? b2 ? c 2 ? a b
由余弦定理得: cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 2ab 2

-----------5 分

?0 ? C ? ? ?C ?
(2)? C ?

?
3

-----------6 分

?
3

?A? B ?

? sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2? ? A) 3 2? 2? ? sin A ? sin cos A ? cos sin A 3 3

2? 3

--------------7 分 --------------8 分 ------------9 分

3 3 ? ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) 2 2 6
7

------------11 分

?0 ? A ?

1 ? ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6

2? 3

?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

-----------12 分 -------------13 分

?

3 ? ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6



?

3 ? sin A ? sin B ? 3 2

----------14 分

20. (本小题满分 14 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9

a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ? ? 的前 n 项和,且满足 bn ?

………………………

Sn 2 (n ? 2) . Sn ? 2 1 1 1 (1)证明: ? ? (n ? 2) Sn Sn?1 2
(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公

比为同一个正数.当 a94 ? ?

9 时,求上表中第 k (k ? 3) 行所有项的和. 105

20. (1)证明:由已知,当 n ? 2 时, bn ? 所以 Sn 2 ? Sn ? n?1 ? 2Sn ? 2Sn?1 ? Sn 2 , S

Sn 2 , bn ? Sn ? Sn?1 , Sn ? 2
即 Sn ? n?1 ? 2Sn?1 ? 2Sn , S -----------2 分 ------------3 分 ------------4 分 ------------5 分

1 1 1 ? ? . Sn Sn ?1 2 (2)又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 .
所以

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ? 1 1 n ?1 ? 1 ? (n ? 1) ? 所以 , Sn 2 2 2 即 Sn ? . n ?1 2 2 2 ? ?? 所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? . n ?1 n n(n ? 1)
由(1)可知,数列 ?

------------6 分 -----------7 分

8

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ?? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ? 13 ?

-------------8 分

(3)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 .

13 ?14 ? 91 , 2 所以表中第 1 行至第 13 行共含有数列 ?an ? 的前 91 项,
故 a94 在表中第 14 行第三列, 因此 a94 ? b14 ?q ? ?
2

------------9 分

------------10 分 ------------11 分

9 . 105

2 , 14 ? 15 所以 q ? 3 .
又 b14 ? ? 记表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和为 Sk , 则 Sk ?

------------12 分

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 3k ) 1 ? 3k ?? ? ? 1? q k (k ? 1) 1 ? 3 k (k ? 1)

(k ≥ 3) .

-----------14 分

9


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