3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

例析从特殊情形入手探索一类不等式的证法


竞 赛 之 窗 
0∥  一   0i  

3   n=2时 , 即证 







十 







+ 

( a l +  ) ( b 1 +b   2 ) ( 口 1 十b i ) (  + . 6   2 ) .  

Si l l    

1 COS   Ot 1

S 1 n  o/ 1 CO S Ol 2

整 理 后 ,即 ( 0   6   一o a b   )  ≥ 0 ,这 显 然成 立 ,于 是  对于一 般 隋形 ,反复 利用 n=2时 的结 果 ,有 

1  

十  

1  



_+  

2_ 2  +  1 2 =2时待证 不等 式成立 .  
+  
≤ 

_

— 





S i n‘ Z  ,  

结 合 n=1的 情 形 , 只 需 证 _— 一
≤  2  


zs m  O l l C OS   0 / 2  

( a l +   a 2 ) ( b l + b 2 )+  

’ ≤  



即2 s i n   0 / 1 " 4 - (  ̄ 2 )≤ 2 ,  
( b   b +   b ≤   A .   0 l +… +  一 1 ) +(1 +… +   一 1 )  。%+   +   ’  

这是 成 立 的.  

兼 顾待 证 式 的 结 构 ,由这 两 种特 殊 情 形 的 证 明 不 
难得到 此题 的证 明 思路 .  

从而 不等 式得证 .  

【 说 明】 此题 的证 明关键 是发 现一般情形和 r t =2  
的情 形具 有相 同 的和 式结 构.  
例3 ( 2 0 1 3年 中 国西部数 学邀请 赛 试题 ) 设 整数 
;  

证 明 :当 O L   ,%是 锐 角时 ,  
( 1 ) — j 一 ≤  1 Zs l n  O  ̄ i COS   O / i  
Sl n‘  

≥2 ,且 实 数 

… ,% E[ 0 ,1 ],求 证 :  

( 2 )  
于 是 

1  
1  

+  
1 =  

≤  

2 面

.  
+  

∑  舳 ≤  

∑ .  

分析 :当 n=2时 ,即证 X 1   2 ≤   1(   l +2 x 2 ) .由均 

。  

(  1   + 志


) ≤    ̄ = 上 s i n 2 (  ̄ i +  

值 不 等 式 ,有  (   1 +  2 +  2 )≥ 、 3 /  1   2, 于是 只 需证 
≥X I X 2 ,即 X 1   ;≥  i ,也 即 1≥  2 。   2 ,由题 意 

t  

2 s i n   2 ai s i n  

2  ( \  s i n   2 a ) / 。 , ’  


这是 成 立的.  

当 n=3时 ,利 用 n=2时 的 结论 ,有 X I X 2 +X I X 3 +  
2   2   3≤ —   1


从而 不等 式得 证 .  

【 说明】通过此题可以发现 ,有时取一个特殊值可  能是不够的,不妨考察 多个特殊值 的情形 ,思考 它们  
之 间的联 系 ,逐 渐 过渡 到一般 情形 .   试题 )证 明 :对 于 任 意正 数  ,b   ,k=1 ,2 ,… ,   ,  

[ (   1 +2 x 2 ) +(   l +2 x 3 ) +2 (   2 +2 x 3 ) ] =  一 (   l +  

2 +3 x 3 ) ,正是 待证 式 .   由此 可见 ,将 n =2情 形 的结果 一般 化 然后 反 复利 

  例2   ( 1 9 9 3 年 圣彼 得 堡 市数 学选拔 考 试 十一年 级  用 ,应 是 可 取 的 .

证 明 :当   ,舰∈[ 0 ,1 ] 时 ,x c c f ≤—   1(   +2 x z )  

  都 可 成 立 不 等 式   ‰≤   等, 其 中   =  ,  成立 .

B = ∑b   .  
分析 :n=1的情形 是 平 凡的 . 凡=2时 ,需要 证 明 
+ 

于 是 ∑ k x  ≤  ∑   ( 钆 + 2 x   ) . ①  
合并①式右边含 瓤(  =1 ,2 ,…,n ) 的项 ,   即【 1? 2+2? 2+3? 2+… 十( k一1 )? 2+  ( 凡一  

‰≤  

. 而 待 证 不 等 式  ) 垮: [   (   一 1 ) + k ( n -   ) 垮=  
∑k   不等 式 得证.  

.  

是 求和 结果 ,反 复利 用 l Z =2的 情形 的 结果 可获取 一般  情 形 的结果 .   证 明 :当 n =1 时 ,待证 不等 式显 然成立 .  

于 是   1   ≤   < Z ≤ n   争 J   ( 钆 + 2 x ) ≤   k   =   1  J  = 孚 J  ‘  
al + b1  

当 n =2时 , 需 要 证 明   D 上
1   ! ±  2 (   ! ±   2 1  
( a 1 +  ) +( b 1 + b 2 )  

+  

o i 2 + b2  

≤  

【 说明 】合并  ∑  (  + 2 x   ) 中 的同 类 项 并不 容  

即证 『 0   b   (   +b , ) +  6 , ( 0   +b   ) 1 ( 0   +   +b   +b , )≤   易,可以先考察多个特殊情形, 挖掘其中所隐含的特点.  

圜n壁 鍪 童 2   年 第 9 期  

竞 赛 之 窗 
j l }   :  l ■   l 0㈡l   l  

三 、借 助证 明特 殊情 形 的思 路来 证 明一 般 

情形 
特 殊 情形 和一 般 情 形 有 着 类 似 的结 构 ,而 特 殊 情  形 是 较 易 证 明的 .在 证 明完 特 殊 情 形 后 ,它 的思 路 可  以借 鉴 迁移 到一 般情 形 的证 明上来 .  
例4  ( 2 0 0 1 年 波兰数 学奥林 匹克竞赛 试题)设  
2, … ,  

则 
。 0  = 1  




1  ≤ i   <7≤ n   I   ,  

n  
£  
1  



 

∑ (   ) z =   ∑  j 一 (   — 1 ) ∑ + ∑  

=  

∑  + ∑ 2 x  ̄ x j = ( ∑瓤2 = 1 .  
从 而不等 式 得证 .  

(  ≥ 2 ) 均为正实数 ,求证 :  1 +  2 +3   3 +… +  
+  1 +   i +  i +… +  
. 

≤ 丛 

【 说 明】待证不等式看似繁杂 ,但特殊情形的证明   启发我们大胆对其放缩化简.  
例 6   ( 2 0 1 2年 中 国女 子数 学奥 林 匹克 竞 赛试 题 )  

分析 :当 n =2时 ,即证 1 +2   2 ≤1 +  l +  ; ,即  2 ≤ 1+  ; ,显 然 成立 .  
当 n=3 时 ,  即 证  l +2   2 +3   3 ≤ 3+  1 +  ; +  ; .  

已知 

,… ,%均 为非负实 数 ,求证 :—   l十

al  

+  

考虑 到 n=2情形 ,只 需证 3 x , ≤ 2+  ; .而 由均 值 不等  ( 1   1 +   1   a   +口 1   1 一+   (  +  )  。  (  +    ) (   +  ) (   +∞)  + ‘  . ‘   1) 式 ,有 2 +   ; =1 +1 +  ; ≥3  虿 = 3 x 3 . 从而  =3 情 
形得 证 .  
( 1  

+0 1 ) (+   )… ? ? (+ %) …  

1  



引 ?  

证 明 的思路 在 于将 常数 拆 为若 干个 “ 1 ”相 加 ,然 

后应用均值不等式,最后相加 即可.   证 明:当 =2 ,3 ,… ,n 时 ,由均值不等式 ,有 
(  一1 ) +   =   ±! ±: : : ±! , +   ≥k  /   =   ,  


分析:   当n : 1 时,士 1 + : 1 一 T     ≤1 .   al   l + al

当n = 2 时, 击
1   a  l o / 2   al   +  +  + n2   一 

+  
a l十  l   八 l + 

1 个 



?  

且 Ⅱ (   一1 ) +   ≥后  .  

又 因为 1 ≥ I ,  

考虑 这 两种 情形 的证 明过 程 ,兼 顾待 证 式 的结 构 ,  
可得 此题 的证 明 .  

将以 上  个不等式相加, 有巫  
∑   钆 , 不等 式得证.  

+∑  ≥  

证 明 :首先 用 数学 归纳 法.  

设  


a 2 ,  … ,   为非负实数 ,  士 l + a +  
j  

1   1   +. 一十   1   l +  )   1   1 +   【 说 明】此题从整体上看似无从入手 ,通过探索特  ( ( +啦) 。   。( +a ) ( +   )… ? ? ( +%)。   殊情形的证 明得到启发 ,构建 n 个局部不等式再求和,  

即得 待 证不 等 式.  

( 1   +a   1 ) ( 1   +   )… ? ? ( 1   +%)  

? 。  

例5 ( 2 0 0 7 年浙江 省 数学 竞 赛试 题 )设∑批 = 1 ,  
翰>0 ,求 证 :n  
1 =1   1 ≤ }(}≤ n   l   1  

( 1 ) 当n =1 时 ,待证等式显然成立.  

( 2 ) 假设当  :  时, 待证等式成立,则士 l 十 0  +  
+ . 一 +  + 

≤1 .  

分 析 :当 n:2时 ,  1 +  2 =1 ,要 证 2 ( x  +  ; ) 一  
!   :: : ::   : !  

兰_ L 二 
l+ X2  

≤ 1

,  

1 + 0 1 ) ( 1 +  ) … ? ? ( 1 + a k + 1 )   即 2 ( 戈  +  ; )一(   1 一  2 )  ≤ 1 ,  而  (

2 ( x  +  ; ) 一(   1 一X 2 )   :(   1 +X 2 )   =1 ,得 证 .  

一  ( 1  1 + 。 I ) ( 1 +   ) … ? ? ( 1 +   ) + 。   ( 1 + 。 1 ) ( 1 + 蔷    ) … ? ? ( 1 + 吼 + 1 )  
口 1  … ? ? 吼一 l 嘞( 1 + a k + 1 ) 一 口 1  : : : ? :  

特 殊掉 情形 中可待证 借 鉴式 的特 点 :一是 证式 边 的) 分  母 可处理 ;二是 右边 的 “ 1 ”待 可换 为左 ( 3  ̄ 1 +  :   .  

证 明 : 由 于 圭  1 ,  > 0 , 从 而 0 < 乾 +   ≤ 1 ,  

= 1 一  

}  
2 0 1 4 第 。期

,  

韭 型 囝  

竞 赛 之 窗 :  
0  / \ i Z ̄   *   囊  -  

从而当  = 后 +1 时,待证等式也成立.  
故该 恒 等式 成立 .  

即( p+ q ) r 丁 1≥p 丁 1 +g } .  

于是 ( p+q+1 ) r }≥p ÷+q }+r } .  

+  


可 + . ” +  

故  【 一≤   等 ‘  

1 一 丁 (+   1  0) 1   1 而   ( +啦)… ? ? ( +  ) …  
从 而不 等式 得证 .  

同 理 ,   q + r + l   ≤ 赤 p } + q   3   + r 手  r ,   +   P   + l   ≤  
盟   P丁 + g丁 + r 丁 

【 说 明】考察特殊情形,挖掘 隐藏的恒等式是此题 
证 明成功 的关键 .  

四 、小 结 
对 于 一般 情 形 的证 明 ,可 以先退 回去 考 察 特 殊 情  形 ,再 回到一 般 情 形 上来 .这 是 一 种 重 要 的 数 学 思 想  方 法 .另 外 ,退 到 特 殊 情 形 去 有 时 还 会 有 意 外 之 喜 ,   有 的题 目中 ,一般 情形 和特 殊情 形是 等价 的 ,如例 7 .  

j式相加 ,知①式成立.   ( 2 )当 n≥ 2时 ,由于 P   ? q  ?   =( p q r )   =1 ,结 

合 ① 式 , 知  

+ 南

+ 南

≤ l ?  

综 上 ,不等式 得证 .  

【 说 明】凡 =1 的情形即 2 0 0 0年澳门数学奥林 匹克    例7  ( 2 0 0 4年 波 罗的 海 数 学 奥林 匹克 竞 赛试 题 )   竞赛 试题 . 从 以上 例 子 可见 ,对 于这 类 与 自然 数 n有 关 的不  已 知 P,q ,r 为 正 数 ,满 足 p q r =1 ,求 证 :对 所 有  等式证明问题 , 先考察特殊情形的证明再回到一般情形 ,  


都 有  

+ 南

+ 南

 .  确 是 可 取 的方 法 .这 验证 了华 罗庚 先 生 的名 言 :“善 于 
参考 文献 :  

分析 :如 果 能 够证 明 n=1的 情 形 ,由 于 P  ? q  ?   退 ,足够 地退 ,退 到 最原 始而 又不 失 去重 要性 的地 方 ,   ,=( p q r )   =1 ,其他 情形 可 以转化到  =1的情 形.   是学 好数 学 的一个重 要 的诀 窍. ”  
证 明 :( 1 ) 当 n=1时 ,   需 证  P  

+ q +  击 q + r +   1 - +  P r +     +   1 < 1 . ①  
1 +
“ + 一- - +一“— — 卜 ”+ 一+ ? ? + ? ? + “— — — 卜? ? - - +一“ —+ 一”+ ”+ 一 + “— - + 一 ”+ ” + ? ? + “+ ? ? +

[ 1 ]苏淳 . 从 特 殊性 看 问题 [ M] .合 肥 :中 国科 学  技 术 大 学 出版社 ,2 0 0 9 .   [ 2 ]蔡 玉 书 .数 学奥 林 匹克 中的 不 等 式 研 究 [ M] .  
苏 州 :苏州 大学 出版社 ,2 0 0 7 .  
”—+ 一? ? — +一  + ”+ 一 + 一+ 一— +一 ”+ “+ 一 + 一+ 一— — + 一-— — -  一 *— +一 一- -  一 一— +一- + *— - - 卜 -— + 一一—+ 一一— +一一 + *— ? 卜?  

而 P +q = 【 p ÷+g })[ ( p }一g })   + p 丁 1   g 丁 1 ]≥  
( p C+口 争) P   5   q   3 一 ,  
?



? ? +

”—  一? ? —+ -“— —   一”+

( 上接 第 4 9页)  

参 与 、乐 于探 究 、勤 于 动 手 的教 学 理 念 .从 问 题设 计   知落实 目 标 1 ;引导学生对 比归纳落实 目标 2 ;引导学  来 看 ,凸 显 思 维 引 领 作 用 ,从 定 义 到 判 定 定 理 的 提  生 用 语 言 表述 定 理 ,用 符 号 表 示 定 理 落 实 目标 3 ; 引  出 ,从 两 个 实 例 中找 相 同点 ,从 例 1和练 习题 中归 纳  导 学 生规 范 书 写证 明过 程 ,明确定 理 条 件落 实 目标 4 .   找 平行 线 的不 同方 法 ,这 些 问题 的设 计 都 抓 住 了学 生  思 维 的切 人 点 ,较 好 地 发 挥 了引 领 作 用 .这 体 现 了斯 
学 ,而 不仅 是数 学 知识 的教 学.   4 .教 学手段 方 法 多样 
6 .需 要 改 选 的 地 方 


是 学 生 思 维 深 度 参 与 略 显 不 够 .数 学 课 堂上 的 

托 利 亚 尔 的教 育 思 想 :数 学 教 学是 数 学 思 维 活动 的教  思 维 参 与 需 要 教 师 恰 当 地 启 发 和 暗 示 ,本 节 课 在  “ 找 两 实例 的相 同点 ” 、“ 定 理 的说 理 ” 、“ 课 堂小 结 ” 等 

环节教师的启发过 了头 ,可能担心时 间不够 ,中途 打  教 师在课 堂上 使用 了多媒 体 、黑板 、对话 、展  断 了学 生 思 维 ,直 接 告 知 学 生 .二 是 学 习反 馈 不 足 ,  
示 、练 习 、独 立 思 考 、交 流 讨 论 等多 种 教 学 方式 和方  练 习情 况 怎 么样 ,除 了上 黑 板 的 学生 有 展 示 ,其 他 学  法 组 织 课 堂教 学 ,促使 学 生 积 极参 与 教 学 活 动 ,因此  生 的学 习情 况 反 馈不 足 .  
取 得 了理想 的教学 效 果 .   参 考文 献 :  

5 .教 学 目标 落 实到位 

教师把教学 目标 落实在教学 的各个环节.由于教  学 目标 具 有具 体 化 、可检 测 、可 操作 的特 点 ,所 以本  节课 的教学 目标落实很 到位.其 中,引导学生直 观感 

[ 1 ]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标  准 ( 实验 ) [ M] .北京:人 民教 育 出版社 ,2 0 0 3 .  

[ 2 ]章建跃. 数学教 学 目 标再思考 [ J ] .中国数 学  
教育 ( 高 中版 ) ,2 0 1 2 ( 9 ) :2 — 7 .  

匝赴壁 堕 2   年 第 。 期  


推荐相关:

数学归纳法在证明不等式中的应用

法概 随着近几年考试命题对于考查学生的探索和...法的证明.数学归纳法总结起来有四种,分别是第一类...这样可以补充不等式的一些特殊情形,容易 验证;其次...


专题三数学方法之特殊证法

2.反证法 反证法是属于“间接证明法”一类,是从...用反证法证 题时,如果欲证明的命题的方面情况只有...(3)分析法 证明不等式,可以从待证的不等式出发,...


高三二轮专题辅导(6)数学方法之特殊证法

一样,基本保持不变; 【知识归纳】 1.定义法 所谓...用反证法证题 时,如果欲证明的命题的方面情况只有...(3)分析法 证明不等式,可以从待证的不等式出发,...


一类特殊分式运算的探索简案

一类特殊分式运算的探索简案 一类特殊分式运算的探索简案执教者:汪杨 【教学目标】 知识目标: 知识目标 1、找出一类分式运算的特点和规律 2、体会化归思想在数学...


高考复习专项之数列不等式综合题示例

一类等比数列,而不是确定的一个具体数列, 而不...根据开始的几个特殊情形,探索规律,对一般情形 作出"...不等式,而且获得更强的结论. (2)用数学归纳法证(...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com